Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 2 – 28.10

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 2 – 28.10.2011
Themen Mengen und Relationen, Grundbegriffe der Aussagenlogik, Aussagenlogik und Umgangssprache, Erfüllbarkeit und Gültigkeit, Äquivalenz und Ersetzbarkeitstheorem.
Literatur Zu Relationen jedes einführende Buch über Mathematik oder Theoretische Informatik, z.B. [4, 5.1]. Zur Erfüllbarkeit und Gültigkeit [3, 1.1] oder [2,
2.1–2.2] oder [1, 1.1.1]. Zur aussagenlogischen Äquivalenz und dem Ersetzbarkeitstheorem [3, 1.2] oder [2, 2.3] oder [1, 1.1.2].
[1] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Vieweg, 2005. – ISBN 3519005182
[2] Heinemann, Bernhard ; Weihrauch, Klaus:
Einführung. Teubner, 1992. – ISBN 3519122480
Logik für Informatiker. Eine
[3] Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum, 2000. – ISBN
3827410053
[4] Teschl, Gerald ; Teschl, Susanne: Mathematik für Informatiker 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, 2010. – ISBN 3540774319
Belegungen Erinnerung: In aussagenlogischen Formeln kommen per Definition
nur die atomaren Aussagen A1 , A2 , . . . vor. Andere Buchstaben wie A, B, C, . . . X, Y, . . .
sind nur Abkürzungen für diese.
Eine Belegung ist eine Abbildung
A:D→B
von einer Teilmenge D ⊆ {A1 , A2 , . . .} in die Menge der Wahrheitswerte B = {0, 1}.
Mittels den induktiven Definitionen
A(¬F ) := ¬A(F ),
A(F ∧ G) := A(F ) ∧ A(G),
A(F ∨ G) := A(F ) ∨ A(G)
wird diese Abbildung auf die Menge all derjenigen Formeln fortgesetzt, zu denen A
passt, d.h., die nur atomare Aussagen aus D enthalten.
Erfüllbarkeit und Gültigkeit Bislang haben wir nur definiert, ob eine Formel
bezüglich einer bestimmten Belegung A wahr oder falsch ist (man spricht hier oft
von ,,auswerten zu wahr oder falsch“; Schreibweise A |= F ). Die Formel F an sich
kann nicht wahr oder falsch sein.
Man nennt F jedoch gültig (oder eine Tautologie; Schreibweise |= F ), wenn für alle
zu F passenden Belegungen A gilt, dass A(F ) = 1. Gibt es wenigstens eine solche
Belegung, heißt F erfüllbar. Wertet sich F unter allen passenden Belegungen zu 0
aus, so nennen wir F unerfüllbar (oder eine Kontradiktion).
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Das Spiegelungsprinzip besagt, dass die Negation ¬F einer gültigen Formel F unerfüllbar ist und umgekehrt. Ist F erfüllbar, aber nicht gültig, dann ist dies auch
¬F .
Aufgaben
1. Formalisieren umgangssprachlicher Aussagen
Formalisieren Sie die folgenden Aussagen. Führen Sie zunächst geeignete atomare
Formeln ein. Schreiben Sie mit deren Hilfe die umgangssprachlichen Aussagen als
aussagenlogische Formeln. Wie viele Zeilen haben die zugehörigen Wahrheitstafeln?
(a) Wenn es das Buch weder in der Buchhandlung noch im Internet zu kaufen
gibt, wurde es vor 1970 geschrieben.
(b) Ein Student, der früh aufsteht, ist kein Student.
(c) In einem gelösten Sudoku kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte jede Zahl
zwischen 1 und 9 vor.
2. Relationen
Kreuzen Sie die zutreffenden Eigenschaften der angegebenen Relationen über der
Menge M = {1, 2, 3} an:
Relation
{(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
6
=
≤
∅
M ×M
reflexiv
symmetrisch
transitiv
3. Erfüllbarkeit und Gültigkeit
Seien F , G und H drei aussagenlogische Formeln. F sei gültig, G unerfüllbar
und H erfüllbar, aber nicht gültig. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle die
Eigenschaften der angegebenen Formeln an:
Formel
F ∧G
¬F ∨ (G → H)
(H ↔ G) ↔ H
(F ∨ G) ∧ ¬H
H→G
(H ∧ ¬G) → H
gültig
unerfüllbar erfüllbar, aber nicht gültig
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