Physik Formelsammlung Amamnn Roman HSR

Physik
Formelsammlung
Amamnn Roman
HSR Rapperswil Informatik
[email protected]
3. April 2002
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Physikalische Grössen
1.2 SI . . . . . . . . . . .
1.2.1 Einheiten . . .
1.2.2 Präfixe . . . .
1.3 Griechisches Alphabet
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3
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4
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2 Geometrische Optik
2.1 Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . .
2.2 Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . .
2.2.1 Sphärische Spiegel . . . . . .
2.3 Brechung . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Brechungsgesetz . . . . . . .
2.3.2 Totalreflexion . . . . . . . .
2.3.3 Prisma . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Linsentypen . . . . . . . . .
2.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Abbildungen durch Spiegel .
2.4.2 Abbildungen durch Linsen . .
2.4.3 Brechkraft (Dioptrie) . . . .
2.4.4 Abbildungsgleichungen . . .
2.5 Abbildungssystem . . . . . . . . . .
2.5.1 Auge . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Fotoapperat . . . . . . . . .
2.5.3 Projekor . . . . . . . . . . .
2.5.4 Lupe . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Mikroskop . . . . . . . . . .
2.5.6 Fernrohre . . . . . . . . . .
2.5.7 Teleobjektiv . . . . . . . . .
2.5.8 Lichtstärke (geometrisch) . .
2.5.9 Austrittspupille und Feldlinse
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3 Statik
3.1 Haftreibung . . . . . . . . . . .
3.2 Drehmoment eines Kraeftepaars
3.3 Gleichgewichtsbedingung . . . .
3.4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . .
3.5 Dehnung . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
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3.7
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Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Kinematik
4.1 Gleichförmige Bewegung . . . . . . .
4.2 Gleichmässig beschleunigte Bewegung
4.2.1 v0 = 0, x0 = 0 . . . . . . . .
4.2.2 v0 6= 0, x0 = 0 . . . . . . . .
4.3 Gleichmässig verzögerte Bewegung . .
4.3.1 vt = 0, x0 = 0 . . . . . . . . .
4.3.2 vt 6= 0, x0 = 0 . . . . . . . . .
4.4 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Winkelgeschwindigkeit . . . .
4.4.2 Winkelbeschleunigung . . . . .
4.5 Wurfbahnen . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Freier Fall . . . . . . . . . . .
4.5.2 Senkrechter Wurf . . . . . . .
4.5.3 Horizontaler Wurf . . . . . . .
4.5.4 Schiefer Wurf . . . . . . . . .
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5 Dynamik
5.1 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Aktionsgesetz . . . . . . . . . .
5.2 Masse und Gewichte . . . . . . . . . . .
5.2.1 Gewicht . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Dichte und spezifisches Gewicht
5.3 Gleit- und Rollreibung . . . . . . . . . .
5.3.1 Gleitreibung . . . . . . . . . . .
5.3.2 Rollreibung . . . . . . . . . . .
5.4 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . .
5.4.1 Hubarbeit . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Feder . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Potentielle Energie . . . . . . .
5.4.4 Kinetische Energie . . . . . . . .
5.4.5 Rotationsenergie . . . . . . . . .
5.4.6 Energieerhaltungssatz . . . . . .
5.5 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . .
5.5.1 Leistung . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Wirkungsgrad . . . . . . . . . .
5.6 Impuls und Impulserhaltungssatz . . . .
5.6.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Impulserhaltunssatz . . . . . . .
5.6.3 Stösse . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Rakete . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Flächensatz . . . . . . . . . . .
5.7.2 Keplersche Gesetze . . . . . . .
5.7.3 Gravitationsgesetze . . . . . . .
5.7.4 Bahnen im Gravitationsfeld . . .
5.8 Drehbewegung starrer Körper . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5.8.1
5.8.2
3
Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Wärme
6.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Fundamentalpunkte und Fixpunkte . . .
6.1.2 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Stoffmenge . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 Zustandgrössen und Prozessgrössen . .
6.2 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Längenausdehnung . . . . . . . . . . .
6.2.2 Volumenausdehnung . . . . . . . . . .
6.2.3 Thermische Spannung . . . . . . . . . .
6.3 Thermische Zustandgleichungen . . . . . . . .
6.3.1 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Gemische idealer Gase . . . . . . . . . .
6.3.3 Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Begriff Wärme . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik .
6.4.3 Spezifische und molare Wärmekapazität
6.4.4 Austausch von Wärmemenge . . . . . .
6.5 Phasen und Phasenübergänge . . . . . . . . . .
6.5.1 Phasenübergänge . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Schmelzdruck . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . .
6.6 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Der Gasdruck . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Äquipartitionsgesetz . . . . . . . . . . .
6.6.3 Innere Energie und Molwärme . . . . .
6.6.4 Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . .
6.6.5 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
6.7 Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . .
6.8 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Wärmeübergang . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Wärmedurchgang . . . . . . . . . . . .
6.8.4 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . .
6.9 Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.1 Isobare Zustandsänderung . . . . . . . .
6.9.2 Isochore Zustandsänderung . . . . . . .
6.9.3 Isotherme Zustandsänderung . . . . . .
6.9.4 Adiabatische Zustandsänderung . . . .
6.9.5 Polytrope Zustandsänderung . . . . . .
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31
32
33
33
33
33
34
34
34
34
35
35
35
35
35
35
36
37
38
38
38
39
39
40
40
40
41
41
41
43
43
43
43
43
43
44
44
45
47
47
48
48
49
50
50
50
50
51
51
INHALTSVERZEICHNIS
4
6.9.6 Expansion und Kompression . . . . . .
6.9.7 Geschlossene und offene Systeme . . . .
6.9.8 Reversible und irreversible Prozesse . . .
6.10 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.1 Rechts- und linkslaufende Kreisprozesse
6.10.2 Der Kreisprozess von Sadi Carnot . . .
6.10.3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
6.10.4 Wirkungsgrad und Leistungszahl . . . .
6.10.5 Technische Kreisprozesse . . . . . . . .
7 Schwingungen
7.1 Harmonische Schwingungen . . . . . .
7.1.1 Ungedämpft Eigenschwingung
7.1.2 Gedämpfte Eigenschwingung .
7.2 Federpendel . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Ungedämpft . . . . . . . . . .
7.2.2 Feder . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Drehpendel . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Mathematisches Pendel . . . . . . . .
7.5 Physikalisches Pendel . . . . . . . . .
7.6 Schwingkreise . . . . . . . . . . . . .
7.7 Auslenkung . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Kreisförmige Auslenkung . . .
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56
56
56
58
58
58
59
59
59
60
61
61
Kapitel 1
Grundlagen
1.1
Physikalische Grössen
G = {G}[G]
(1.1)
Eine Physikalische Grösse G ist das Produkt aus einem Zahlenwert {G} und einer
Einheit [G].
s = 2.63 m
{s} = 2.63
[s] = m
1.2
1.2.1
SI
Einheiten
Dimension
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
thermodynamische Temperatur
Substanzmenge
Lichtstärke
5
Einheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampère
Kelvin
Mol
Candela
Symbol
m
kg
s
A
K
mol
cd
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.2.2
6
Präfixe
Faktor
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
1.3
Präfix
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Symbol
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Griechisches Alphabet
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
θ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
Iota
Kappa
Lambda
Mü
Nü
Xi
Omrikon
Pi
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
%
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
ρ
φ
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Kapitel 2
Geometrische Optik
2.1
Lichtgeschwindigkeit
c = 2990 7920 458 ms−1
2.2
Reflexionsgesetz
Der Reflexionswinkel ε0 ist gleich dem Einfallswinkel ε.
2.2.1
Sphärische Spiegel
f=
r
2
Bei einen Konkavspiegel liegt der Brennpunkt F in Richtung der einfallenden Strahlen (vor dem Spiegel). Wir definieren f > 0. Bei einem Konvexspiegel ist das
Gegenteil der Fall und es gilt f < 0.
