Blatt 11

TP3-MAT/TP4-LAP: Statistische Physik und Thermodynamik
Sommersemester 2016
Blatt 11
Aufgabe 30: Mikrokanonische Beschreibung von N zwei-Niveau Teilchen
Mikrokanonische und kanonische Ensemble sind identisch im Limes von großen N .
Betrachten Sie ein System von N unterscheidbaren, unabhängigen Teilchen welche jeweils einen von zwei Zuständen
annehmen können, deren Energie sich um ε unterscheidet (die Energie des Grundzustandes wird null gesetzt). Der
Zustand ν des Systems kann durch folgende Auflistung spezifiziert werden: ν = (n1 , n2 , . . . , nN ), wobei nj den
PN
Zustand des j-ten Teilchens beschreibt(nj = 0 oder 1). Die Energie des Systems im Zustand ν ist Eν = j=1 nj ε.
a) Im Gleichgewicht befinden sich m Teilchen im angeregten Zustand und N − m im Grundzustand (m = E/ε).
Bestimmen Sie die Anzahl der Mikrozustände Ω(E, N ) die m angeregten Zuständen entsprechen.
b) Stellen Sie die Mikrokanonische Entropie auf und zeichnen Sie sie als Funktion von m. Diskutieren Sie das
Vorzeichen der Temperatur als Funktion von m. Bestimmen Sie die Temperatur im Limes N 1.
c) Benutzen Sie den bestimmten Ausdruck um auf m als Funktion von β = 1/(kB T ) und der Energie E zu
schließen.
Aufgabe 31: Kanonische Beschreibung von N zwei-Niveau Teilchen
a) Betrachten Sie das gleiche System wie in der vorherigen Aufgabe und bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme Z. Berechnen Sie die mittlere Energie und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis der vorherigen
Aufgabe. Welche Berechnung ist einfacher?
b) Berechnen Sie die Entropie und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis der vorherigen Aufgabe.
c) Bestimmen Sie den Mittelwert hEi und die Varianz ∆E 2 für ein einzelnes Teilchen. Was läßt sich über das
p
Verhältnis h∆E 2 i/ hEi in diesem Fall sagen?
Aufgabe 32 : Diatomische Moleküle
Eine einfache Anwendung des kanonischen Ensembles.
Betrachten Sie ein Molekül, wie zum Beispiel Kohlenstoffmonoxid, das aus zwei unterschiedlichen Atomen, einem
Kohlenstoff und einem Sauerstoff Atom, besteht. Die Energielevel für die Rotation der Moleküle sind gegeben
durch El = ~2 l(l + 1)/(2I), wobei I das Trägheitsmoment der Moleküle und l = 0, 1, 2, . . . die Quantenzahl des
Orbitalen Drehimpulses ist. Jedes Energielevel ist entartet entsprechend gl = (2l + 1).
a) Geben Sie die kanonische Zustandssumme an. Diese kann nicht analytisch ausgewertet werden.
b) Für große Werte von β~2 /I, leiten Sie eine tieftemperatur Näherung der Zustandssumme her, in dem Sie
nur die niedrigsten Terme in der Summe beibehalten. Bestimmen Sie die freie Energie, die Entropie und die
Wärmekapazität in diesem Regime. Erklären Sie physikalisch, warum große Werte von l keinen Beitrag geben.
c) Für kleine Werte von β~2 /I, leiten Sie eine hochtemperatur Näherung der Zustandssumme her, in dem Sie die
Summe durch ein Integral ersetzen. Bestimmen Sie die freie Energie, die Entropie und die Wärmekapazität in
diesem Regime.
d) Skizzieren Sie die Wärmekapazität als Funktion von T .