Ferienkurs Experimentalphysik 2 - TUM

Technische Universität München
Department of Physics
Ferienkurs - Experimentalphysik 2
Wärmelehre
Qi Li
22/08/2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Wärmelehre
1
2
Das ideale Gas
1
3
Nullter Hauptsatz - Temparatur
2
4
Erster Hauptsatz - die innere Energie
3
5
Wärmekapazität
4
5.1
5.2
4
5
Wärmekapazitäten vom idealen Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmekapazität für Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Entropie
5
7
Zweiter Hauptsatz
6
8
Zustandsänderungen
6
8.1
8.2
8.3
8.4
9
Isotherm .
isochor . .
isobar . . .
adiabatisch
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6
7
7
7
Kreisprozesse
8
9.1
9
Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Reale Gase - Van der Waals Gase
10
11 Phasendiagramme
11
2
2
Das ideale Gas
1 Wärmelehre
Die Wärmelehre oder makroskopische Thermodynamik betrachtet Systeme mit sehr
großen Teilchenzahlen (N > 1023 ) und beschreibt ihr Verhalten ohne Kenntnisse der
genauen Eigenheiten der einzelnen Teilchen, woraus die Systeme sich zusammensetzen.
Wir werden dabei nur Systeme im Gleichgewicht / im stationären Zuständen betrachen.
Solche Zustände können durch ein Set von (makroskopischen) Zustandsgrößen (z.B.
p, V, T, S, N) eindeutig beschrieben werden.
2 Das ideale Gas
Eines der Systeme, wo man sehr einfach und schnell die thermodynamischen Prinzipien anwenden kann, ist das ideale Gas. Das ideale Gas ist definiert über folgende
Annahmen:
1. Gasteilchen sind volumenlose Massepunkte
2. Ihre Bewegungen sind zwischen den Stößen geradlinig und gleichförmig
3. Stöße sind vollkommen elastisch
4. keine Wechselwirkung außer den Stößen
Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchen ist gegeben durch
Ekin =
m 2
m
v = (v x 2 + vy 2 + vz 2 )
2
2
(1)
mit
1 2
v
3
. Berechnet man den mittleren Impulsübertrag der Gasteilchen auf die Wände, die das
mv
/∆t
Gas umschließen und definiert man darüber den Druck p = x,y,z
, so erhält man
A
v x 2 = vy 2 = vz 2 =
p=N
m1 2
N2
v =
E
V3
V 3 kin
(2)
Nun definieren wir die Temperatur eines idealen Gases anhand der mittleren kinetischen Energie der Gasteilchen
2 Ekin
(3)
T=
3 kB
und bekommen somit die Zustandgleichung des idealen Gases
pV = Nk B T,
1
pV = νRT
(4)
3
Nullter Hauptsatz - Temparatur
wobei k B = 1, 381 · 1023 KJ die Boltzmannkonstante bezeichnet, ν die Molzahl und
R = k B · NA = 8, 314 molJ ·K die Gaskonstante1 .
Schauen wir uns z.B den Volumenausdehnungskoeffizienten an, der die Volumenänderung mit der Temparatur angibt:
1 ∂V
α=
(5)
V ∂T
Setzen wir hier die Zustandsgleichung für das ideale Gas ein, bekommen wir rel.
einfach
p
∂
νRT
1
αid.Gas =
·
(6)
=
νRT ∂T
p
T
und finden heraus, dass sich das Gas bei Temparaturerhöhung ausdehnt.
3 Nullter Hauptsatz - Temparatur
Befinden sich die Systeme A und B im thermischen Kontakt (d.h. Wärmeaustausch ist
möglich) und haben jeweils unterschiedliche Temparaturen, fließt solange Wärmeenergie vom „kälteren“ System zum „wärmeren“, bis sie im thermischen Gleichgewicht die
gleiche Temparatur besitzen.
Abbildung 1: Thermischer Kontakt
• „Wärme“ fließt von „warm“ nach „kalt“
• Auf der absoluten Kelvin-Skala ist der absolute Nullpunkt definiert bei 0K =
−273◦ C. Raumtemparatur ist ungefähr bei 300K.
