Probeklausur - Fakultät für Physik

LMU München
Lehrstuhl für Theoretische Nanophysik
Vorlesung: Dr. F. Heidrich-Meisner
Übungsgruppe: Robert Bamler
Sommersemester 2011
Rückgabe und Besprechung: 5.8.2011
Probeklausur Theoretische Physik im Querschnitt
28.07.2011
Hinweis: Die Probeklausur wird eingesammelt und korrigiert. Um nicht die Illusion einer
autoritativen Bewertung zu vermitteln, wird jedoch keine Note vergeben. Die Rückgabe erfolgt am Freitag den 5. August um 12:00 s.t. mit einer anschließenden Besprechung. Bitte
für die Klausurbesprechung Fragen vorbereiten, falls bei einer Aufgabe speziell Probleme auftraten. Der Raum für die Besprechung wird rechtzeitig auf der Webseite bekannt gegeben
(http://bit.ly/tlv2011).
Aufgabe 1 (Thermodynamik): Physikalische Eigenschaften von realen Gasen
Ausgangspunkt ist die Zustandsgleichung für ein van-der-Waals-Gas (Molvolumen v),
P =
RT
a
−
v − b v2
a) Die isotherme Kompressibilität ist definiert als
1 ∂v
κT = −
v ∂P T
Bestimmen Sie κT (T, v) für das van-der-Waals-Gas.
b) Berechnen Sie nun κT (P, v). Nehmen Sie an, dass die Korrekturen zum idealen Gas
klein sind und linearisieren Sie κT (P, v) in den Parametern a und b. Wie kann man das
Ergebnis qualitativ verstehen?
c) Der thermische Ausdehnungskoeffizient ist gegeben durch
1 ∂v
α=
v ∂T P
Zeigen Sie zunächst, dass für das Verhältnis α/κT allgemein gilt
α
∂P
=
κT
∂T v
Berechnen Sie hieraus α(T, v) für das van-der-Waals-Gas. Was erhält man im Grenzfall
des idealen Gases?
Aufgabe 2: (Elektrodynamik) Ladung vor Dielektrikum
Eine Ladung e befinde sich im Punkt P = (0, 0, −a) in einer Entfernung a von der Grenzfläche zweier verschiedener (dreidimensionaler) dielektrischer homogener Medien mit relativen dielektrischen Permeabilitäten 1 bzw. 2 (s. Figur). Die Grenzfläche ist durch die
Gleichung z = 0 beschrieben. Die elektrischen Potentiale in beiden Medien, φ1 bzw. φ2 ,
erfüllen wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes die Bedingung φ1 (x, y, 0) = φ2 (x, y, 0) für alle Punkte (x, y, 0) an der Grenzfläche.
a) Geben Sie die aus der Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung
folgende Grenzbedingung für die elektrischen Potential φ1 und φ2 an.
b) Benutzen Sie die Methode der Spiegelladung und die zwei Grenzbedingungen für die
Potentiale, um die elektrischen Potentiale φ1 und φ2 zu bestimmen.
Hinweis: Suchen Sie das Potential im Medium 1 als eines, das von zwei Punktladungen
e und e0 , die an den Punkten P = (0, 0, −a) bzw. P 0 = (0, 0, a) lokalisiert sind, erzeugt
wird. Suchen Sie dagegen das Potential im Medium 2 als eines, das von einer einzigen
Punktladung e00 im Punkt P erzeugt wird. Bestimmen Sie e0 und e00 .
Zur Kontrolle: Für 2 = 1 ist e0 = e(1 − 1)/(1 + 1), e00 = 2e/(1 + 1).
c) Berechnen Sie die Kraft, die auf die Ladung e im Punkt P wirkt, und diskutieren Sie,
welchen physikalischen Effekt sie hervorruft, wenn das Medium 1 Luft ist (1 = 1) und
2 > 1 gilt.
d) Diskutieren Sie den Fall 2 → ∞. Welcher physikalischen Situation entspricht dies?
Aufgabe 3: (Quantenmechanik) Kastenpotenzial im elektrischen Feld
Hinweis: Formeln zur Integration am Ende der Aufgabe.
Wir betrachten ein eindimensionales Kastenpotenzial mit unendlich hohen Barrieren bei x = 0
und bei x = L. Zusätzlich wirke ein schwaches elektrisches Feld F0 /L. Der Hamiltonoperator
ist gegeben durch
H = H0 + H1 ,
~2 d2
+ V (x),
H0 = −
2m dx2
x
H1 = eF0
L
(
0
V (x) =
+∞
0<x<L
,
sonst
Wir betrachten zunächst den Fall ohne angelegtes elektrisches Feld (linke Figur).
a) Wie lauten die Randbedingungen für eine Wellenfunktion bei x = 0 und bei x = L?
b) Berechnen Sie die Energie und normierte Wellenfunktion des Grundzustandes (E0 , ψ0 )
und des ersten angeregten Zustands (E1 , ψ1 ). Skizzieren Sie ψ0 und ψ1 . Welche Parität
haben die Zustände bzgl. der Mitte des Kastens? Zeigen Sie, dass gilt (E1 −E0 )/E0 = 3.
Nunmehr betrachten wir den Fall mit angelegtem Feld (rechte Figur).
c) Berechnen Sie nun mit Hilfe der Störungstheorie erster Ordnung die Energieverschie(1)
(1)
bung ∆E0 und ∆E1 der ersten beiden Zustände durch das elektrische Feld. Allgemein
gilt nach dieser Theorie, dass die durch eine Störung H1 induzierte Verschiebung eines
stationären Zustands ψn gegeben ist durch
∆En(1) = hψn |H1 |ψn i.
(1)
d) Zeigen Sie, dass die Energieverschiebung ∆En für n = 0, 1 verschwindet, wenn man
zu H1 eine geeignete Konstante c hinzufügt (und entsprechend von H0 wieder abzieht).
Welche Parität muss H1 + c dazu bzgl. der Mitte des Kastens besitzen?
Formeln:
ZL
0
L
Z
0
dx sin2 (ax) =
dx x sin2 (ax) =
L sin(2aL)
−
2
4a
1 + 2a2 L2 − cos(2aL) − 2aL sin(2aL)
8a2
Aufgabe 4: (Mechanik) Bewegung in der Ebene
Es soll die Bewegung eines (punktförmigen) Teilchens mit der Masse m in einer horizontalen
Ebene untersucht werden, sodass der Einfluss der Schwerkraft vernachlässigt werden kann. Das
Teilchen kann reibungsfrei auf einer masselosen Stange gleiten, welche um eine vertikale Achse
durch den Ursprung des Koordinatensystems rotieren kann. Es sollen ebene Polarkoordinaten
r, ϕ verwendet werden.
Die Stange habe zunächst keinen Antrieb.
a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L(r, ṙ, ϕ, ϕ̇) für den Massenpunkt auf.
b) Bestimmen Sie die kanonischen Impulse und stellen Sie die Hamilton-Funktion H auf.
Zeigen Sie, dass die Hamilton-Funktion H gleich der Energie E ist.
c) Bestimmen Sie (mindestens) zwei Erhaltungsgrößen.
Die Stange werde nunmehr mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω angetrieben.
d) Geben Sie die Lagrange-Funktion an und stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
e) Zeigen Sie, dass die Kraft, welche auf den Massenpunkt wirkt, durch K = 2mṙωêϕ
gegeben ist mit dem Einheitsvektor êϕ in Azimut-Richtung.
f) Berechnen Sie die Leistung des Antriebs und zeigen Sie, dass sie gleich der zeitlichen
Änderung der Energie des Massenpunkts ist.