Logik f ¨ur Informatiker

Logik für Informatiker
Vorlesung 4: Zweiwertige Modelle
Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca
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27. Oktober 2016
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Z WEIWERTIGE I NTERPRETATION
AUSSAGENLOGISCHER F ORMELN
Sei A : PC → {0, 1} eine Belegung. Die zweiwertige
Interpretation A∗ wird induktiv über den Aufbau von PROP
wie folgt definiert:
A∗ (⊥) = 0,
A∗ (>) = 1,
A∗ (p) = A(p), für alle p ∈ PC,
A∗ (¬F) = 1 − A∗ (F),
A∗ (F op G) = Bop (A∗ (F), A∗ (G)), Bop (x, y) wird entsprechend
der Wahrheitstafel der Operation op berechnet.
Wir scheiben normalerweise A statt A∗ und op statt Bop .
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TAUTOLOGIEN . W IEDERHOLUNG :
1
(p → ¬p) → (¬p)
2
(p ∧ (p → q)) → q
3
(p ∧ q) → p
4
(p ∧ q) → q
5
p → (p ∨ q)
6
q → (p ∨ q)
7
(p → q) → [(q → r) → (p → r)]
8
(((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) → r
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D EDUKTIONSMECHANISMEN :
WAHRHEITSTAFELMETHODE
Jede Formel F enthält endlich viele Aussagenvariablen
(propositionale Konstanten). A(F) ist nur von den Werten
dieser Aussagenvariablen abhängig.
F enthält n Aussagenvariablen: Es folgt 2n Wertbelegungen
notwendig um zu uberprüfen, ob F
erfüllbar/unerfüllbar/allgemeingültig ist oder nicht.
Dafür verwenden wir die Wahrheitstafel.
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D EDUKTIONSMECHANISMEN :
WAHRHEITSTAFELMETHODE
Ein erster Kalkül → Wahrheitstabelle.
F allgemeingültig (Tautologie): A(F) = 1 für alle
Wertbelegungen,
F erfüllbar: A(F) = 1 für zumindest eine Wertbelegung,
F unerfüllbar: A(F) = 0 für alle Wertbelegungen.
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Ä QUIVALENZEN
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A NWENDUNG : W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN F ÜR ⊥/>
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W ICHTIGE Ä QUIVALENZEN : Z USAMMENGEFASST
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E IN ERSTER K ALK ÜL : WAHRHEITSTABELLEN
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E IN ZWEITER K ALK ÜL : LOGISCHE U MFORMUNG
Definition:
Äquivalenzumformung:
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
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T EILFORMELN
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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S UBSTITUTIONSTHEOREM
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E IN ZWEITER K ALK ÜL : LOGISCHE U MFORMUNG
Definition:
Äquivalenzumformung:
(Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch
äquivalente Formel
Anwendung des Substitutionstheorems
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E IN ZWEITER K ALK ÜL : LOGISCHE U MFORMUNG
Theorem
Äquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen
Äquivalenzen einen vollständigen Kalkul:
Wenn F und G logisch äquivalent sind, kann F in G umgeformt
werden.
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A NWENDUNG
Test für Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit.
Beispiel
(P → Q) ∧ ¬((Q → R) → (P → R)).
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B EISPIEL
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K ALK ÜLE
Wahrheitstabellen
Äquivalenzumformungen
nicht besonders effizient...
Ziel: Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von
Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen)
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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B EISPIEL
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B EISPIEL : DNF
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B EISPIEL : DNF
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B EISPIEL : KNF
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N ORMALFORMEN
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N ORMALFORMEN
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U MFORMUNG IN KNF
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U MFORMUNG IN KNF
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U MFORMUNG IN KNF: B EISPIEL
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U MFORMUNG IN DNF
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KNF: M ENGENSCHREIBWEISE
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KNF: M ENGENSCHREIBWEISE
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V EREINFACHUNG DER KNF: S UBSUMPTION
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