2.3
2.3.1
Brechung
Brechungsgesetz
J
J
J
J
0
J ε1 ε1 J J
^
B
B
ε2B
B
B
B
BN
7
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
8
n1 sin ε1 = n2 sin ε2
Weiter gilt, das n das Verhältnis zwischen der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und
der Lichtgeschwindigkeit u im Medium ist.
n=
c
u
Wenn mehrer Schichten durchdrungen werden, hängt die Brechung nur von der
ersten und der n-ten Schicht ab.
nn
sin ε1
=
sin εn
n1
2.3.2
Totalreflexion
Totalreflexion kann nur auftreten, wenn Licht von optisch dickeren ins optisch
dünnere Material wechselt.
1
Z
}
Z
JJ Z
εgJ Z
J ZZ
J
Z
=
J
Z
2
Alle Strahlen, welche flacher auf die Trennfläche treffen als der Grenzwinkel werden
ebenfalls reflektiert.
n1
εg = arcsin
n2
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
2.3.3
9
Prisma
δ = δ(ε1 , n1 , n2 , ϕ)
2.3.4
Linsentypen
Das Öffungsverhältnis einer Linse ist das Verhältnis zwischen dem Durchmesser der
Öffungsblende d und der Brennweite f.
q=
d
f
Wenn das Linsenmaterial optisch dichter als die Umgebung sind Sammellinsen in
der Mitte dicker als am Rand und
Zerstreuungslinsen in der Mitte dünner als am Rand.
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
10
Fresnel-Linse sind Stufenlinsen. Eine Stufenlinse besteht aus einer zentralen dünnen
Linse, die von stufenartigen angeordneten Ringzonen umgeben ist.
2.4
2.4.1
Abbildungen
Abbildungen durch Spiegel
Konkavspiegel
6
XXX
XXX
G1 6
X
B2
@
G2 6
XX
@
F
XXX
XXX @
B1 ?
XX
Konvexspiegel
PP
P
G
PP
6 P
PP
P
PP
PP
PP
6
B
F
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
11
Planspiegel
PP
6 PP
PP
G
PP
P
6
B
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
2.4.2
12
Abbildungen durch Linsen
Sammellinsen
f >0
PP
Q
6 PP
Q
PP
G
Q
PP
QF
PP
PP QQ
PP Q
PPQ B
P
Q?
Zerstreuungslinse
f <0
F
H
G 6HH
6 HH
H
HH
H
HH
H
B
2.4.3
Brechkraft (Dioptrie)
Die Brechkraft wird mit
D=
1
f
definiert und als Dioptrie bezeichnet. Die Linsenschleifergleichung lautet:
n2
1
1
D=
−1
+
n1
r1
r2
Radien konvexer Flächen sind positiv und Radien konkaver Flächen sind negative gerechnet. n2 ist der Brechungsindex des Linsenmaterials und n1 der Brechungsindex
der Umgebung. Weiter gelten folgende Gleichungen:
D = D1 + D2
1
1
1
=
+
f
f1
f2
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
2.4.4
13
Abbildungsgleichungen
b=
fg
g−f
bf
b−f
bg
f=
b+g
B
b
=
G
g
g=
Das Verhältnis
β=
B
G
gilt als Abbildungsmassstab.
Vorzeichenkonventionen:
• Für sammelnden optische Bauelemente ist f > 0.
• Für zerstreuende optische Bauelemente ist f < 0.
• Für virtuelle Bilder ist b < 0 und B < 0.
• Für virtuelle Gegenstände ist g < 0 und G < 0.
Dabei ist zu beachten, dass im Fall reeller Gegenstände das Bild für B > 0 invertiert
und für B < 0 aufrecht und seitenrichtig ist. Im Fall von virtueller Gegenstände ist
es umgekehrt.
2.5
Abbildungssystem
2.5.1
Auge
2.5.2
Fotoapperat
Öffnungsverhältnis
q=
d
f
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
14
Die Zahl Z auf dem Blendeneinstellring sind die Reziprokwerte der Öffnungsverhältnisse:
1
Z=
q
Für die Belichtung gilt also
E ≈ q2 t
Die einstellbaren Belichtungszeiten sind überlicherweise
t=
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
s,
s,
s,
s,
s,
s,
s, s, s, s, 1 s, 2 s, . . .
1000 500 250 125 60 30 15 8 4 2
Zwei benachbarte Belichtungszeiten unterschieden
sich um den Faktor 2. Für die
√
Belichtungszeiten gilt nun der Faktor 2.
Z = 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, . . .
Schärfentiefe
1
1
u
=
± 2
g
g0
qf
Diese Beziehung liefert für einen gegebenen Unschärfedurchmesser u zwei Gegenstandsdistanzen g1 und g2 . Der Bereich g1 ≤ g ≤ g2 ist die sog. Schärfentiefe.
Gegenstandspunkte in diesem Entfernungsbereich werden mit einer Unschärfe von
≤ u abgebildet.
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
2.5.3
1
4
7
Projekor
Spiegel
Infrarot-Sperrfilter
Projektionsfläche
2.5.4
15
2
5
Lampe
Diapositiv, Film, Folie
3
6
Kondensor
Objektiv
Lupe
Die Vergrösserung einer Lupe beträgt
V =
s
f
Die deutliche Sichtweite s ist per Konvention auf 25 cm festgelegt. Um die maximale
Vergrösserung zu erreichen ist f zu minimieren. Ein f < 1 cm ist aber nicht sehr
sinnvoll, da die Lupe eine zu kleinen Durchmesser hätte.
2.5.5
Mikroskop
Vergrösserung des Mikroskop
V =
∆ s
f1 f2
Vergrösserung des Objektivs
V =
∆
f1
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
Vergrösserung des Okulars
V =
2.5.6
16
s
f2
Fernrohre
Astronomische Fernrohre
Vergrösserung des Fernrohres
V ==
f1
tan ε
=
tan ε0
f2
Länge des Fernrohres
l = f1 + f2
Galileisches oder holländische Fernrohr
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
Vergrösserung
f1 V = f2
2.5.7
Teleobjektiv
17
KAPITEL 2. GEOMETRISCHE OPTIK
2.5.8
18
Lichtstärke (geometrisch)
L=
D
V
2
wobei der Durchmesser D des Objektivs in Millimeter einzusetzen ist. V ist der
Vergrösserungsfaktor.
2.5.9
Austrittspupille und Feldlinse
a=
f2 (f1 + f2 )
f1 + f2
l
=
=
f1
V
V
d=
D
V
Somit ist die Lichtstärke auch
L = d2
Kapitel 3
Statik
3.1
Haftreibung
FRmax = µH FN
3.2
Drehmoment eines Kraeftepaars
M = aF
3.3
Gleichgewichtsbedingung
n
X
F~i = 0
i=1
Summe aller Kräfte ist Null.
n
X
~i = 0
M
i=1
Summe aller Drehmomente ist Null. Momente im Uhrzeigersinn werden negativ
geäehlt, solche im Gegenuhrzeiger positiv gezählt.
3.4
Schwerpunkt
Ein Bespiel für zwei Körper
xs =
x1 m1 + x2 m2
m1 + m2
ys =
y1 m1 + y2 m2
m1 + m2
19
KAPITEL 3. STATIK
20
zs =
z1 m1 + z2 m2
m1 + m2
Bei konstanter Dicke und gleichem Material können auch die Flächen der Koerper
benutzt werden.
