Theoretische Physik IV

Theoretische Physik IV
SoSe 2010
Übungsblatt 6
Dozent: J. König
Übung: J. Swiebodzinski, A. Hucht
Abgabe: bis 31.05.10, 13:00.
Aufgabe 16 :
(6 Punkte)
Ein zweiatomiges Molekül besitzt Translations-, Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgrade. Es
soll die spezifische Wärme eines idealen Gases von N derartigen Molekülen berechnet werden.
Der Beitrag der Translationsbewegung ist CVtrans = 32 N k.
(a) Die Energieniveaus der Schwingungszustände des Moleküls sind
"
!
Enosc = !ω n + 21 ,
n = 0, 1, 2, . . .
osz , die innere Energie U und daraus die
Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme ZK
osc
spezifische Wärme CV für den Schwingungsfreiheitsgrad. Was ergibt sich für hohe bzw. tiefe Temperaturen?
(b) Die Rotationsenergieniveaus sind gegeben durch
Elrot =
J2
,
2I
J 2 = !2 l(l + 1) ,
l = 0, 1, 2, . . .
rot für den
wobei I das Trägheitsmoment ist. Geben Sie die kanonische Zustandssumme ZK
Rotationsanteil an. Berechnen Sie die spezifische Wärme CVrot für den Rotationsfreiheitsgrad
im Grenzfall hoher und niedriger Temperaturen.
Hinweis: Für tiefe Temperaturen brauchen nur die Terme mit l = 0 und l = 1 berücksichtigt
werden. Für hohe Temperaturen verwenden Sie die Euler-MacLaurin-Näherungsformel
∞
#
n=0
f (n) ≈
ˆ
∞
0
1
1
1 """
dxf (x) + f (0) − f " (0) +
f (0) .
2
12
720
(c) Zeigen Sie qualitativ, dass E rot # E osc und skizzieren Sie detailliert die spezifische Wärme
CV = CVtrans + CVosc + CVrot als Funktion der Temperatur.
Aufgabe 17 :
(6 Punkte)
In einem Kristall sind N Atome fixiert, die je eine nicht-abgeschlossene Schale mit Gesamtdrehimpuls J aufweisen. In einem äußeren Magnetfeld B = Bez besitzt das Atom i also die EnergieEigenwerte
εi = −µB mi B ,
mi = −J, (−J + 1), . . . , (J − 1), J .
(a) Zeigen Sie, dass die kanonische Zustandssumme faktorisiert, d. h. Z = (Z1 )N . Berechnen
Sie Z1 als Funktion von x = µB βB.
(b) Die Magnetisierung ist definiert durch
M (T, B, N ) = µB
$
N
#
i=1
mi
%
.
Zeigen Sie, dass M = N µB $m1 % und berechnen Sie $m1 % als Funktion von x.
(c) Entwickeln Sie M für große bzw. kleine Magnetfelder (x & 1 bzw. x # 1) und berechnen
Sie die Nullfeld-Suszeptibilität
'
&
∂M
.
χ(T, N ) = lim
B→0
∂B T
(d) Wir betrachten nun den klassischen Limes, bei dem die Quantisierung des Drehimpulses
keine Rolle mehr spielt. Bilden Sie dazu den Grenzübergang J → ∞, wobei BJ = const.
gehalten wird. Berechnen Sie das magnetische Moment pro Spinlänge und Gitterplatz m̄ =
M/JN in diesem Limes.
Computeraufgabe C3 : Random Walk
(10 Punkte)
Untersuchen Sie einen Random-Walker in d Dimensionen, der in jedem Zeitschritt k gleichverteilt
einen Schritt δ'rk ∈ M aus einer vorgegebenen Menge M von Schritten macht (Definieren Sie eine
Variable M = {...} für die Schritte). Der Ort nach n Schritten ist dann
'rn =
n
#
δ'rk ,
'r0 = '0.
k=1
Schreiben Sie eine Funktion end[n_] := ... zur Berechnung dieses Ortes nach n Schritten.
Bestimmen Sie damit die Verteilungsfunktion Hn ('r ) der Endpunkte. Definieren Sie hierzu für
eine und zwei Dimensionen eine Mathematica-Funktion
Clear[hist]
hist[data_, {xmin_, xmax_, dx_}] := ...,
hist[data_, {xmin_, xmax_, dx_}, {ymin_, ymax_, dy_}] := ...,
die an zentrierten Stützstellen {xmin, xmin + dx, . . . , xmax} (entsprechend für d = 2) das Histogramm von data bestimmt.
Vergleichen Sie die aufgenommenen Histogramme mit der exakten Lösung
&
'
'
&(
'r · 'r
1
n
exp − 2 ,
(, 'r
mit
G(σ, 'r ) =
Pn ('r ) = G
d
2σ
(2πσ)d/2
wobei ( die mittlere Länge der in M enthaltenen Schritte ist, und stellen Sie die Ergebnisse grafisch
dar.
Untersuchen Sie das Problem für folgende Fälle:
(a) Random Walk in einer Dimension mit M = {+1,-1}.
(b) Random Walk in zwei Dimensionen auf dem Quadratgitter mit
M = {{+1,0}, {0,+1}, {-1,0}, {0,-1}}.
(c) Random Walk eines Springers auf einem Schachbrett.
Woher stammt der Faktor Zwei zwischen Hn ('r ) und Pn ('r ), und wie kann man das Problem
beheben?
Stellen Sie zusätzlich die Trajektorie des Random Walks der zweidimensionalen Fälle mit
Animate[] dar. Speichern Sie hierzu die Trajektorie mit Accumulate[] in einer Variablen walk
ab und stellen Sie Line[Take[walk,i]] zusammen mit Point[walk[[i]] für i = 1, . . . , n
dar.