Logik f ¨ur Informatiker

Logik für Informatiker
Vorlesung 3: Zweiwertige Modelle
Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca
[email protected]
20. Oktober 2017
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W IEDERHOLUNG
Syntax: Wie schreibt man Formeln (Propositionen,
Aussagenlogische Formeln)
Semantik: Wie berechnen wir den Wahrheitswert der
Formeln?
Wertebelegungen (Valuationen, Modelle)
Wahrheitstafel für die logischen Operatoren
Auswertung von Formeln / Wahrheitstabellen
Modell einer Formel(menge)
Gültigkeit und Erfüllbarkeit
Tautologien und Kontradiktionen
Folgerung und Äquivalenz
Kalküle: kommt noch...
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F OLGERUNG UND Ä QUIVALENZ
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F OLGERUNG UND Ä QUIVALENZ
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B EISPIEL
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B EISPIEL
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B EISPIEL
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B EISPIEL
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B EISPIEL
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TAUTOLOGIEN UND K ONTRADIKTIONEN
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A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND F OLGERUNG
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A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND F OLGERUNG
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A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND F OLGERUNG
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A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND F OLGERUNG
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A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND F OLGERUNG :
Z USAMMENFASSUNG
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U NERF ÜLLBARKEIT, A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND
F OLGERUNG
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U NERF ÜLLBARKEIT, A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND
F OLGERUNG
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U NERF ÜLLBARKEIT, A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND
F OLGERUNG
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U NERF ÜLLBARKEIT, A LLGEMEING ÜLTIGKEIT UND
F OLGERUNG : Z USAMMENFASSUNG
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S TRUKTURELLE I NDUKTION F ÜR A USSAGENLOGIK
Zu zeigen:
Alle Formeln haben Eigenschaft p
Für alle F ∈ PROP, gilt p(F).
Induktionsanfang:
Wir beweisen, dass p(A) für alle atomaren Formeln gilt.
Beweise p(⊥), p(>) und p(qi ) für die aussagenlogischen Konstanten
qi , i ∈ N.
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S TRUKTURELLE I NDUKTION F ÜR A USSAGENLOGIK
Induktionsvoraussetzung:
Sei F eine Formel (die nicht atomar ist).
Annahme: alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind, haben
Eigenschaft p.
Induktionsschritt:
Zeige, dass auch F Eigenschaft p hat.
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S TRUKTURELLE I NDUKTION F ÜR A USSAGENLOGIK
Beweis durch Fallunterscheidung:
Fall 1: F = ¬G. Induktionvoraussetzung: p(G) gilt. Folgere, dass
p(F) gilt.
Fall 2: F = G ∧ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten.
Folgere, dass p(F) gilt.
Fall 3: F = G ∨ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten.
Folgere, dass p(F) gilt.
Fall 4: F = G → H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten.
Folgere, dass p(F) gilt.
Fall 5: F = G ↔ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten.
Folgere, dass p(F) gilt.
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Z WEIWERTIGE I NTERPRETATION
AUSSAGENLOGISCHER F ORMELN
Sei A : PC → {0, 1} eine Belegung. Die zweiwertige
Interpretation A∗ wird induktiv über den Aufbau von PROP
wie folgt definiert:
A∗ (⊥) = 0,
A∗ (>) = 1,
A∗ (p) = A(p), für alle p ∈ PC,
A∗ (¬F) = 1 − A∗ (F),
A∗ (F op G) = Bop (A∗ (F), A∗ (G)), Bop (x, y) wird entsprechend
der Wahrheitstafel der Operation op berechnet.
Wir scheiben normalerweise A statt A∗ und op statt Bop .
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TAUTOLOGIEN . W IEDERHOLUNG :
1
(p → ¬p) → (¬p)
2
(p ∧ (p → q)) → q
3
(p ∧ q) → p
4
(p ∧ q) → q
5
p → (p ∨ q)
6
q → (p ∨ q)
7
(p → q) → [(q → r) → (p → r)]
8
(((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) → r
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D EDUKTIONSMECHANISMEN :
WAHRHEITSTAFELMETHODE
Jede Formel F enthält endlich viele Aussagenvariablen
(propositionale Konstanten). A(F) ist nur von den Werten
dieser Aussagenvariablen abhängig.
F enthält n Aussagenvariablen: Es folgt 2n Wertbelegungen
notwendig um zu uberprüfen, ob F
erfüllbar/unerfüllbar/allgemeingültig ist oder nicht.
Dafür verwenden wir die Wahrheitstafel.
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D EDUKTIONSMECHANISMEN :
WAHRHEITSTAFELMETHODE
Ein erster Kalkül → Wahrheitstabelle.
F allgemeingültig (Tautologie): A(F) = 1 für alle
Wertbelegungen,
F erfüllbar: A(F) = 1 für zumindest eine Wertbelegung,
F unerfüllbar: A(F) = 0 für alle Wertbelegungen.
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Ä QUIVALENZEN
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A NWENDUNG : W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN F ÜR ⊥/>
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN : Z USAMMENGEFASST
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E IN ERSTER K ALK ÜL : WAHRHEITSTABELLEN
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E IN ZWEITER K ALK ÜL : LOGISCHE U MFORMUNG
Definition:
Äquivalenzumformung:
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
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T EILFORMELN
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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E IN ZWEITER K ALK ÜL : LOGISCHE U MFORMUNG
Definition:
Äquivalenzumformung:
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
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