3.5
Dehnung
ε=
∆l
Fs
=
EA
l
∆l =
Fs l
EA
E = Elastizitätsmodul
3.6
Querkontraktion
εq =
µF
∆d
=
d
EA
∆d =
dµF
EA
µ = Poissonzahl
3.7
Feder
F = ∆sc
c = Federkonstante
Kapitel 4
Kinematik
4.1
Gleichförmige Bewegung
a = 0
v = konst.
x = vt + x0
4.2
Gleichmässig beschleunigte Bewegung
a = konst.
v = at + v0
at2
x =
+ v0 t + x0
2
4.2.1
v0 = 0, x0 = 0
Beschleunigung
a =
=
=
vt
∆t
vt2
2∆s
2∆s
∆t2
Endgeschwindigkeit
vt
= a∆t
√
=
2a∆s
21
KAPITEL 4. KINEMATIK
22
Wegabschnitt
∆s =
=
=
vt ∆t
2
a∆t2
2
vt2
2a
Zeitabschnitt
∆t
=
=
4.2.2
vt
a
r
2∆s
a
v0 6= 0, x0 = 0
Beschleunigung
a =
=
vt − v0
∆t
vt2 − v02
2∆s
Endgeschwindigkeit
vt
= v0 + ∆v
= v0 + a∆t
q
=
v02 + 2a∆s
Wegabschnitt
v0 + vt
∆t
2
a∆t2
= v0 ∆t +
2
vt2 − v02
=
2a
∆s =
KAPITEL 4. KINEMATIK
23
Zeitabschnitt
∆t
4.3
vt − v0
a r
v0
v0 2 2∆s
= − ±
+
a
a
a
=
Gleichmässig verzögerte Bewegung
a = konst.
v = at + v0
at2
x =
+ v0 t + x0
2
4.3.1
vt = 0, x0 = 0
Verzögerung
a =
=
=
v0
∆t
v02
2∆s
2∆s
∆t2
Anfangsgeschwindigkeit
v0
= a∆t
√
=
2a∆s
Wegabschnitt
∆s =
=
=
v0 ∆t
2
a∆t2
2
v02
2a
KAPITEL 4. KINEMATIK
24
Zeitabschnitt
∆t
=
=
4.3.2
v0
a
r
2∆s
a
vt 6= 0, x0 = 0
Verzögerung
a =
=
v0 − vt
∆t
v02 − vt2
2∆s
Anfangsgeschwindigkeit
vt
= v0 − ∆v
= v0 − a∆t
q
=
v02 − 2a∆s
Wegabschnitt
v0 + vt
∆t
2
a∆t2
= v0 ∆t −
2
v02 − vt2
=
2a
∆s =
Zeitabschnitt
∆t
=
=
v0 − vt
a r
v0
v0 2 2∆s
±
−
a
a
a
KAPITEL 4. KINEMATIK
4.4
4.4.1
25
Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit
Drehfrequenz:
ν=
1
T
T =
2π
ω
Umlaufzeit:
Winkelgeschwindigkeit:
v
= 2πν
r
ω=
4.4.2
Winkelbeschleunigung
Tangentialbschleunigung:
∆ω
∆ν
r=
∆t
∆t
at = αr =
Radialbeschleunigung:
ar =
v2
= rω 2 = vω 2
r
Beschleunigung im Kreis:
a=
q
a2t + a2r
Winkelbeschleunigung:
at
r
Für gleichförmig und gleichförmig beschleunigte Kreisbewegungen kann man die
Formel der normalen Bewegungen gemäss folgendem Schlüssel verwenden.
α=
x, s ↔ ϕ
v ↔ ω
a, at ↔ α
4.5
4.5.1
Wurfbahnen
Freier Fall
ay
vy
y
= −g
= −gt
= −
gt2
2
KAPITEL 4. KINEMATIK
4.5.2
26
Senkrechter Wurf
= −g
= v0 − gt
ay
vy
= v0 t −
y
Steigzeit:
th =
v0
g
h=
v02
2g
gt2
2
Wurfhöhe (Wendepunkt):
Höhe bezüglich des Abwurfpunktes:
h(t) = v0 t −
4.5.3
gt2
2
Horizontaler Wurf
ax = 0
vx = v0
x = v0 t
ay
vy
y
= −g
= −gt
= −
t=
x
v0
y=−
4.5.4
gt2
2
gx2
2v02
Schiefer Wurf
ax = 0
vx = v0 cos ϕ
x = v0 cos ϕt
KAPITEL 4. KINEMATIK
27
ay
vy
y
= −g
= v0 sin ϕ − gt
= v0 sin ϕt −
gt2
2
Wurfbahngleichung:
y = tan ϕx −
Wurfweite:
d=
Wurfhöhe:
h=
gx2
cos2 ϕ
2v02
v02
sin(2ϕ)
g
v02
sin2 ϕ
2g
Kapitel 5
Dynamik
5.1
5.1.1
Newton
Aktionsgesetz
F~ = m~a
Komponentengleichungen
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
Fix
= max
Fiy
= may
Fiz
= maz
i=1
Kreisbahnen
Ft
Fr
5.2
5.2.1
= mat
= mar
Masse und Gewichte
Gewicht
FG = mg
28
KAPITEL 5. DYNAMIK
5.2.2
29
Dichte und spezifisches Gewicht
ρ=
5.3
5.3.1
m
V
Gleit- und Rollreibung
Gleitreibung
Die Gleitreibungskraft wirkt immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung. Analog
wie für die Haftreibungskraft gilt
FG = µG FN
5.3.2
Rollreibung
Auch die Rollreibungskraft wirkt entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung.
FR = µR FN
Maximale Beschleunigung
Die maximal mögliche Beschleunigung ist
a = µR g
Rollreibungslänge
Beim Rollen des Rades verschiebt sich die Normalkraft FN um die Rollreibungslänge
e in Fahrtrichtung.
e = µR r
Rollreibungsmoment
Durch das Verschieben der Normalkraft entsteht zusätzlich ein Moment.
MR = eFN
5.4
Arbeit und Energie
Arbeit ist wenn ein Angriffspunkt durch eine Kraft um die Strecke s verschoben
wird.
Z
W = F~ d~s
oder wenn die Projektion Fs der Kraft auf die Verschieberichtung längs des ganzen
Weges s konstant ist kann die einfache Beziehung
W = Fs s
verwendet werden. Arbeit besitzt die Einheit Joule J. Eine Wattsekunde 1W s = 1J.
KAPITEL 5. DYNAMIK
5.4.1
30
Hubarbeit
W = mgh
5.4.2
Feder
Die Kraft die benötigt wird um eine Feder zu spannen ist nicht konstant, sondern
nimmt in der Regel linear mit der Verlängerung x der Feder zu.
F = cx
c ist die Federkonstante so gilt für die Verlägerung x total aufgewendete Arbeit ist
in diesem Fall
c
W = x2
2
5.4.3
Potentielle Energie
Wird Arbeit in irgend einer Form gespeichert spricht man von potentieller Energie.
potentielle Energie der Lage im Schwerfeld der Erde:
Epot = mgh
potentielle Energie einer gespannten Feder:
5.4.4
5.4.5
Epot =
c 2
x
2
Ekin =
mv 2
2
Kinetische Energie
Rotationsenergie
Erot =
5.4.6
Jω 2
= Mω
2
Energieerhaltungssatz
Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systemes ist unveränderlich.
5.5
5.5.1
Leistung und Wirkungsgrad
Leistung
Leistung ist geleistete Arbeit pro Zeiteinheit.
P =
dW
dt
P = Fv
KAPITEL 5. DYNAMIK
P
F
v
31
Leistung
Kraft
Geschwindigkeit
Leistung hat die Einheit Watt.
[P ] = Js−1 = W
5.5.2
Wirkungsgrad
η=
5.6
5.6.1
Pab
Pzu
Impuls und Impulserhaltungssatz
Impuls
Ein Impuls ist das Produkt aus der Geschwindigkeit und der Masse.
p~ = m~v
5.6.2
Impulserhaltunssatz
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls konstant.
5.6.3
Stösse
Deformationsarbeit:
Q=
m1 m2
µv 2
(v1 − v2 )2 = rel
2(m1 + m2 )
x
reduzierte Masse:
µ=
m1 m2
m1 + m2
Relativgeschwindigkeit:
vrel =| v1 − v2 |
5.6.4
Rakete
Raketengleichung
m0
+ v0
m
mS
v = u ln
− gtB
m
v = u ln
v
v0
u
m
m0
mS
g
Geschwindigkeit
Startgeschwindigkeit
relativ Geschwindigkeit gegenüber Rakete
Masse zum Zeitpunkt tB
Startmasse
Startmasse
Schwerebeschleuningung
KAPITEL 5. DYNAMIK
32
Geschwindigkeitänderung:
δv = u ln
m0
m
Schub des Raketendriebwerks:
FS = µu
µ
Treibstoffverbrauch pro Zeit
spezifischer Impuls:
T =
u
g
Strahlgeschwindigkeit:
u = gT
5.7
Gravitation
5.7.1
Flächensatz
Die Flächengeschwindigkeit ist konstant. Der Fahrstrahl vom Zentrum zum Massenpunkt überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Bahn eines Massenpunktes unter dem Einfluss einer Zentralkraft ist eben.
