Blatt 4 - ITAP | Universität Stuttgart

Theoretische Physik IV - Statistische Mechanik
Übungen (Woche 46)
WS 2009/2010
Blatt 4
Aufgabe 1/4; Hausaufgabe
3 Punkte
a) Sei x ∈ R3 . Zeigen Sie, dass die Gültigkeit der Integrabilitätsbedingungen (2.49)
in einem einfach zusammenhängenden Raum hinreichend dafür ist, dass f (x) eine
Zustandsfunktion ist.
Hinweis: Da der Wert einer Zustandsfunktion unabhängig vom Integrationsweg df
ist, können Sie den Satz von Stokes benutzen.
L2
Ende
A
L1
Anfang
b) Welche Beziehungen sind demnach z.B. zwischen der Temperatur und dem Druck
gültig (dU = T dS − P dV + µdN)?
p
c) Sei g = eφ /(2πr) mit eφ = −y
/r
und
r
=
x2 + y 2 . Zeigen Sie, dass rot g=0 für
x
r 6= H0. Wählen Sie als Integrationspfad einen Kreis um den Ursprung und berechnen
Sie g dx. Ist der Satz von Stokes anwendbar?
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten.
Aufgabe 2/4; Votieraufgabe
2 Punkte
In der Vorlesung wurde die Entartungsfunktion g für ein Spinsystem in einem Magnetfeld abgeleitet (3.17). Bestimmen Sie die Entropie S = kB · ln g(U, N) und skizzieren Sie
sie in einem S − U−Diagramm. Widersprechen sich das Ergebnis und Postulat III (die
Entropie ist eine monoton ansteigende Funktion der inneren Energie)? Berechnen Sie zur
Beantwortung dieser Frage die Temperatur des Systems. Überprüfen Sie die Gültigkeit des
Nernst-Postulates.
Aufgabe 3/4; Votieraufgabe
2 Punkte
Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang gilt:
cP = cV +
T V α2
.
NκT
(1)
a) Beginnen Sie mit dem vollständigen Differenzial von S = S(T, V ). Wechseln Sie zu
den Variablen (T,P ), indem Sie V als Funktion von T und P auffassen: V (T, P ).
∂S Berechnen Sie ∂T
und ersetzen Sie die bekannten Ableitungen.
P
∂S : Die Integrabilitätsbedingung für die freie
b) Bestimmen Sie ∂V
T
Energie
(die sie später
∂S ∂P in der Vorlesung kennenlernen werden) erzwingt, dass ∂V T = ∂T V . Um den Zusammenhang (1) zu zeigen, muss nun noch bewiesen werden, dass
∂P α
.
(2)
=
∂T V
κT
Vergleichen Sie hierzu die Koeffizienten des Differenzials von T = T (P, V (T, P )) und
ersetzen Sie dV wie in Teilaufgabe a).
Hinweis: Die in (1) enthaltenen Ausdehnungskoeffizienten sind folgendermaßen definiert:
Isobare spezifische Wärme: cP =
T
N
Isochore spezifische Wärme: cV =
∂S
∂T P
T
N
∂S
∂T V
Thermischer Ausdehnungskoeffizient: α =
Isotherme Kompressibilität: κT = − V1
∂V
∂P
∂V
∂T
1
V
T
P