• Wärmetransport durch homogenes Material ähnelt (vereinfacht) der Definition
vom elektrischen Strom2
∆T
Q̇ = −λ · A
(7)
l
mit
– dem Wärmeenergiestrom Q̇,
1 Avogadrokonstante
2 vgl. ~j
= σel ~E = σel Ud
NA = 6, 022 · 1023 =
b Anzahl der Atome in 12g 12 C Kohlenstoff
2
4
Erster Hauptsatz - die innere Energie
– Fläche A,
– Leitungslänge l
– und λ als spezifische Wärmeleitfähigkeit.
4 Erster Hauptsatz - die innere Energie
Die innere Energie U erweitert den (mechanischen) Energieerhaltungssatz um den Anteil, den wir mit den Bestandteilen unseres Systems (Atome, Moleküle) in Verbindung
bringen, wenn es in Ruhe und außerhalb von Potentialen sich befindet.
∆Ekin + ∆E pot + ∆U = 0
(8)
Diese innere Energie kann durch (Prozess-)Wärme und mechanische (Prozess-)Arbeit
verändert werden → 1. Hauptsatz der Thermodynamik
∆U = ∆Q + ∆W
(9)
dU = δQ + δW
(10)
• δW = − pdV (negativ, da Volumenarbeit am System positiv sein sollte) 3
• ∆Q und ∆W sind Energieüberträge in/aus den betrachteten Systemen. Sie sind
prozessanhängig und man kann nicht die Wärmemenge/Arbeitsmenge eines
Systems angeben, nur deren Änderungen.
• Laut Konvention sind ∆Q-, ∆W-Beiträge
– negativ, wenn dieser Energieanteil aus dem betrachteten System herausfließt
/ das System diese Energie abgibt
– positiv, wenn der Anteil ins betrachtete System hineinfließt / das System
diese Energie aufnimmt
• für die innere Energie eines idealen Gases gilt:
U=
f
νRT
2
(11)
Sie hängt nur von der Temperatur ab. f gibt dabei die Zahl der Freiheitsgrade
an.
– wegen der Translation gilt f tra = 3
– bei zwei- oder mehratomige Moleküle können bei höheren Temparaturen
dazu noch Freiheitsgrade für Rotation ( f rot = 2) und dann für Schwingungen
( f vib = 2) angeregt werden.
3V
i
> Vf = Vi + dV → dV < 0
3
5
Wärmekapazität
Abbildung 2: Freiheisgrade von einem 2atomigen Gasmolekül
5 Wärmekapazität
Führen wir einem System eine definierte Wärmemenge ∆Q zu, so steigt seine Temperatur um ∆T ∼ ∆Q.
∆Q = C · ∆T = ν · c∆T
(12)
Wenn wir da den 1. Hauptsatz anwenden, sehen wir, dass die Wärmekapazität von
der mechanischen Arbeit abhängt. Wir unterscheiden v.a.,
1. wenn am System keine mechanische (Kompressions-) Arbeit verrichtet wird
(δW = − pdV = 0) → Wärmekapazität bei konstantem Volumen
=0 
z}|{
 ∆U − ∆W 
∂U


CV = 
 = ∂T
∆T
V

(13)
V
2. wenn der Druck konstant gehalten wird → Wärmekapazität bei konstantem
Druck
∆U − (− p∆V )
∂U
∂V
Cp =
=
+p
(14)
∆T
∂T p
∂T p
p
5.1 Wärmekapazitäten vom idealen Gas
Beim idealen Gas ist die molare4 Wärmekapazität gegeben durch
f
R
2
f
c p = cV + R =
+1
2
cV =
(15)
(16)
Der Quotient aus beiden heißt Adiabatenkoeffizient
κ=
4c
=
cp
f +2
=
cV
f
C
ν
4
(17)
6
Entropie
5.2 Wärmekapazität für Festkörper
Atome/Moleküle eingebaut in einem Festkörper haben neben den Translationsfreiheitsgraden noch 3 Schwingungsfreiheitsgrade. Bei genügend hoher Temperatur erhalten
wir für ein Mol Material die innere Energie von
U=
3+3
RT = 3RT
2
Damit kann die molare Wärmekapazität eines Festkörpers angegeben werden:
∂U
cV =
= 3R
∂T V
(18)
(19)
6 Entropie
Wir können die prozess-/wegabhängige Wärme ∆Q durch eine neue Größe ersetzen,
die wie p,V,T usw. nur vom Anfangs- und Endzustand abhängt. Diese Größe nennen wir
Entropie S und beschreiben ihre Änderung als eine reversible Wärmeenergieänderung
bei der Temperatur T.
