Exercise 12 - Institut für Theoretische Physik - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Roser Valentı́
Dr. Harald O. Jeschke
Frankfurt, 21. Januar 2014
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik V – Thermodynamik und Statistische Mechanik
Wintersemester 2013/14
Blatt 12
(Abgabetermin: Montag, 27. 1. 2014)
Name(n), Übungsgruppe
Verwendete
Hilfsmittel
Aufgabe 34 (Einstein-Modell) (8 Punkte)
Zur Beschreibung der spezifischen Wärme eines Festkörpers schlug Einstein ein Modell vor,
in dem die Schwingungen der einzelnen Atome in einem Kristallgitter als von einander unabhängig betrachtet werden. Einstein nahm an, dass die Schwingungen der Atome harmonisch sind und alle die gleiche Frequenz ω haben. Da jedes Atom in drei Raumrichtungen
schwingen kann, werden die Schwingungen in einem aus N Atomen bestehenden Kristall
durch 3N harmonische Oszillatoren beschrieben. Diese werden quantenmechanisch betrachtet. Die Energieniveaus eines einzelnen Oszillators sind nicht entartet und von der Form
n = (n + 12 )hω , n ∈ N0 .
(a) Mikrokanonisches Ensemble: Bestimmen Sie den Entartungsgrad gM der Zustände zur
Energie EM = (M + 32N )hω , M ∈ N0 .
Hinweis: Überlegen Sie sich, wie viele Möglichkeiten es gibt, 3N−1 identische Trennwände
und M identische Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Beispiel für N = 2 und M = 10:
| • •| • • • | • •| • | • •
(b) Berechnen Sie die Entropie im quantenmechanischen mikrokanonischen Ensemble und
daraus für N, M 1 die mikrokanonische Temperatur.
(c) Kanonisches Ensemble: Berechnen Sie für das Einstein-Modell die kanonische Zustandssumme und daraus den Erwartungswert der Energie als Funktion der Temperatur.
(d) Bestimmen Sie die spezifische Wärme
∂hEi
CN ≡
.
∂T N
Skizzieren Sie CN als Funktion von T , und diskutieren Sie CN für sehr kleine und sehr
große Temperaturen.
Aufgabe 35 (DNA) (8 Punkte)
Das DNA-Molekül bildet eine Doppelhelix, deren zwei Einzelstränge durch Wasserstoffbrückenbindungen stabilisiert wird. Unter bestimmten Umständen werden die zwei Stränge voneinander getrennt, was (im thermodynamischen Grenzfall) zu einem scharfen Phasenübergang
führt. Als Modell für dieses Auftrennen soll das Reißverschluss-Modell verwendet werden: Die
DNA wird durch N parallele Querverbindungen repräsentiert, die von einem Ende beginnend
geöffnet werden können (siehe Skizze).
Wenn die Verbindungen 1, 2, 3, . . . , p alle offen sind, dann kostet es eine Energie , die Verbindung p + 1 zu öffnen, aber wenn die vorherigen Verbindungen geschlossen sind, kostet
es eine unendlich große Energie, die Verbindung zu öffnen. Die letzte Verbindung N kann
nicht geöffnet werden. Jeder offene Link kann seinem Rotationsfreiheitsgrad um die Bindung
entsprechend G Orientierungen annehmen.
(a) Stellen Sie die kanonische Zustandssumme auf. Bestimmen Sie dann die mittlere Zahl von
offenen Verbindungen hpi als Funktion von x = Ge−/kB T . Zeigen Sie, dass bei x = 1 die
2
Steigung dhpi
dx ∝ N ist (unter Verwendung des Satzes von de l’Hôpital). Skizzieren Sie
hpi
N als Funktion von x für große aber endliche N sowie für N → ∞.
(b) Leiten Sie die Entropie S und die Wärmekapazität CV her und skizzieren Sie S() und
CV () für große N. Welche Ordnung hat der Phasenübergang?
Aufgabe 36 (Freies Teilchen) (4 Punkte)
Wir betrachten ein freies Teilchen in einer Box mit Volumen V = L3 mit periodischen Randbedingungen. Für dieses Teilchen gilt
p̂2
,
Ĥ =
2m
*
i,
Ĥ|φ*
i = E|φ*
k
k
h 2 k2
E=
,
2m
*
1 i*
k·r
√
φ*
=
e
,
k
V
*
k=
2π
(nx , ny , nz ),
L
ni = 0, ±1, ±2, . . .
Das Volumen V soll so groß sein, dass man wieder zu kontinuierlichen Wellenzahlen übergehen
darf. Die Matrixelemente des statistischen Operators ρ̂ in der Impulsdarstellung sind
* 3/2
λ3
β h 2 k2
β h2
3
3
*,
hφ*
|ρ̂|φ*
i=
exp −
δ*
λ = (2π)
k0
k
k 0k
V
2m
2πm
Berechnen Sie den thermischen Mittelwert des Hamiltonoperators hĤi und drücken Sie ihn
durch die Temperatur T aus.