5.7.2
Keplersche Gesetze
• Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht
• Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
• Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben
der Halbachsen ihrer Bahnen
a3
T22
= 23
2
T1
a1
Ellipse
e
a
b
ε
lineare Exzentrität
grösserer Abstand Zentrum Rand
kleinerer Abstand Zentrum Rand
e
a lineare Exzentrität
Halbachse
a2 =
T2 2/3
a1
T1
KAPITEL 5. DYNAMIK
5.7.3
33
Gravitationsgesetze
Newtonsche Gravitationsgesetze
FG = G
m1 m2
r2
G = 6.673 · 10−11
potentielle Energie im Gravitationsfeld einer Zentralmasse M
Epot = −G
Mm
r
Gravitationspotential
ϕ=−
5.7.4
GM
r
Bahnen im Gravitationsfeld
Kreisbahngeschwindigkeit
r
vK =
GM
r
Fluchtgeschwindigkeit
Geschwindigkeit so gross, damit sich Körper unendlich weit entferen kann (E = 0).
r
GM
vF = 2
r0
√
vF = 2vK
Wenn v0 < vF wird eine Ellipsenbahn eingeschlagen, bei v0 = vF eine Parabelbahn
und bei v0 > vF eine Hyperbelbahn.
Hyperbolischer Exzess
Einen hyperbolischen Exzess erhalten wir, wenn im Unendlichen noch Restenergie
vorhanden ist.
q
v∞ = v02 − vF2
5.8
5.8.1
Drehbewegung starrer Körper
Trägheitsmoment
Allgemein
Das Trägheitsmoment hat die Einheit kgm2 .
Z
J = r2 m
KAPITEL 5. DYNAMIK
34
Zylinder
mr2
2
J=
Quader
J=
m(a2 + b2 )
12
Kreisscheibe
J=
1 2
mr
2
Steiner
Ein Trägheitsmoment um eine Achse A ist gleich dem Trägheitsmoment um den
Schwerpunkt plus dem Produkt aus dem Quadrat es Abstandes des Schwerpunktes
zur Achse und der Masse.
J = JS + ma2
5.8.2
Kreisscheibe
Kinetische Energie
Ekin =
Jω 2
= mr2 ω 2
2
Leistung
P = Mω =
P
M
ω
Jω 2
2
Leistung
Drehmoment
Winkelgeschwindigkeit
Radialkraft
Fr =
mv 2
r
Tangentialkraft
Ft = mar = mω 2 r
Kapitel 6
Wärme
6.1
6.1.1
Grundlagen
Fundamentalpunkte und Fixpunkte
Tripelpunkt
Der Triplepunkt ist der Zustand, bei dem die feste, die flüssige und die gasförmige
Phase eines Stoffes miteinander im Gleichgewicht sind.
Eispunkt des Wassers
Der Eispunkt des Wassers ist die Gleichgewichtstemperatur zwischen Eis und luftgesättigtem Wasser bei einem Luftdruck von 101325 Pa.
Siedepunkt des Wassers
Der Siedpunkt des Wassers ist die Gleichgewichtstemperatur zwischen Wasser und
Dampf bei einem Luftdruck von 101325 Pa.
6.1.2
Temperaturskalen
Celsius
Triplepunkt
Siedepunkt
0.01 ◦ C
100.00 ◦ C
Kelvin
Absoluter Nullpunkt
Triplepunkt
0.00 K
273.16 K
Fahrenheit
Eispunkt
Siedepunkt
32 F
212 F
35
KAPITEL 6. WÄRME
36
Celsius nach Fahrenheit
T = ϑ + 273.15
ϑ
Temperatur in Celsius
6.1.3
Systeme
offen
geschlossen
abgeschlossen
adiabatisch
6.1.4
Energie- und Materialaustausch
Energie- aber kein Materialaustausch
keine Energie- und kein Materialaustausch
Arbeitsautausch, aber kein Wärmeaustausch und kein Materialaustausch
Stoffmenge
Mol
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen (Molekülen, Atomen, Ionen) besteht, wie Atome in 0.012 kg des Kohlenstoffisotops 22C
enthalten sind. Die Anzahl Moleküle, Atome oder Ionen wird als Avogadro-Zahl
oder als Avogadro-Konstante NA bezeichnet.
NA = 6.022 · 1023 mol−1
6.1.5
Druck
1Pa = 1
N
m2
1bar = 105 Pa
Schweredruck
∆p = gρh
∆p
ρ
h
Druck in Pa
Dichte in kg/m3
Höhe in m
6.1.6
Zustandgrössen und Prozessgrössen
Thermische Zustandsgrössen
p
V
T
Druck
Volumen
Temperatur
Kalorische Zustandgrössen
U
H
S
Innere Energie
Enthalpie
Entropie
KAPITEL 6. WÄRME
6.2
6.2.1
37
Thermische Ausdehnung
Längenausdehnung
∆l = αl∆T
∆l
α
l
∆T
6.2.2
Längenausdehnung
Längenausdehnungskoeffizient (Stoffgrösse)
Stablänge
Temperaturänderung
Volumenausdehnung
∆V = γV ∆T
∆V
γ
V
∆T
wobei
Volumenausdehnung
Volumenausdehnungskoeffizient (Stoffgrösse)
Volumen
Temperaturänderung
γ = 3α
6.2.3
Thermische Spannung
σ = Eα∆T
σ
E
∆T
Spannung (Druck oder Zug)
Elastizitätsmodul (siehe Statik Dehnung)
Temperaturänderung
Kraft
Fs =
∆lEA
l
= αEA∆T
6.3
Thermische Zustandgleichungen
Die drei Zustandgrössen p Druck, V Volumen und Temperatur sind voneinander
abhängig.
6.3.1
Ideale Gase
Die Moleküle eine idealen Gases haben keine Masse aber ein Volumen. Es gibt keine
intermolekularen Kräfte.
KAPITEL 6. WÄRME
38
Allgemein Gasgleichung
pV
= konst.
T
p
V
T
Druck
Volumen
Temperatur
Boltzmann-Konstante
k = 1.381 · 10−23 JK −1
Universelle Gaskonstante
R = 8.314Jmol−1 K −1
Zustandsgleichung eines idealen Gases
pV = N kT
pV = nRT
m
RT
pV =
M
N
pV =
RT
NA
%=
p
V
N
k
T
n
R
m
M
pM
RT
Druck
Volumen
Zahl der Moleküle
Boltzmann-Konstante
Temperatur in K
Molzahl
Universelle Gaskonstante
Masse des Gases
Molmasse1
6.3.2
Gemische idealer Gase
Dalton
Der Gesamtdruck ist gleich der Summe der Partialdrücke.
p=
n
X
pi
i=1
1 Molmasse
Wasser MW = 18.02 · 10−3 [kg/mol]
KAPITEL 6. WÄRME
p
pi
p
pi
V
pi
qi
39
Gesamtdruck
Partialdruck
pi =
Vi
p
V
qi =
Vi
V
Gesamtdruck
Partialdruck
Gesamtvolumen
Partialvolumen
Volumenkonzentration
Massenkonzentration
µi =
6.3.3
Mi
qi
M
Reale Gase
• Die Moleküle haben ein Eigenvolumen
• Es treten intermolekulare Kräfte auf
Die untere Grenzen für das Volumen eines Gases ist durch das Eigenvolumen der
Moleküle gegeben. Da die Moleküle ständing rotieren nehmen sie mehr Platz in
Anspruch als ihr eigentliches Volumen.
