10.¨Ubung zur Statistischen Mechanik

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - WS 2013/2014
Prof. Dr. J. Krug
Dr. I. Szendro
10. Übung zur Statistischen Mechanik
Abgabe: Freitag 10. January bis 12:00 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik.
Anmerkung: Insgesamt können Sie auf diese Übung 70 Punkte erhalten. Zehn davon sind Bonuspunkte.
38. Entropie und Information
(5+7+7 = 19 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie bereits zwei Definitionen von Entropie kennengelernt, die Boltzmannsche
und die thermodynamische. Claude Shannon hat 1948 die nach ihm benannte informationstheoretische
Shannon-Entropie
N
∑
I[Pi ] = −
Pi ln(Pi )
(1)
i=1
für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen eingeführt. Sie ist ein Maß für den Informationsgewinn, den
das Eintreffen eines der möglichen Ereignisse i = 1, ..., N impliziert, oder anders ausgedrückt, ein Maß
für die mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P verbundene Unkenntnis.
a) Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen {Pi }i=1,...,N und {Pj′ }j=1,...,M . Sofern die Ereignisse
i und j unabhängig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses
(i und j) bekanntlich durch Qij = Pi Pj′ gegeben. Zeigen Sie, daß I[Qij ] = I[Pi ] + I[Pj′ ].
b) Zeigen Sie, daß die Gleichverteilung Pi = 1/N unter allen normierten(!) Verteilungen die maximale
Entropie besitzt. Was bedeutet dies anschaulich?
Hinweis: Benutzen Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren um die Entropie unter der Nebenbedingung der Normiertheit der Verteilung zu maximieren.
c) Nun seien die Ereignisse i = 1, ..., N Mikrozustände mit Energien Ei . Zeigen Sie, daß die kanonische
Verteilung die Entropie (1) bei vorgegebener mittlerer Energie maximiert.
Hinweis: Benutzen Sie wieder die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Was ist die physikalische
Bedeutung der Lagrange-Multplikatoren?
39. Virialsatz
(5+4+6 = 15 Punkte)
Ein System habe eine Hamiltonfunktion mit folgender Skalierungsidentität für alle a > 0:
H(aλ1 q1 , . . . , aλN qN , aγ1 p1 , . . . , aγN pN ) = aH(q1 , . . . , pN )
mit festen Parametern λi und γi .
a) Zeigen Sie über die in der Vorlesung besprochene Version des Virialsatzes, dass im kanonischen En∑N
semble gilt: ⟨H⟩ = kB T i=1 (λi + γi ).
Tipp: Differenzieren Sie obige Gleichung nach a.
b) Bestimmen Sie mittels a) die kalorische Zustandsgleichung des ultrarelativistischen Gases.
c) Eine gravitativ gebundene Gaswolke aus N Teilchen der Masse m hat die Hamiltonfunktion
H(q 1 , . . . , q N , p1 , . . . , pN ) =
N
∑
|pi |2
i=1
2m
−
∑ Gm2
|q i − q j |
i̸=j
Berechnen Sie die mittlere Energie dieses Systems bei Temperatur T und daraus seine Wärmekapazität.
Seltsam, nicht? Was passiert, wenn das System Wärme nach außen abstrahlt?
Anmerkung: Bevor der Virialsatz hier angewandt werden darf, müsste das System eigentlich erst auf
geeignete Art und Weise regularisiert werden (z.B. durch das Einführen eines endliches Volumens
und eines nicht-singulären Potenzials). Dies würde die Analyse erschweren, aber das Ergebnis nur
in Grenzfällen signifikant verändern.
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40. Methode der Transfermatrix
(5+6+5+4+4+5 = 29 Punkte)
Im kanonischen Ensemble ist es recht einfach möglich, eindimensionale Systeme mit kurzreichweitiger
Wechselwirkung exakt zu behandeln. Hier wollen wir uns am eindimensionalen Ising-Modell einer Spinkette versuchen.
N + 1 Spins mit je zwei Konfigurationen σi ∈ {−1, +1}, i ∈ {0, . . . , N }, seien in einer Reihe angeordnet.
Die Energie einer gegebenen Konfiguration sei
E(σ) = −J
N
∑
σi σi+1 − h
i=1
N
∑
σi ,
(2)
i=1
wobei h = νB. Die Konstante ν bestimmt die Stärke der Spin-Magnetfeld Wechselwirkung und J die
der Spin-Spin Wechselwirkung. Hier sollen periodische Randbedingungen angenommen werden, d.h.
σN +1 = σ1 .
a) Zeigen Sie, dass sich die Zustandssumme als
∑
Z=
Tσ1 σ2 Tσ2 σ3 . . . TσN −1 σN TσN σ1
(3)
σ∈{−1,1}N
( (
mit Tσσ′ = exp β Jσσ ′ +
matrix.
h(σ+σ ′ )
2
))
schreiben lässt. Die Matrix T bezeichnet man als Transfer-
b) Zeigen Sie, dass sich Gleichung (3) zu
∑
Z=
σ1 ∈{−1,1}
( N)
(
)
T σ1 σ1 = Spur T N
(4)
vereinfacht.
Der Grund, warum die Zustandssumme im Transfermatrix-Formalismus geschrieben wurde ist folgender
mathematischer Satz: Sei T eine n × n-Matrix mit Eigenwerten λ1 , . . . , λn , dann gilt für N ∈ N:
n
(
) ∑
Spur T N =
λN
i .
(5)
i=1
Die Berechnung der Zustandssumme reduziert sich damit auf ein Eigenwertproblem.
c) Berechnen Sie die Eigenwerte von T .
d) Zeigen Sie mit Hilfe von Gleichung (4) und (5), dass für βJ ≫ 1 die Zustandssumme durch
Z = 2eN βJ cosh(N βh)
(6)
gegeben ist.
e) Im Limes großer N kann man den Beitrag des kleineren Eigenwerts von T vernachlässigen. Nähern
Sie Z und die freie Energie F damit bis zur zweiten Ordnung in B.
f ) Berechnen Sie daraus die magnetische Suszeptibilität χB = − N1
deren Verlauf in Abhängigkeit der Temperatur.
41. Teilchenzahlverteilung
∂2F
∂B 2
bei B = 0 und skizzieren Sie
(7 Punkte)
Zeigen Sie, dass im großkanonischen Ensemble des klassischen idealen Gases die Verteilung der Teilchenzahlen genau die Poisson-Verteilung ist:
p(N ) = e−⟨N ⟩
⟨N ⟩N
.
N!
p(N ) soll die Wahrscheinlichkeit sein, genau N Teilchen im betrachteten Volumen zu finden.
Anmerkung: In der Tat gilt das für alle großkanonischen Ensembles aus nichtwechselwirkenden, ununterscheidbaren, klassischen Teilchen. Dennoch finden sich in Aufgabe 37 nützliche Angaben und Ergebnisse
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