δQrev
dS =
(20)
T
Damit kann der 1. HS umgeschrieben werden
dU = TdS − pdV
dS =
1
(dU + pdV )
T
∆S =
Zf
i
δQ
T
(21)
(22)
(23)
• Neben experimentellen Messung von Entropieübertrag und -erzeugung kann
man die Entropie von der mikroskopischen Ebene bestimmen. Sie hängt dann von
der sog. „Multiplizität“ des Makrozustandes unseres Systems ab, d.h. der Anzahl
der möglichen Kombinationen von Eigenschaften aller Teilchen (Ortskoordinaten,
Impuls) bei gegebener Energie.
• Die Entropie ist, wie Volumen oder Teilchenzahl, additiv, d.h. bei Mischungen z.B.
von Molekülsorten oder ZUsammenbringen von Systemen werden die einzelnen
Entropien/-änderungen summiert.
5
8
Zustandsänderungen
7 Zweiter Hauptsatz
Eine Aussage über die Änderung von Entropie bei einem Prozess macht der zweite
Hauptsatz:
∆S ≥ 0
(24)
Entropie wird nie kleiner!
8 Zustandsänderungen
Generell werden nur quasistatische Zustandsänderungen von einem Gleichgewichtszustand zum anderen betrachtet. Diese Zustände werden von ihren Zustandsgrößen(p,V,T,S...) definiert, ebenso wie die Prozessgrößen (∆Q, ∆W), die zusätzlich vom
Prozessweg abhängig sind. Unterschieden werden
1. reversible Prozesse, die bei Umkehr der Prozessrichtung wieder in den Anfangszustand zurückführen.
I
δQ
∆S = 0,
=0
T
2. irreversible Prozesse, wo man bei Umkehr der Prozessrichtung nicht wieder
zurück zum Anfangszustand zurückkommt.
∆S > 0,
I
δQ
>0
T
Im folgenden betrachten wir ausschließlich Prozesse mit idealen Gasen
Abbildung 3: die 4 Prozesswege im pV-Diagramm
8.1 Isotherm
Temperatur des Systems bleibt konstant, d.h.
dT = 0,
dU = 0,
6
dQ = pdV
(25)
8
Zustandsänderungen
Durch Integration über die Volumina Vi → Vf erhält man
∆Q = −∆W =
Z Vf
Vi
pdV =
Z Vf
Vi
dV
νRT
= νRT · ln
V
Vf
Vi
(26)
8.2 isochor
Volumen bleibt konstant, d.h.
dU = dQ = νcV ∆T
dV = 0,
(27)
8.3 isobar
Druck bleibt konstant.
∆W = −
Z Vf
Vi
pdV = − p(Vf − Vi )
∆Q = νc p ∆T
(28)
(29)
8.4 adiabatisch
Kein Wärmeaustausch mit der Umwelt/anderen Systemen, d.h.
δQ = 0
(30)
Dann gelten folgende Gleichungen:
pV κ = const.,
TV κ −1 = const.,
7
T κ p1−κ = const.
(31)
9
Kreisprozesse
9 Kreisprozesse
Kreisprozesse durchlaufen periodisch eine Folge von verschiedenen Zustandsänderungen, die nach einem Durchlauf wieder auf den Anfangs-/Startzustand zurückführen.
Abbildung 4: Stirlingprozess
Es gilt normalerweise
• alle Prozesse sind reversibel
• Kreis wird immer in der gleichen Richtung durchlaufen
• Zwei Kreisrichtungen → zwei Arbeitsweisen
– Wärme-Kraft-Maschine: Wärme fließt von Th nach Tc , dadurch/währenddessen
leistet System netto mechanische Arbeit. (Motor...)
– Wärmepumpe: Wärme fließt von kalt nach warm (von Tc nach Th ), getrieben
von mechanischer Arbeit, das vom Arbeitsmedium aufgenommen wird.
(Kühlschrank...)