Allgemeine Van der Waalssche Zustandgleichung
p=n
ps =Dampfdruck, Sättigungsdruck
a
RT
− n2 2
V − nb
V
KAPITEL 6. WÄRME
40
Kritische Temperatur
Tk =
8a
27Rb
pk =
a
27b2
Kritischer Druck
Kritisches Volumen
Vmk = 3b
2
a = 3pk Vmk
=
b=
6.4
6.4.1
27 R2 Tk2
9
RTk Vmk =
8
64 pk
Vmk
RTk
=
3
8pk
Wärme
Begriff Wärme
Die Kalorie ist die Wärmemenge, die erforderlich ist, um 1 g Wasser bei normalem
Atmosphärendruck von 14.5 auf 15.5 ◦ C zu erwärmen.
1kcal = 4186.8J
Wärme ist Energie, die aufgrund einer Temperaturdifferenz übertragen wird. Die
Wärme fliesst stets von der höheren zur tieferen Temperatur.
6.4.2
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
dU = δW + δQ
U
innere Energie
W Arbeit
Q Wärme
Die Zunahme der inneren Energie eines thermodynamischen Systems ist gleich der
Summe der von aussen zugeführten Arbeit und der von aussen zugeführten Wärme.
Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art
KAPITEL 6. WÄRME
6.4.3
41
Spezifische und molare Wärmekapazität
δQ = CdT
Q
C
T
Wärme
Wärmekapazität
Temperatur
δQ = cmdT
Q
c
m
T
Wärme
spezifische Wärmekapazität2
Masse
Temperatur
Cm = M c
Cm
c
M
Molwärme
spezifische Wärmekapazität
Molmasse
Molare Wärmekapazität von Gasen
dU = δQ + δW = δQ − pdV
pdV ist die Arbeit, welche geleistet wird um das Volumen zu vergrössern.
Cmp − Cmv = R
Cmp
Cmv
R
Molwärme bei konst. Druck
Molwärme bei konst. Volumen
universelle Gaskonstante
Molare Wärmekapazität kristalliner Festkörper
Liegt die Temperatur über der charakteristischen Temperatur des Stoffes, der DebyeTemperatur, dann gilt
Cmv = 3R
sonst
Cmv
6.4.4
12π 4
=
R
5
T
ΩD
3
Austausch von Wärmemenge
z
X
δQi = 0
i=1
Bei zwei Teilkomponenten wird die abgegebene Wärme des einen direkt vom anderen
aufgenommen.
2 spezifische
Wärmekapazität von Wasser c = 4147 [J/kgK]
KAPITEL 6. WÄRME
6.5
42
Phasen und Phasenübergänge
Ein Stoff kann drei verschieden Aggregatszustände annehmen: fest, flüssig, gasförmig.
Gelegentlich wird Plasma als der vierte Aggregatszustand bezeichnet.
6.5.1
Phasenübergänge
fest
→ flüssig
schmelzen
flüssig
→ fest
erstarren
flüssig
→ gassförmig sieden, verdampfen
gasförmig → flüssig
kondensieren
fest
→ gasförmig
sublimieren
gasförmig → fest
desublimieren
Das Schmelzen und Verdampfen erfordert eine bestimmte Wärmemenge. Die spezifische Schmelzwärme ist
Qf
qf =
m
qf
spezifische Schmelzwärme3
Qf Schmelzwärme
m
Masse
und die Verdampfungswärme
qs =
6.5.2
Qs
m
Dampfdruck
Bei Dampfdruck existieren die Phasen flüssig und gasförmig nebeneinander. Eine
Flüssigkeit siedet, wenn der Dampfdruck gleich dem Umgebungsdruck ist. Eine Volumenänderung bewirkt eine Änderung des Verhältnisses von Gas und Flüssigkeit
aber kein Änderung des Druckes. Eine Flüssigkeit kann daher auf zwei Arten zum
Sieden gebracht werden:
• Die Temperatur wird erhöht, bis der Dampfdruck gleich dem Umgebungsdruck
ist.
• Der Umgebungsdruck wird reduziert, bis er gleich dem Dampfdruck bei gegebener Temperatur ist.
Auch zum Verdunsten muss die Verdampfungswärme Qs aufgewendet werden. Deshalb wird der Umgebung und der Flüssigkeit wärme entzogen.
Clausius-Clapeyron-Gleichung
dps
qs
=
dT
T ( ρ1g −
1
ρf
)
ρg Dichte der gasförmigen Phase
ρf Dichte der flüssigen Phase
Der Druck ist alleine von der Temperatur abhängig.
3 spezifische
Schmelzwärme
von
Wasser
qf
=
spezifische Verdampfwärme von Wasser qs = 2.265 · 106 [J/kg]
3.34
·
105
[J/kg]
KAPITEL 6. WÄRME
6.5.3
43
Schmelzdruck
qf
dpf
=
dT
T ( ρ1f −
6.5.4
1
ρs )
Dispersion
eine Dispersion ist eine aus zwei oder mehreren Phase bestehenden Mischung, bei
der eine Substanz (das Dispergens) in einer anderen (dem Dispersionsmittel) in
feinster Form verteilt ist.
6.5.5
Luftfeuchtigkeit
Definition
Absolute Luftfeuchtigkeit:
f=
mW
V
f
absolute Luftfeuchtigkeit
mW Masse Wasser
V
Volumen
Die relative Luftfeuchtigkeit ist das Verhältnis der vorhandenen Dampfmasse zur
Dampfmasse im Sättigungszustand.
Relative Luftfeuchtigkeit:
fr =
fr
mW
ms
relative Luftfeuchtigkeit
Masse Wasserdampf
Masse Wasserdampf bei Sättigung
fr =
fr
pD
ps
mW
ms
pD
ps
relative Luftfeuchtigkeit
Partialdruck des Wasserdampfs
Sättigungsdruck
Dichte von feuchter Luft
Dichte von trockener Luft:
%T =
pML
RT
Dichte von feuchter Luft:
%F = %T +
pD (MW − ML )
RT
Die Dichte feuchter Luft ist kleiner als die Dichte trockener Luft.
KAPITEL 6. WÄRME
44
Sättigungsdruck von Wasserdampf
Formeln von Magnus:
für ϑ ≥ 0◦ C
7.5ϑ
ps = ps0 10 ϑ+237
ps0
Dampfdruck der Temperatur T0 4
für ϑ ≤ 0◦ C
9.5ϑ
ps = ps0 10 ϑ+265.5
% ist in ◦ C einzusetzen und ps wird in hPa erhalten. Die Umkehrformeln lauten:
für ps ≥ 6.107hPa
ϑ=
ps
237 lg 6.107
ps
7.5 − lg 6.107
ϑ=
ps
265.5 lg 6.107
ps
9.5 − lg 6.107
für ps ≤ 6.107hPa
Beispiel Kondensation
Wasser kondensiert auf einer Wand, wenn der Dampfdruck des Raumes und der
Sättigungsdruck bei der Wand gleich sind.
psw
= pD
(6.1)
Der Dampfdruck lässt sich über die Raumtemperatur und die relative Luftfeuchitgkeit mit dem Magnus bestimmen.
pD
pD
= fr ps
= fr p0 10
(6.2)
7.5θ
θ+237
(6.3)
Durch die Umkehrformel erhält man die Wandtemperatur
θwi
=
θwi
=
237 lg( ppD0 )
7.5 − lg( ppD0 )
7.5θ
θ+237 )
7.5θ
)
(lg(fr ) + θ+237
237(lg(fr ) +
7.5 −
(6.4)
(6.5)
Mit der Wandtemperatur lässt sich nun leicht ein k-Wert oder min. zulässig Aussentemperatur berechnen.
θ
Temperatur innen
θwi Temperatur Wand innen
fr
relative Luftfeuchigkeit
psw Sättigungsdruck bei der Wand
pD
Dampfdruck
4 Dampfdruck
von Wasser bei T0 ps0 = 6.107 [hPa]
KAPITEL 6. WÄRME
6.6
6.6.1
45
Kinetische Gastheorie
Der Gasdruck
pV = NA
mv 2
3
mv 2
3
= kT
2
2
6.6.2
Äquipartitionsgesetz
Freiheitsgrade:
einatomige Moleküle
zweiatomige Moleküle
mehratomige Molekühle
f=3
f=5
f=6
E=
f
kT
2
E mittlere Energie eine Moleküls
f
Freiheitsgrad
k Bolzmannkonstante
T Temperatur
Die thermische Energie eines Moleküls verteilt sich gleichmässig auf alle seine Freiheitsgrade. Jeder Freiheitsgrad hat die Energie 12 kT .
