Theoretische Physik III: Weihnachtszettel Blatt Nr. 0 16.12.2015

Theoretische Physik III: Weihnachtszettel
Blatt Nr. 0
16.12.2015
Aufgabe 0.1: kleine Fragerunde
(a) Wie verhält sich die freie Enthalpie bei steigenden Druck?
(b) Wie lauten die natürlichen Variablen der inneren Energie? Des großkanonischen Potentials?
(c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der freien Energie und der freien Enthalpie?
(d) Wie ist die spezifische Wärme bei konstantem Volumen definiert? Geben Sie einen Zusammenhang
mit Fluktu- ationen geeigneter Größen an. Vorfaktoren brauchen nicht angegeben werden.
(e) Zwei Systeme mit Teilchensorten A, B befinden sich getrennt durch eine Wand in einem Container.
Was lässt sich im thermischen Gleichgewicht über die Teilsysteme sagen, falls die Wand fest, teilchenundurchlässig aber energie-durchlässig ist. Was, wenn die Wand fest, teilchen-undurchlässig für A,
teilchen-durchlässig für B und energie-durchlässig ist?
(f) Wie lautet die mittleren Bestzungzahlen für nichtwechselwirkende Bosonen/Fermionen?
(g) Was versteht man unter extensiven und intensiven Variablen? Geben Sie jeweils zwei Beispiele an. (
(h) Wie verhalten sich die typischen Teilchenzahl-Fluktuationen um den Mittelwert in Abhängigkeit der
mittleren Teilchenzahl im großkanonischen Ensemble (bei fester Temperatur und festem chemischen
Potential)?
(i) Skizzieren Sie die magnetische Suszeptibilität eines Systems identischer nichtwechselwirkender Spin
1/2 Teilchen bei einem angelegten Magnetfeld als Funktion der Temperatur. Geben Sie die charakteristische Energieskala an und diskutieren Sie das Verhalten für tiefe und hohe Temperaturen.
(j) Welche Zustände tragen effektiv zur kanonischen Zustandssumme bei? Wieviele gibt es davon?
(k) M ununterscheidbare Quanten sind auf N Oszillatormoden zu verteilen. Wieviele Mikrozustände
gibt es?
(l) Geben Sie die Dispersionsrelation für nichtwechselwirkende Elektronen an. Welches charakteristische
Verhalten zeigt der Elektronenbeitrag zur Wärmekapazität bei tiefen Temperaturen?
(m) Welcher qualitative Unterschied besteht zwischen den Dispersionsrelationen von Rotonen und Phononen? Welche Konsequenz ergibt sich für den jeweiligen Beitrag zur spezifischen Wärme?
(n) Was versteht man unter Bose-Einstein Kondensation. Geben Sie einen Zusammenhang zwischen der
Temperatur, an welcher der Übergang stattfindet, und der Teilchendichte an. Numerische Vorfaktoren brauchen nicht angegeben werden.
(o) Was versteht man unter kritischen Exponenten bei einem Phasenübergang zweiter Ordnung? Geben
Sie zwei Beispiele für solche Exponenten und für zwei Systeme, wo ein solcher Phasenübergang
stattfindent.
M.Czopnik
Theoretische Physik III (WiSe 2015/2016)
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Aufgabe 0.2: Van-der-Waals Gas
Leiten Sie aus der Zustandssumme des van-der-Waals Gases
2 (V − V0 )N
N a
Z=
exp
3N
λ N!
V kT
(a) die thermische Zustandsgleichung p = p(V, T ),
(b) die kalorische Zustandsgleichung E = E(V, T ),
(c) sowie die spezifische Wärme CV
ab und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen des idealen Gases.
Aufgabe 0.3: Harmonischer Oszillator
Betrachten Sie einen harmonischen Oszillator im Wärmebad der Temperatur T . Seine möglichen Energieniveaus sind En = hν (n + 1/2) wobei n = 0, 1, 2, ... Berechnen Sie die (kanonische) Zustandssumme.
Aufgabe 0.4: Molekül als Rotator
Betrachten Sie ein Gas aus zweiatomigen Molekülen. Jedes Molekül kann als starrer Körper betrachtet
werden, bei dem die gesamte Masse in den beiden Atomen konzentriert ist. Im thermischen Gleichgewicht
besitzen beide Atome einen mittleren Abstand R, so dass das Trägheitsmoment des Moleküls Θ = µR2 /2
beträgt, wobei µ die reduzierte Masse bezeichnet. Im folgenden interessieren nur die Rotationsfreiheitsgrade, die zu einer Energie
Erot
~2
j(j + 1), j = 0, 1, 2, ...
=
2Θ
führen.
(a) Drücken Sie die spezifische Wärme Crot in Momenten der Rotationsenergie Erot aus.
(b) Berechnen Sie die mittlere Rotationsenergie hErot i und die spezifische Wärme Crot jeweils im Grenzfall kleiner und großer Temperaturen.
(c) Skizzieren Sie die spezifische Wärme als Funktion der Temperatur, indem Sie die Ergebnisse aus
(b). anwenden.
Wünsche euch frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!!