T0: Rechenmethoden WiSe 2012/13 Ergänzungsaufgaben zur

T0: Rechenmethoden
WiSe 2012/13
Prof. Jan von Delft
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/12t0/
Ergänzungsaufgaben zur Klausurvorbereitung
1- und 2-dimensionale Integrale, Satz von Stokes
Beispielaufgabe 1. (**) Flussintegral eines Vektorfeldes (Klausuraufgabe)
~ × ~u des Vektorfelds
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇
 2
y

~u = z 2 
x2
(1)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
Z
~ × ~u) · dA
~
(∇
(2)
Σ
über die Oberfläche der Halbkugel Σ = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ 0} mit
Radius R, durch explizite Integration über die Fläche.
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und letzteres berechnen.
Aufgabe 1. (**) Kurvenintegrale I
Gegeben sei das Vektorfeld


2xy
~u = x2 + z 
y
(3)
sowie die Raumkurve
π
C : [0, ] → R3
2
t 7→ ~r(t) = (R cos(t), R sin(t), R2 )
R
(a) Berechnen Sie das Kurvenintegral C ~u · d~r.
(4)
~ = ~u) und überprüfen Sie damit das
(b) Konstruieren Sie ein Potential φ zu ~u (also ∇φ
Ergebnis aus Teilaufgabe (a).
R
Hinweis: Sie dürfen das Integral cos x sin2 x dx = 13 sin3 x verwenden.
1
Aufgabe 2. (*) Flächenintegrale
(a) Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Radius r.
(b) Welchen Radius muss ein Kegel haben, damit seine Mantelfläche genauso groß wie die Kugeloberfläche aus Teilaufgabe (a) ist? Die Höhe des Kegels soll gleich seinem Durchmesser
sein.
Aufgabe 3. (**) Satz von Stokes I
~ × ~u des Vektorfelds
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇


(y + z)2
~u =  z 2 
(x + z)2
(5)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
Z
~ × ~u) · dA
~
(∇
(6)
Σ
über die Zylindermantelfäche Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = R2 , 0 ≤ z ≤ R} durch
explizite Integration über die Fläche.
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und letzteres berechnen.
Aufgabe 4. (**) Satz von Stokes II
~ × ~u des Vektorfelds
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇


zy
~u = −zx
0
(7)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
Z
~ × ~u) · dA
~
(∇
(8)
Σ
über die Rotationsfläche Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = e−2z , z ≥ 0} durch explizite
Integration über die Fläche.
(c) Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie den Satz von Stokes anwenden.
Hinweis: Versuchen Sie zuerst die Fläche zu skizzieren!
2
Ergänzungsaufgaben zum Selberrechnen
Ergänzungsaufgabe 1. (*) Kurvenintegrale II
Gegeben sei das Coulomb-Potential einer Punktladung Q:
φ(~r) =
1 Q
4π0 r
Hierbei ist r der Betrag des Ortsvektors ~r (r = |~r| =
(9)
p
x2 + y 2 + z 2 ).
~ = −∇φ.
~
(a) Berechnen Sie das zugehörige Elektrische Feld E
(b) Berechnen Sie die Arbeit, die nötig ist, um eine Ladung q vom Punkt (2,0,0) zum Punkt
(1,0,0) zu verschieben.
Hinweis: Durch Verwendung geeigneter Koordinaten lässt sich viel Arbeit sparen.
Ergebnis 1. (*) Kurvenintegrale II
~ =
(a) E
1 Q
4π0 r2
(b) W =
Qq
8π0
êr
Ergänzungsaufgabe 2. (**) Kurvenintegrale III
Gegeben sei das Vektorfeld


zx
~u =  x2 
y
Berechnen Sie das Kurvenintegral
R
C
(10)
~u · d~r, wobei
(a) C die Verbindungsstrecke von (0,0,1) und (2,4,1) ist.
(b) C von (0,0,1) bis (2,4,1) geht und einem Parabelbogen folgt, der durch den Punkt (1,1,1)
geht.
(c) Ist das Vektorfeld ~u konservativ?
Hinweis: Überlegen Sie sich jeweils zunächst eine geeignete Parametrisierung der Kurve.
Ergebnis 2. (**) Kurvenintegrale III
(a)
22
3
(b) 10
(c) nein.
3
Ergänzungsaufgabe 3. (***) Kurvenintegrale IV
Gegeben sei das Vektorfeld


x/z
~u = y/z 
z
(11)
R
Berechnen Sie das Kurvenintegral ~u · d~r, wobei folgender Integrationsweg verwendet werden
soll:


cos(2πt)
~r(t) = ln(1 + t)  sin(2πt) 
t ∈ [0, 1]
(12)
1
Ergebnis 3. (***) Kurvenintegrale IV
R
~u · d~r = 21 (1 + (ln 2)2 )
Ergänzungsaufgabe 4. (*) Satz von Stokes III
~ × ~u des Vektorfelds
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇


z
~u = x − z 
y−x
(13)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
Z
~ × ~u) · dA
~
(∇
(14)
Σ
über den Kegelmantel Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4z 2 , 0 ≤ z ≤ 1} durch explizite
Integration über die Fläche.
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und letzteres berechnen.
Ergebnis 4. (*) Satz von Stokes III
R
H
~ × ~u = (2, 2, 1)
~ × ~u) · dA
~ = −4π =
∇
(∇
~u · d~r
Σ
∂Σ
4
Ergänzungsaufgabe 5. (**) Satz von Stokes IV
~ × ~u des Vektorfelds
(a) Berechnen Sie die Rotation ∇
 
xz
~u = yx
zy
(15)
(b) Berechnen Sie das Flächenintegral
Z
~ × ~u) · dA
~
(∇
(16)
Σ
über die Fäche Σ = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0, z ≥ 0} durch explizite
Integration über die Fläche.
(c) Berechnen Sie nun das Integral aus (b), indem Sie es mit dem Satz von Stokes in ein
Kurvenintegral überführen und letzteres berechnen.
Ergebnis 5. (**) Satz von Stokes IV
R
~ × ~u = (z, x, y)
~ × ~u) · dA
~=
∇
(∇
Σ
2
3
=
H
∂Σ
~u · d~r
Ergänzungsaufgabe 6. (***) Satz von Stokes V
Gegeben sei das Vektorfeld

xz
~ =  yz 
B
−z 2

(17)
sowie die folgende Fläche:
y2
Σ = {(x, y, z) ∈ R : x +
+ z = 1, 0 ≤ z ≤ 1}
4
R
~ · dA
~
(a) Berechnen Sie das Flussintegral B
3
2
(18)
Σ
~ ein Vektorpotential zu finden (also ein Vektorfeld A
~ mit ∇
~ ×A
~ = B)
~
(b) Versuchen Sie zu B
und benutzen Sie den Satz von Stokes, um das Ergebnis aus (a) zu überprüfen.
Ergebnis 6. (***) Satz von Stokes V
R
H
~ · dA
~=0=
~ · d~r
~ = 1 (yz 2 , −xz 2 , 0)
B
A
A
Σ
∂Σ
2
5