Hausaufgaben für Fr. 27.5.2016

Übungen zur Theoretischen Physik 5: Statistische Physik
SS 2016
Prof. Dr. T. Feldmann, Dr. P. Moch, M. Höfer
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Blatt 5
Ausgabe: Fr, 20.5.2016
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Abgabe: Fr, 27.5.2016
Hausaufgaben für Fr. 27.5.2016
Aufgabe 12:
n-dimensionale Kugel
5P
a) Berechnen Sie das Integral
Z∞
Z∞
...
In =
−∞
exp(−~
x 2) d n x ,
~
x = (x1 , . . . , xn )
−∞
auf zwei Arten
i) als ein Produkt von n eindimensionalen Integralen und,
ii) über die Einführung von n-dimensionalen Kugelkoordinaten.
b) Leiten Sie daraus die Oberfläche S(n, R) und das Volumen V (n, R)
n
2π 2
S(n, R) = n Rn−1 ,
Γ( 2 )
n
π2
V (n, R) = n
Rn
Γ( 2 + 1)
einer n-dimensionalen Kugel ab.
Überprüfen Sie obige Formel für die Fälle n = 2, 3.
√
√
(Γ-Funktion wie in Übungsblatt 1, mit Γ(3/2) = π/2, Γ(5/2) = 3 π/4.)
c) Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina einer n-dimensionalen Kugelschale
der Breite R zur gesamten n-dimensionalen Kugel in erster Ordnung in .
Aufgabe 13:
Mikrokanonische Zustandssumme für ein ideales Gas
8P
Wir betrachten ein Gas aus N 1 klassischen, ununterscheidbaren und nichtwechselwirkenden Teilchen mit Masse m, die sich in einem Kasten mit Volumen V (unendlich
hohe Potentialwände) befinden.
Bitte wenden!
a) Zeigen Sie, dass für die Zahl der Mikrozustände mit Gesamtenergie ≤ E gilt
3N
VN
(2πmE) 2
1
Φ(E, V, N) =
,
N! (2π~)3N Γ( 3N
2 + 1)
Berechnen Sie daraus die mikrokanonische Zustandssumme (für ∆E E)
Ω(E, V, N) = Φ(E + ∆E, V, N) − Φ(E, V, N)
Hinweis:
Die Zahl der Zustände mit Energie ≤ E ergibt sich hier über
Z∞ 3
Z∞ 3
Z
Z
n
X
d p1
p~ 2
d pN
1
3
3
.
.
.
d
q
.
.
.
d
q
θ(E
−
).
Φ=
1
N
N!
(2π~)3
(2π~)3
2m
i=1
−∞
−∞
V
V
b) Zeigen Sie, dass die Entropie des Systems gegeben ist durch
V
3 E
S = kB N ln + ln + const. + O(ln N).
N 2 N
Hinweis:
Benutzen Sie die Stirlingformel ln N! ' N ln N − N.
c) Berechnen Sie die Temperatur T (E, V, N) des Systems.
Zeigen Sie weiterhin, dass
−
Aufgabe 14:
∂ 2 ln Ω
∝ N/E 2 .
∂E 2
Negative Temperaturen
7P
Es werde ein System von N unterscheidbaren nichtwechselwirkenden Teilchen betrachtet, von denen jedes die Energiezustände E↑ = oder E↓ = − annehmen kann.
a) Auf wieviele Weisen kann ein Zustand mit der Gesamtenergie E = (N↑ − N↓ )
realisiert werden, wobei N↑/↓ die Anzahl der Teilchen im Energiezustand E↑/↓ ist
(mit N = N↑ + N↓ ) ?
b) Bestimmen Sie die mikrokanonische Zustandssumme Ω(E) sowie die Entropie
S(E) mit Hilfe der Stirlingformel. Wählen Sie dabei ∆E zunächst so, dass genau
ein Gesamtenergiezustand zwischen E und E+∆E liegt. Untersuchen Sie explizit,
ob sich das Ergebnis für ∆E ändert.
c) Berechnen Sie E(T ) und T (E). Unter welchen Umständen ist T Negativ? –
Warum ist das möglich?