SS 2014

Mathematische Methoden der Physik II
07.05.14
SS 2014
Blatt 4
Präsenzaufgabe 9: (Zum Integralsatz von Stokes)
Gegeben sei das Vektorfeld


−y(x2 + y 2 )
~ r ) =  x(x2 + y 2 )  .
A(~
xyz
¸
~ r entlang eines Kreises vom Radius R, der in der xy-Ebene um den Ursprung
Berechnen Sie A·d~
verläuft,
a) durch direkte Auswertung des Linienintegrals;
b) durch Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
Präsenzaufgabe 10: (Taylor-Entwicklung)
Betrachten Sie das skalare Feld
~
f (~r ) = e k·(~r−~r0 ) .
Hierbei bezeichnen ~k und ~r0 feste Vektoren.
a) Berechnen Sie den Gradienten von f .
b) Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung von f um den Punkt ~r = ~r0 bis einschließlich zur
zweiten Ordnung (d.h. bis zu quadratischen Termen in ∆r mit ~r = ~r0 + ∆~r ).
Hausaufgaben für den 14.05.14
Hinweis: Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem separaten Blatt, das Sie jeweils mit Ihrem
Namen, Ihrer Matrikelnummer und der Nummer Ihrer Übungsgruppe leserlich kennzeichnen.
Hausaufgabe 13: (Stokes zum Zweiten)
(9 Punkte)
2
~
Sei A(~r ) = (−y , x , x ) ein Vektorfeld und S die Dreiecksfläche, die zwischen den Eckpunkten
P1 = (1, 0, 0), P¸2 = (0, 1, 0) und P3 = (0, 0, 1) liegt.
~ · d~r entlang des Randes der Dreiecksfläche P1 → P2 → P3 → P1
Berechnen Sie A
a) durch direkte Auswertung des Linienintegrals;
b) durch Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
Hinweis zu b): Für die Punkte in der Dreiecksfläche gilt x + y + z = 1, so dass diese durch
~r (x, y) = (x , y , 1 − x − y) parametrisiert wird.
Hausaufgabe 14: (Eine nützliche Substitution)
(6 Punkte)
Führt ´man Rechnungen in Kugelkoordinaten durch, hat man es regelmäßig mit Integralen der
π
Form 0 f (ϑ) sin ϑ dϑ zu tun; hierbei ist f eine beliebige Funktion des Polarwinkels ϑ. Wegen
d
dϑ cos ϑ = − sin ϑ ist zur Ausführung der Integration oftmals die Substitution t = cos ϑ hilfreich.
Berechnen Sie auf diese Weise die folgenden Integrale:
ˆ π
ˆ π
ˆ π
sin5 ϑ dϑ .
sin3 ϑ dϑ ;
c)
sin ϑ dϑ ;
b)
a)
0
0
0
Hausaufgabe 15: (Elektrischer Dipol)
(8 Punkte)
Betrachten Sie ein System aus zwei entgegengesetzten Ladungen q1 = Q und q2 = −Q, die sich
an den Orten ~r1 = ~a2 und ~r2 = − ~a2 befinden. Die Stammfunktion des zugehörigen elektrischen
Feldes lautet
Ã
!
Q
1
1
ϕ(~r ) =
.
−
4πε0 |~r + ~a2 | |~r − ~a2 |
a) Zeigen Sie unter Verwendung von (11.28) der Vorlesung, dass die Stammfunktion für große
Q ~a·~
r
Abstände |~r | ≫ |~a | näherungsweise die Dipol-Gestalt ϕD (~r ) = − 4πε
3 annimmt.
0 r
b) Der Vektor ~a liege parallel zur z-Achse. Berechnen Sie mit Hilfe von P6 die Komponenten
~ D = ∇ϕ
~ D in Kugelkoordinaten.
ErD , EϑD und EϕD des elektrischen Feldes E
Hausaufgabe 16: (Taylor zum Zweiten)
(7 Punkte)
Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung des skalaren Feldes f (~r ) = |~r1|2 um den Punkt ~r = ~r0 bis
einschließlich zur zweiten Ordnung (d.h. bis zu quadratischen Termen in ∆r mit ~r = ~r0 + ∆~r ).