6.6.3
Innere Energie und Molwärme
Cmv =
6.6.4
f
R
2
Mittlere freie Weglänge
λ= √
1
2nπd2
Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül die Strecke x ohne Zusammenstoss zurücklegt:
−x
W (x) = exp
6.6.5
λ
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
r
f (v) =
mv 2
2m3 2
v exp− 2kT dv
3
3
πk T
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v0 ist
r
2kT
v0 =
m
KAPITEL 6. WÄRME
46
r
p
v2
=
r
v=
6.7
6.7.1
3kT
m
8kT
πm
Temperaturstrahlung
Begriffe
Strahlung
Wärme wird durch elektromagnetische Strahlung übertragen. Jeder Körper emittiert
Temperaturstrahlung gleichgültig wie seine Temperatur ist.
Raumwinkel
Der Raumwinkel Ω ist die Fläche, welcher ein Strahlenbündel auf einer Kugel mit
Radius 1 beleuchtet.
dΩ = sin θdθdφ
Falls eine Kugel mit einem beliebigen Radius R genommen wird gilt:
A
R2
Der Raumwinkel ist dimensionslos, wird aber mit Steradiant oder Sterad sr bezeichnet.
Ω=
Strahlungsstrom
Die gesamte abstrahlende oder einfallende Strahlenleistung wird Strahlenstrom oder
Strahlenfluss genannt und mit Φ bezeichnet. Φ hat die Einheit Watt.
Strahlenstärke
Der Proportionalistätsfaktor zwischen Strahlenstrom und Raumwinkel wird Strahlstärke
I genannt.
I=
Φ
Ω
I hat die Einheit Watt pro Sterad W/sr.
Strahldichte
Die Strahldichte ist proportional zur Fläche der Strahlungsquelle. Da die Fläche dσ
in Richtung θ um den Faktor cos θ verkleinert erscheint gilt:
dI = L(θ, φ)dσ cos θ
und
dΦ = L(θ, φ)dσ cos θdΩ
L(θ, φ) heisst Strahldichte und hat die Einheit W/m2 sr.
Die Strahldichte ist unabhängig von der Distanz, aus der die strahlende Fläche dσ
betratet wird.
KAPITEL 6. WÄRME
47
Bestrahlungsstärke
Die Bestrahlungsstärke ist der Strahlungsstrom pro Flächeneinheit beim Empfänger.
E=
Φ
A
A ist die Fläche der Kugeloberfläche mit dem Radius des Abstands des Empfängers
(Quelle strahlt in alle Richtungen). Falls die Normale der Empfängerfläche unter
eine Winkel durch Einfallrichtung steht, gilt:
E=
I
cos r2
Die Bestrahlungsstärke der Sonnenstrahlung ausserhalb der Erdatmoshpäre wird
Solarkonstante genannt. Sie beträgt 1.36kW/m2
Totales Emissionsvermögen
Z
K=
L(θ, φ) cos θdΩ
HR
Das totale Emissionsvermögen hat die Einheit W/m2 . Den Strahlungsstrom erhält
man mit der Iteration über alle die strahleneden Flächen.
Z
Φ = Kdσ
Spektrale Grössen
Die Abhängigkeit der Strahlung von der Wellenlänge wird über die spektralen Grössen
Φλ , Iλ , Lλ , Kλ ausgedrückt. Die Werte verstehen sich jetzt pro Wellenlängeneinheit.
Absorptionszahl
Die Absoptionsszahl Aλ ist das Verhältnis von absorbierter Strahlung Φλa zu einfallender Strahlungsleistung Φλe .
Aλ =
Φλa
Φλe
Ein Körper mit Aλ = 1 wird schwarzer Körper genannt.
6.7.2
Strahlungsgesetze
Kirchhoffsches Gesetz
Kλ (λ, T )
= f (λ, T )
Aλ (λ, T )
Kλ = ελ (λ, T )Kλs (λ, T )
ελ (λ, T ) = Aλ (λ, T )
KAPITEL 6. WÄRME
48
Stefan-Boltzmannsches Gesetz
Ks = σT 4
die Konstante σ empirisch
σ = 5.671 · 10−8 W/m2 K 4
Für einen grauen Körper mit Absorptionszahl A = gilt:
K = σT 4
Wienisches Strahlungsgesetz
ν
Kνs = ν 3 g( )
T
Das spektrale Emissionsvermögen ist nicht als Funktion der Wellenlänge, sondern
als Funktion der Frequenz ν = c/λ geschrieben.
Plancksches Strahlungsgesetz
Kνs =
2πν 2 kT
c2
Plancksches Strahlungsgesetz:
Kνs (ν, T )dν =
Kλs (λ, T )dλ =
2πhν 3
hν
c2 (e kT − 1)
dν
2πhc2
hc
λ5 (e λkT − 1)
c Lichtgeschwindigkeit
2990 7920 458 [m/s]
h Plancksche Konstante 6.626 · 10−34 [Js]
k Boltzmann Konstante 1.381 · 10−23 [J/K]
Stefan-Boltzmann-Konstante:
σ=
2π 5 k 4
15c2 h3
Wiensches Verschiebungsgesetz
Das Maximum der Planckschen Strahlungsfunktion verschiebt sich mit zunehmender
Temperatur zu kürzeren Wellenlängen.
Wiensches Verschiebungsgesetz:
λmax T = b
Konstante b:
b = 2.898 · 10−3 mK
KAPITEL 6. WÄRME
6.8
49
Wärmeleitung
Es gibt drei Arten von Wärmetransport:
• Wärmeleitung
• Konvektion
• Wärmestrahlung
Bei Wärmeleitung wird die Wärme durch die thermische Bewegung der Moleküle,
Atome oder Elektronen transportiert. Konvektion ist der Wärmetransport durch
Strömung, welche sich durch den Wärmeunterschied selbst einstellt oder von aussen
durch Druckunterschiede aufgezwungen wird. Frei und erzwungene Konvektion ist
stets mit Materialtransport verbunden.
6.8.1
Wärmeleitung
Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung
Wäremtransport tritt nur auf, wenn Temperaturunterschiede existieren.
j=
δQ
Adt
Q = jA
j
Q
t
Wärmestromdichte
Wärme
Zeit
j = −λ
dT
dx
j
Wärmestromdichte
λ Wärmeleitfähigkeit
T Temperatur
Im allgemeinen Fall gilt
j = −λgradT
wobei
gradT =
∂T ∂T ∂T
,
,
∂x ∂y ∂z
Wärmeleitungsgleichung
∂T
λ ∂2T
=
∂t
%c ∂x2
Im allgemeinen Fall gilt
∂T
λ
= ∆T
∂t
%c
wobei ∆ für den Laplace-Operator steht
∆T =
∂2T
∂2T
∂2T
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
KAPITEL 6. WÄRME
50
Für eine einschichtige Wand gilt
j=λ
j
λ
T1
T1
Wärmestromdichte
Wärmeleitfähigkeit
Temperatur der Wandfläche
Temperatur der Wandfläche
6.8.2
Wärmeübergang
T1 − T2
d
Für die totale Wärmestromdichte gilt
j = α(Tw − T )
j
Wärmestromdichte
α
Wärmeübergangszahl
Tw Temperatur der Wandfläche
T
Temperatur
α
Wärmeübergang
an
W/m2 K
Wandflächen
innen
8
aussen
20
Böden und Decken
Wärmestrom nach oben
8
Wärmestrom nach unten
6
6.8.3
Wärmedurchgang
Wärmedurchgang durch eine ebene Wand
Übergangsschicht innen:
j = αi (Ti − Twi )
Wandschicht:
j=
λ
(Twi − Twa )
d
Übergangsschicht aussen:
j = αa (Twa − Ta )
Der Faktor
1
k=
1
αi
d
λ
+
+
1
αa
wird Wärmedurchgangszahl oder k-Wert genannt.
