9.¨Ubung zur Statistischen Mechanik

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - WS 2013/2014
Prof. Dr. J. Krug
Dr. I. Szendro
9. Übung zur Statistischen Mechanik
Abgabe: Freitag 20. Dezember bis 12:00 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik
35. Phasenübergang
(8+8 = 16 Punkte)
Folgendes System ist ein sehr einfaches Modell für den Übergang zwischen flüssiger und gasförmiger
Phase eines Stoffes. Auf den V Plätzen eines zweidimensionalen Quadratgitters können sich N ununterscheidbare Teilchen frei bewegen (1 ≪ N ≪ V ). Die Teilchen haben eine kurzreichweitige, anziehende
Wechselwirkung. Die Energie E des Systems ist daher −ϵ mal die Anzahl der Teilchenpaare auf benachbarten Gitterplätzen (ϵ > 0). Die kinetische Energie der Teilchen wird in dem Modell vollständig
vernachlässigt. In der flüssigen Phase sind alle Teilchen in einem zusammenhängenden Block (“Tropfen”)
kondensiert. In der gasförmigen Phase sind dagegen die Teilchen zufällig auf dem Gitter verteilt.
a) Begründen Sie folgende genäherte Ausdrücke der freien Energien der flüssigen und gasförmigen Phasen:
Ff
=
−2N ϵ,
Fg
=
−T kB N ln
V
.
N
Anmerkung: Berücksichtigen Sie die Ununterscheidbarkeit der Teilchen und verwenden Sie ln N ! ≈
N ln N .
b) Bestimmen Sie anhand von a) die Übergangstemperatur und die latente Wärme des flüssig-gasförmig
Phasenübergangs. Skizzieren Sie zudem die freie Energie als Funktion der Temperatur.
36. Idealer Paramagnet II
(6+6+6+4 = 22 Punkte)
In Aufgabe 17 haben Sie den idealen Paramagneten kennengelernt. Wir betrachten hier eine Verallgemeinerung dieses Systems, in der der Spin eines Teilchens 2J + 1 mögliche Zustände annehmen kann. Das
System bestehe aus N unabhängigen quantenmechanische Teilchen mit einem jeweiligen Gesamtdrehimpuls J, die sich in einem äußeren Magnetfeld B befinden. Die Energieeigenwerte eines Teilchens sind
gegeben durch Em = −µB mB, wobei die magnetische Quantenzahl m die Werte m = −J, −J + 1, ..., J
durchläuft. Somit beträgt das magnetische Moment des i-ten Teilchens im Zustand mi gerade µi = µB mi
und seine Energie ist Ei = −µi B.
a) Zeigen Sie unter Benutzung der kanonischen Zustandssumme, dass sich die mittlere Magnetisierung
M (T, B, N ) des Systems durch
M = N ⟨µi ⟩ = −∂F/∂B
aus der freien Energie F (T, B, N ) ergibt. Leiten Sie eine allgemeine Beziehung zwischen der
Schwankung ∆M der Magnetisierung und der magnetischen Suszeptibilität χ = ∂M/∂B her.
b) Berechnen Sie die kanonische Zusstandssumme des Systems und bestimmen Sie daraus die freie Energie F , die Entropie S und die (innere) Energie E. Verifizieren Sie, daß die Entropie bei B = 0
den Wert kB N ln(2J + 1) annimmt. Für die freie Energie sollten Sie den Ausdruck
[
]
sinh(α(2J + 1)/2)
F (T, B, N ) = −kB T N · ln
sinh(α/2)
erhalten, mit α =
µB B
kB T .
c) Berechnen Sie die Wärmekapazität CB bei konstantem Magnetfeld und skizzieren Sie diese als Funktion der Temperatur.
1
d) Berechnen Sie die Magnetisierung als Funktion von α, und skizzieren Sie den Verlauf der normierten
Magnetisierung M/(µB J) für verschiedene J. Führen Sie den klassischen Grenzfall J → ∞ bei
festem magnetischen Moment µklass = µB J durch. Dies sollte auf die Langevin-Funktion
M = N µklass (ctgh(µklass B/kB T ) − kB T /µklass B)
führen.
37. Äquivalenz der Ensembles
(6+5+6+5 = 22 Punkte)
a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme eines idealen Gases ununterscheidbarer Teilchen und
daraus die freie Energie.
Tipp: Berechnen Sie zunächst die Ein-Teilchen-Zustandssumme semiklassisch durch Integration
über den Phasenraum. Sie sollten folgenden Ausdruck für die N-Teilchen-Zustandssumme erhalten:
1
Z(T, V, N ) =
N!
(
V
λ3th
)N
,
wobei λth die thermische deBroglie-Wellenlänge ist, die in Aufgabe 32 eigeführt wurde.
b) Berechen Sie aus der freien Energie F (T, V, N ) die Entropie S(E, V, N ) und vergleichen Sie das Ergebnis mit der mikrokanonisch hergeleiteten Sackur-Tetrode-Gleichung.
c) Berechnen Sie die großkanonische Zustandssumme Y (T, V, µ) des idealen Gases durch die gewichtete
Summierung der Z(T, V, N ) über N . Ermitteln Sie hieraus das großkanonische Potential J(T, V, µ).
Ist dies der gleiche Ausdruck, den man durch die Legendre-Transformation J = F − µN erhält?
d) Bestimmen Sie die kalorische Zustandsgleichung aus J(T, V, µ).
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