Abbildung 5: Wärme-Kraft-Maschine (l) und Wärmepumpe (r)
8
9
Kreisprozesse
• da wir wieder auf den Anfangs-/Startzustand zurückkommen, ändert sich die
innere Energie beim Durchlaufen einer Periode nicht!
∆U = ∆Q + ∆W = 0
(32)
• Die Effizienz eines Kreisprozesses wird durch den Quotienten von Energieeinsatz
und -produktion berechnet.
η=
∆Wgesamt
Energie bekommen
=
Energie bezahlt
∆Qin, gesamt
(33)
9.1 Carnot-Prozess
Abbildung 6: Carnot-Kreisprozess
Idealisierte Wärme-Kraft-Maschine zwischen zwei Wärmepools, dessen Kreislauf
sich in 2 Isotherme und 2 Adiabaten aufteilen.
I 1 → 2: Isotherme Expansion −∆WI von V1 → V2 bei Aufnahme von Wärme aus
dem heißeren Wärmepool ∆Q I,h
II 2 → 3: Adiabatische Expansion von V2 → V3 , ∆Q I I = 0
III 3 → 4: Isotherme Kompression ∆WI I I von V3 → V4 bei Abgabe von (Rest-)Wärme
ins kältere Wärmepool ∆Q I I I,c
IV 4 → 1: Adiabatische Kompression von V4 → V1 , ∆Q I I = 0
Beim Carnot-Zyklus können zwei alternative Formulierungen des 2.HS aufgestellt
werden:
1. Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden
2. Es gibt keine periodisch zwischen Th und Tc arbeitende Maschine, die einen höheren
Wirkungsgrad hat als eine Carnot-Maschine
9
10
Reale Gase - Van der Waals Gase
10 Reale Gase - Van der Waals Gase
Um ein realistischeres Bild vom Gas zu bekommen können wir versuchen 2 Eigenheiten
von realen Gasmolekülen einzubauen:
• Gasteilchen besitzen selber ein Eigenvolumen b, dass ihr Systemvolumen5 verkleinert: → v = videal − b
• Gasteilchen wechselnwirken mit ihren nächsten Nachbarn und beeinflussen somit
den Impulsübertrag auf die Wände: → p = pideal + va2
Eingesetzt in die Gasgleichung erhalten wir die Van-der Waals Gleichung, eine angenäherte Zustandsgleichung für reale Gase.
p=
a
RT
−
v − b v2
(34)
oder
a
RT = p + 2 (v − b),
v
νRT =
aν2
p+ 2
V
(V − νb),
Nk B T =
aN 2
p+ 2
V
(V − Nb)
(35)
Folgerungen der VdW-Gleichung: Es kann eine kritische Temperatur Tkrit gefunden
werden, wo bei tieferen Temperaturen das Verhalten des Gases „komisch“ wird. Mithilfe
der Maxwell-Konstruktion sehen wir dort einen Phasenübergang von der Gas- zur
Flüssigkeitsphase.
Abbildung 7: Isotherme eines van-der-Waals-Gases im pV-Diagramm
5 molares
Volumen:v =
V
ν
10
Literatur
11 Phasendiagramme
• Am kritischen Punkt tritt kein Phasenübergang mehr auf zwischen gasförmig
und flüssig → überkritischer Zustand / überkritisches Fluid.
• Am Tripelpunkt sind alle drei Phasen (fest, flüssig, gasförmig) eines Systems im
Gleichgewicht.
• Eine Phasentransformation beschreibt eine unstetige Änderung von Systemeigenschaften, wenn die Änderung einer Zustandgröße (p,V,T...) nur minimal ist.
Zwischen fest, flüssig und gasförmiger Phase treten folgende Phasentransformationen auf
– fest
Schmelzen
flüssig
Erstarren
Verdamp f en
– flüssig
gasförmig
Kondensieren
– fest
Sublimieren
gasförmig
Resublimation
• Beim Phasenübergang flüssig gasförmig und sowie fest flüssig wird die
latente Wärme aufgenommen (→) oder abgegeben (←). Dabei ändert sich die
Temperatur nicht!
Abbildung 8: Phasendiagramm von Wasser
Literatur
[1] Paul Tipler - Physik
[2] Daniel V. Schroeder - An Introduction to Thermal Physics
11