j = k∆T
Der k-Wert für mehrere Wandschichten lautet
k=
1
1
αi
+
ds
s λs
P
+
1
αa
KAPITEL 6. WÄRME
51
Wärmedurchgang durch eine kreiszylindrische Wand
Der Wärmefluss Q̇ ist
Q̇ = Aa ja = Aa ka ∆T = 2πra lka ∆T
und der k-Wert ist
ka =
1
ra
1
ri αi
+
1
ln rrsa
+
si
1
s λs
P
1
ra αa
Wärmebedarf eines Gebäudes
Der Wärmefluss durch die Gebäudeaussenflächen ist
X
Q̇W =
Aw kw ∆T
w
und der Wärmeleistung für das Aufheizen der Frischluft beim Luftwechsel wird
Q̇L = %cp V̇ ∆T
Q̇L Wärmeleistung
%
Dichte der Luft
cp
spezifische Wärmekapazität der Luft
V̇
totales Luftvolumen durch die Zeit eines vollständigen Luftwechsel
∆T Temperaturdifferenz
Der totale Wärmebedarf des Gebäudes ist
X
Q=(
Aw kw + %cp V̇ )G
w
wobei
Z
G=
δT dt
HS
die Heizgradtage bezeichnet und in Kd (Kelvin mal Tage) angegeben. Für die Berechnung mit Kd in Ks (Kelvin mal Sekunden) umgerechnet werden.
Ölverbrauch:
Q = ηmH
Q
η
m
H
Wärme
Wirkungsgrad
Masse Öl
Wärmeleistung in J pro kg
6.8.4
Strahlungsaustausch
Jeder Körper emittiert Temperaturstrahlung. Die Differenz der Strahlung zweier
Körper ist der durch Strahlungsaustausch transportierte Wärmefluss. Für zwei planparallele grosse Flächen gilt
j = C12 (T14 − T24 )
KAPITEL 6. WÄRME
52
wobei C12 die Strahlungsaustauschzahl ist.
C12 =
1
1
ε1
+
1
ε2
−1
σ
Falls die Fläche A1 von der Fläche A2 umschlossen wird und A1 A2 dann gilt:
C12 = ε1 σ
σ Bolzmankonstante 5.671 · 10−8
d.h. das Emissionsverhältnis von der Fläche A2 muss nicht bekannt sein.
Q̇s = Aεσ(T 4 − T04 )
Q̇s
T
T0
6.9
6.9.1
Strahleistung
Objekttemperatur
Umgebungstemperatur
Zustandsänderung
Isobare Zustandsänderung
Bei einer isobaren Zustandsänderung ist der Druck konstant.
Q = nCmp (T2 − T1
T2
T1
Endtemperatur
Anfangstemperatur
W = p(V2 − V1 ) = nR(T2 − T1 )
W
n
R
6.9.2
Arbeit
Molzahl
universelle Gaskonstante
Isochore Zustandsänderung
Bei einer isochoren Zustandsänderung ist das Volumen konstant.
Q = nCmv (T2 − T1 )
T2
T1
Endtemperatur
Anfangstemperatur
W =0
6.9.3
Isotherme Zustandsänderung
Bei einer iosthermen Zustandsänderung ist die Temperatur konstant.
Q = nRT ln
V2
V1
W = nRT ln
V2
V1
KAPITEL 6. WÄRME
6.9.4
53
Adiabatische Zustandsänderung
Als adiabatisch werden Zustandsänderungen bezeichnet bei denen kein Wärmeaustausch statt findet.
Adiabatengleichung
pV κ = konstant
Adiabatenexponent
Cmp
Cmv
κ=
Cmv Molwärme bei konstantem Volumen
Cmp Molwärme bei konstantem Durck
durch die Freiheitsgrade ausgedrückt
κ=
f +2
f
3
κ
einatomige Gase
3 5/3 = 1.67
zweiatomige Gase
5 7/5 = 1.40
mehratomige Gase 6 8/6 = 1.33
Die Gleichung der Adiabeten im pV-Diagramm lautet
p=
c1
Vκ
Die erste Ableitung ist die Steigung
dp
p
= −κ
dV
V
Die Adiabaten sind steiler als die Isothermen. Mit der Gasgleich ergibt sich folgende
Form
T V κ−1 = konstant
und
T κ p1−κ = konstant
wobei gemäss Voraussetzung gilt
Q=0
W = nCmv (T2 − T1 )
6.9.5
Polytrope Zustandsänderung
Polytropengleichung
pV n = konstant
KAPITEL 6. WÄRME
54
Polytropengleichung
n=
Cmp − Cm
Cmv − Cm
Die iostherme, isobare, isochrone und adiabatische Zustandsänderung sind Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung.
Cm
n
isothermen
∞
1
isobaren
Cmp
0
isochoren
Cmv ∞
adiabaten
0
κ
6.9.6
Expansion und Kompression
Bei einer Expansion gibt das Gas die Arbeit
Z V2
W =
pdV
V1
ab. Bei einer Kompression muss dem Gas die Arbeit
Z V1
W =
pdV
V2
hinzugefügt werden.
6.9.7
Geschlossene und offene Systeme
Bei einem offenen System strömt pro Zeiteinheit die Stoffmenge ṅ in das System,
erfährt eine Zustandsänderung und verlässt es wieder. Die Energiebilanz führt auf
die Gleichung
U1 + p1 V1 + Q = U2 + p2 V2 + W
p1 V 1
Q
p2 V 2
W
Verschiebearbeit um das Volumen V1 bei einem Druck p1 in das System hineinzuschieben
Wärmezufuhr
Verschiebearbeit
abgegeben Arbeit
Enthalpie
H = U + pV
H 1 + Q = H2 + W
W = Q + H1 + H 2
oder
W = Q − ∆H
Die vom System abgegebene Arbeit ist gleich der zugeführten Wärme plus der
Abnahme der Enthalpie. Für offene Systeme ergibt sich schliesslich
W = W g + p1 V 1 − p2 V 2
Wg
abgegeben Arbeit eines geschlossenen Systems
KAPITEL 6. WÄRME
55
Isotherem Zustandsänderung
W = Wg
Adiabatische Zustandsänderung
W = κWg
6.9.8
Reversible und irreversible Prozesse
Reversibler Prozess
Ein reversibler Prozess kann umgekehrt durchlaufen werden, wobei der Ausgnaszustand wieder erreicht wird, ohne dass in der Umgebung irgendwelche Änderungen
zurückbleiben.
Irreversibler Prozess
Ein irreversibler Prozess kann nicht umgekehrt durchlaufen werden, ohne dass in der
Umgebung irgendwelche Änderungen zurückbleiben.
6.10
Kreisprozesse
6.10.1
Rechts- und linkslaufende Kreisprozesse
Wird ein Kreisprozess im Uhrzeigersinn durchlaufen spricht man von einem rechstlaufenden Kreisprozess. Die bei einem Kreisprozess pro Zyklus netto abgegeben Arbeit entspricht der von der Zustandskurve im pV-Diagramm umschlossenen Fläche.
Bei einem rechtslaufenden Kreisprozess ist die pro Zyklus netto zugeführte Wärme
gleich der pro Zyklus netto abgegebenen Arbeit.
Wärmekraftmaschine
Bei einem rechtslaufenden Kreisprozess wird netto Wärme zugeführt und gibt dafür
mechanische Arbeit ab. Sie werden deshalb als Wärmekraftmaschinen bezeichnet.
Es wird dazu bei hoher Temperatur Wärme hinzugeführt und bei tieferer Temperatur
Wärme abgeführt. Es ist daher stets ein Kühler notwendig.
Wärmepumpe oder Kältemaschine
Bei einem linkslaufenden Kreisprozess wird bei relativ tiefer Temperatur Wärme
zugeführt und bei höherer Temperatur (mehr) Wärme abgegeben. Dazu muss dem
Prozess Arbeit zugeführt werden. Eine solche Maschine wird Wärmepumpe genannt.
