Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA

PD Dr. Michael Seidl
5.7.2012
Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA
Übungsblatt 12
Aufgabe 1
In einem System aus drei Teilchen gebe es genau drei verschiedene Einteilchenzustände.
Deren Energien seien ǫ1 = 0, ǫ2 = ǫ und ǫ3 = 4ǫ, mit einer Konstante ǫ > 0.
Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme für folgende Fälle:
(a) Die Teilchen sind unterscheidbar.
(b) Die Teilchen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik.
(c) Die Teilchen gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik.
Berechnen Sie in jedem Fall die Entropie S.
Hinweis: Benutzen Sie die Bezeichnung x := e−βǫ ≡ e−ǫ/kB T .
Aufgabe 2: Elektromagnetische Strahlung und Photonengas
Die thermodynamische Behandlung von Hohlraumstrahlung geht in der Regel aus den
beiden Zustandsgleichungen
U = bV T 4 ,
p=
U
.
3V
(1)
Dabei ist b die Stefan-Boltzmann Konstante,
b = 7.56 · 10−16
J
m3 K 4
.
(2)
Es sei daran erinnert, dass es weder eine erhaltene Photonanzahl gibt noch ein chemisches
Potential fuer die elektromagnetische Strahlung.
1. Die “Euler-Gleichung“ lautet für den Fall von elektromagnetischer Straglung
∂
∂
U= S
U = T S − pV.
+V
∂S
∂V
(3)
Auf welcher Eigenschaft von U(S,V) beruht sie?
2. Leiten Sie mit Hilfe der Gleichung (1) die Entropie in der Form S = S(U, V ) her.
3. Bestimmen Sie die freie Energie F als Funktion ihrer natuerlichen Variablen über
eine Legendre-Transformation, ausgehend von U(S,V).
4. Wiederholen Sie die Rechnung aus Aufgabe 3 ohne explizite Legendre-Transformation,
indem Sie Gleichung (3) und die Zustandsgleichungen ausnutzen.
5. Bestimmen Sie die Enthalpie H mit der Methode von Aufgabe 4. Waum ist die
freue Enthalpie G keine relevante thermodynamische Grösse für Strahlung?
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6. Das Universum kann als expandierender elektromagnetischer Hohlraum betrachtet
werden, dessen Strahlung die Temperatur T = 2.7K hat. Welchen Druck hat diese
Strahlung? Wie hängt die zukünftige Temperatur vom Volumen des Universums
ab, wenn man annimmt, dass die Ausdehnung isentrop erfolgt?
Die Quanten der elektromagnetischen Strahlung sind die Photonen. Die Energie eines
Photons (Wellenzahlvektor ~k) ist
~ω(~k) = ~ck
(4)
mit k = |~k| und d der Lichtgeschwindigkeit. Wir behandeln elektromagnetische Hohlraumstrahlung in der statistischen Physik als variable Anzahl unabhängiger Photonen in einem
Kasten.
7. Wie lautet die Kanonische Zustandssumme Zω für eine einzelne Mode mit Frequenz
ω? Bestimmen Sie hierfür ebenfalls die freie Energie Fω , die innere Energie Uω und
die Entropie Sω , jeweils als Funktion von T .
8. Zeigen Sie, dass sich die Entropie Sω einer Mode wie folgt durch die mittlere Photonenzahl Nω ausdrücken lässt:
Sω = kB [(Nω + 1) log Nω + 1 − Nω log Nω ].
(5)
9. Bestimmen Sie die Schwankung der Photonenzahl in einer Mode. Leiten Sie daraus
den folgenden Zusammenhang mit der Wärmekapazität CVω (für eine Mode) her:
(∆Nω )2 =
CVω kb T 2
.
(~ω)2
(6)
Hinweis: Die Schwankung einer Observablen ist wie folge über thermische Mittelwerte definiert:
1/2
∆O = hO2 i − hOi2
.
(7)
10. Die Stefan-Boltzmann Konstante b aus Gl. (2) kann in einer mikroskopuischen
Beschreibung nur von den Naturkonstanten kb , ~ und c abhängen. Welche Kombination dieser Konstanten hat dieselbe Dimension wie b? Bestimmen Sie auf diese
Art die Abhängigkeit von b von diesen drei Konstanten.
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