Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 3 – 02.11

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 3 – 02.11.2012
Themen Grundbegriffe der Aussagenlogik, Aussagenlogik und Umgangssprache,
Erfüllbarkeit und Gültigkeit, Äquivalenz und Ersetzbarkeitstheorem, konjunktive
und disjunktive Normalform.
Literatur Zur aussagenlogischen Äquivalenz und dem Ersetzbarkeitstheorem [5,
1.2], [3, 2.3] oder [1, 1.1.2]. Zu Induktion [2, 9] oder [4, 2.4]. Zur konjunktiven und
disjunktiven Normalform [5, 1.2], [3, 2.4] oder [1, 1.1.3].
[1] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Vieweg, 2005. – ISBN 3519005182
[2] Ehrig, Hartmut ; Mahr, Bernd ; Cornelius, F.: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. 2. Auflage. Springer, 2001. – ISBN 3540419233
[3] Heinemann, Bernhard ; Weihrauch, Klaus:
Einführung. Teubner, 1992. – ISBN 3519122480
Logik für Informatiker. Eine
[4] Hoffmann, Dirk W.: Theoretische Informatik. 2. aktual. Auflage. Hanser, 2011. –
ISBN 3446426396
[5] Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum, 2000. – ISBN
3827410053
Belegungen Erinnerung: In aussagenlogischen Formeln kommen per Definition
nur die atomaren Aussagen A1 , A2 , . . . vor. Andere Buchstaben wie A, B, C, . . . sind
nur Abkürzungen für diese.
Eine Belegung ist eine Abbildung
A:D→B
von einer Teilmenge D ⊆ {A1 , A2 , . . .} in die Menge der Wahrheitswerte B = {0, 1}.
Mittels den induktiven Definitionen
A(¬F ) := ¬A(F ),
A(F ∧ G) := A(F ) ∧ A(G),
A(F ∨ G) := A(F ) ∨ A(G)
wird diese Abbildung auf die Menge all derjenigen Formeln fortgesetzt, zu denen A
passt, d.h., die nur atomare Aussagen aus D enthalten.
Erfüllbarkeit und Gültigkeit Bislang haben wir nur definiert, ob eine Formel
bezüglich einer bestimmten Belegung A wahr oder falsch ist (man spricht hier oft
von ,,auswerten zu wahr oder falsch“; Schreibweise A(F ) = 1 oder A |= F bzw.
A(F ) = 0 oder A 6|= F ). Die Formel F an sich kann nicht wahr oder falsch sein.
Man nennt F jedoch gültig (oder eine Tautologie; Schreibweise |= F ), wenn für alle
zu F passenden Belegungen A gilt, dass A(F ) = 1. Gibt es wenigstens eine solche
1
Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 3 – 02.11.2012
Belegung, heißt F erfüllbar. Wertet sich F unter allen passenden Belegungen zu 0
aus, so nennen wir F unerfüllbar (oder eine Kontradiktion).
Das Spiegelungsprinzip besagt, dass die Negation ¬F einer gültigen Formel F unerfüllbar ist und umgekehrt. Ist F erfüllbar, aber nicht gültig, dann ist dies auch
¬F .
Aufgaben
1. Formalisieren umgangssprachlicher Aussagen
Formalisieren Sie die folgenden Aussagen. Führen Sie zunächst geeignete atomare
Formeln ein. Schreiben Sie mit deren Hilfe die umgangssprachlichen Aussagen als
aussagenlogische Formeln. Wie viele Zeilen haben die zugehörigen Wahrheitstafeln?
(a) Wenn es das Buch weder in der Buchhandlung noch im Internet zu kaufen
gibt, wurde es vor 1970 geschrieben.
(b) Ein Student, der früh aufsteht, ist kein Student.
(c) In jeder Zeile und in jeder Spalte (eines Sudokus) kommt jede Zahl zwischen
1 und 9 vor.
2. Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Seien F , G und H drei aussagenlogische Formeln. F sei gültig, G unerfüllbar
und H erfüllbar, aber nicht gültig. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle die
Eigenschaften der angegebenen Formeln an:
Formel
F ∧G
¬F ∨ (G → H)
(H ↔ G) ↔ H
(F ∨ G) ∧ ¬H
H→G
(H ∧ ¬G) → H
gültig unerfüllbar erfüllbar, aber nicht gültig
3. Normalformen und Algorithmen
Gibt es eine Normalform, die zur Prüfung auf Erfüllbarkeit besonders geeeignet
ist? Gilt dies auch für Gültigkeit? Warum ist es dennoch nicht unbedingt effizient,
für einen solchen Test eine Formel zunächst in diese Normalform zu überführen?
2