6.10.2
Der Kreisprozess von Sadi Carnot
Die Carnot-Maschine ist eine Wärmekraftmaschine. Der Wirkungsgrad ist
η=
W
Qzu
KAPITEL 6. WÄRME
η
W
Qzu
56
Wirkungsgrad
Arbeit
bei hoher Temperatur zugeführte Wärme
Carnot-Wirkungsgrad
ηC =
T1 − T 2
T1
Der Wirkungsgrad ηC ist stets kleiner als 0.
6.10.3
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme wird niemals von selbst von einem kälteren auf einen wärmeren Körper
übergeben.
Es gibt keine periodisch wirkende Maschine, die nichts anderes bewirkt als Erzeugung mechanischer Arbeit und Abkühlung eines Wärmereservoirs.
Ein Perpetuum mobile zweiter Art ist unmöglich.
6.10.4
Wirkungsgrad und Leistungszahl
η ≤ ηC
Wärmekraftmaschine
Wirkungsgrad
η=
W
Qzu
Wärmepumpe
Bei Wärmepumpen wird nicht der Wirkungsgrad, sondern die Leistungszahl ε angegeben.
ε=
Qab
W
Eine Carnot-Wärmepumpe hat die Leistungszahl
εC =
T1
T1 − T2
Kältemaschine
Es interessiert hauptsächlich die entzogene Wärme Qzu .
ε=
Qzu
W
Eine Carnot-Kältemaschine hat die Leistungszahl
εC =
T2
T1 − T2
KAPITEL 6. WÄRME
6.10.5
57
Technische Kreisprozesse
Maschinentyp
Maschine
Prozess
Kolbenmaschinen
Benzinmotor
Ottoprozess
Dieselmotor
Dieselprozess
Heissluftmotor
Stirlingprozess
Offene Gasturbine
Joule-Prozess
Geschlossene Gasturbine
Ericson-Prozess
Dampfturbine
ClausiusRankine-Prozess
Strömungsmaschinen
Zustandsänderungen
adiabatisch Kompression, isochore
Erwärmung,
adiabatsiche Expansion, isochore
Abkühlung
adiabatische
Kompression, isobare Expansion,
adiabatische Expansion, isochore
Abkühlung
isotherme Kompression, isochore
Erwärmung,
isotherem
Expansion, isochore
Abkühlung
isobare Kompression, adiabatische
Kompression, isobare Expansion,
isobare Expansion, adiabatische
Expansion
isobare Kompresion, isotherme
Kompression,
isobare
Expansion, isotherem
Expansion
isobare Kondensation, adiabtische
Kompression,
isobare
Verdampfung,
adiabatische
Expansion
Kapitel 7
Schwingungen
7.1
7.1.1
Harmonische Schwingungen
Ungedämpft Eigenschwingung
Für harmonische Schwingungen gilt
y
ẏ
ÿ
= A sin(ωt + ϕ)
= Aω cos(ω + ϕ)
= −Aω 2 sin(ωt + ϕ)
wobei A die Amplitude ist. Die Schwingungdauer ist
T =
2π
ω
ω=
2π
T
die Kreisfrequenz
die Frequenz
1
ω
=
T
2π
Eine harmonische Schwingung erfüllt die Differentialgleichung:
ν=
ÿ + ω 2 y = 0
die maximale Beschleunigung ist
ÿ = Aω 2 = −ymax ω 2
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
r
c
ω0 =
m
7.1.2
Gedämpfte Eigenschwingung
Mechanische Schwingung mit konstanter Reibungskraft
∆A = 4
58
FR
c
KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN
59
Mechanische Schwingung mit geschwindigkeitsproportionale Dämpfung
Es gilt für die Federkonstante c und die Abklingkonstante b
mÿ + bẏ + cy = 0
Gedämpfte Schwingung
y = Ae−δt sin(ωd t + ϕ0 )
wobei die Abklingkonstante
δ=
b
2m
ist
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
q
ωd =
ω02 − δ 2
p
= ω0 1 − D 2
Das logarithmische Dekrement
An
2πD
= δT = √
An+1
1 − D2
Λ = ln
Das Verhältnis von Abklingkonstante δ und Kreisfrequenz ω0 ist der Dämpfungsgrad
D
=
δ
ω0
=
q
Λ
2π
Λ 2
1 + ( 2π
)
A0
1
ln
2πn An
r
ω0 − ωr
=
ω0
=
Für kleine Dämpfungsgrade gilt
D=
Λ
2π
Für Dämpfungsgrade D > 1 gilt
y = b1 eλ1 t + b2 eλ2 t
Für Dämpfungsgrade D = 1 gilt
y = (b1 + b2 t)e−δt
KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN
7.2
60
Federpendel
c1
m
c2
y
7.2.1
Ungedämpft
Für massenlose Federn gilt
r
ω0 =
c
δ
=
m
D
die Schwingungsdauer des Federpendels
r
T = 2π
m
c
die Amplitude A und der Nullphasenwinkel ϕ in der Lösung
y = A sin(ω0 t + ϕ)
der Einfluss der Masse der Federn
r
T = 2π
7.2.2
m + m3F
c
Feder
Federkonstante
c=
mg
∆l
ctot =
X
Mehrere Federn
parallel:
seriel:
1
ctot
=
cn
X 1
cn
KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN
7.3
61
Drehpendel
r
ω0 =
c
J
die Schwingungsdauer
r
T = 2π
7.4
J
c
Mathematisches Pendel
j
l
m
F
lϕ̈ + g sin(ϕ) = 0
die Kreisfrequenz
r
ω0 =
g
l
die Schwingungsdauer
s
T = 2π
7.5
l
g
Physikalisches Pendel
A
j
l
S
FG
JA ϕ̈ + mgl sin(ϕ) = 0
Für kleine Ausschläge kann sin(ϕ) = ϕ und cos(ϕ) = 1gesetzt werden. Die reduzierte Pendellänge ist jene Länge bei der das mathematische Pendel gleich schwingt
wie das phyiskalische Pendel.
JA
l∗ =
ml
KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN
62
Für kleine Ausschläge ϕ 1 ist die Kreisfrequenz
r
mgl
ω0 =
JA
Die maximale Kreisfrequenz ist
s r
g m
ωmax =
2 JS
die Schwingungsdauer
T
s
JA
mgl
s
JS + ml2
mgl
= 2π
= 2π
2π
ω0
wobei JA das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich einer zur Achse A parallelen
Achse durch den Schwerpunkt ist.
=
7.6
L
C
T
Schwingkreise
Induktivität (Spule)
Kapazität (Kondensator)
Periodendauer
I = I0 e−δt sin(ωd t + ϕ0 )
die Abklingkonstante
R
2L
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
p
ωd = ω0 1 − D 2
δ=
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
1
LC
2π
=
T
Periodendauer der ungedämpften Schwingung
√
T = 2φ LC
ω0
=
√
Dämpfungsgrad
r
R C
D=
2 L
Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung
r
R2 C
1
√
1−
ωd =
4L
LC
KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN
7.7
63
Auslenkung
7.7.1
Kreisförmige Auslenkung
<F1
m
F2 >
l
j
3
JA ϕ̈ = FG sin(ϕ) − (F1 − F2 ) l cos(ϕ)
4
Trägheitsmoment * Winkelbeschleuningung = Drehmoment
F1
F2
= F10 + cy
= F20 − cy
Ruhelage:
F10 − F20
JA ϕ̈
y
JA ϕ̈
=
0
3
= mgl sin(ϕ) − 2cy l cos(ϕ)
4
3
=
l sin(ϕ)
4
9
= mgl sin(ϕ) − 2c l2 sin(ϕ) cos(ϕ)
16
da ϕ 1, sin(ϕ) = ϕ und cos(ϕ) = 1
JA ϕ̈
JA ϕ̈
JA
T
9
= mglϕ − c l2 ϕ
8
9
= ϕ(mgl − c l2 )
8
= ml2
s
ml
= 2π 9
8 cl − mg