Kontrollfragen für Klausur am Do. 21.7.2016

Übungen zur Theoretischen Physik 5: Statistische Physik
SS 2016
Prof. Dr. T. Feldmann, Dr. P. Moch, M. Höfer
Blatt 12
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Ausgabe: Fr, 8.7.2016
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Abgabe: –
Kontrollfragen für Klausur am Do. 21.7.2016
• Wie ist die charakteristische Funktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert? – Was versteht man unter Momenten einer W.-verteilung?
• Wie ist die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen xi und xj definiert?
• Wie lauten die Binomial-, die Poisson- und die Normalverteilung?
• Was ist die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes?
• Was besagt der Satz von Liouville? – Erklären Sie die anschauliche Bedeutung
der darin auftretenden Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(p, q, t).
• Wie ergibt sich mit Hilfe der sog. Poisson-Klammern die Analogie zwischen der
klassischen Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(p, q, t) und dem Dichteoperator in der
Quantenstatistik?
• Welche Eigenschaften besitzt der statistische Operator (Dichtematrix)? – Wie
berechnet man damit Erwartungswerte von Observablen? – Was ergibt sich im
Falle eines reinen Zustands?
• Leiten Sie die von-Neumann–Gleichung für ρ̂ her. – Diskutieren Sie den Unterschied zur Heisenberg-Gleichung.
• Was bezeichnet man als reduzierte Dichtematrix?
• Wie erhält man die Entropie aus dem statistischen Operator? – Welche Relation
ergibt sich für die Entropie zweier unkorrelierter Teilsysteme? – Wie lautet die
Entropie für einen reinen Zustand?
• Was besagt die Kleinsche Ungleichung? - Was ist mit der Aussage gemeint, dass
die Entropie eine konvexe Funktion von ρ̂ ist?
• Diskutieren Sie im Zusammenhang mit der Master-Gleichung das Zeitverhalten
der Entropie eines physikalischen Teilsystems.
• Wie ist das mikrokanonische Ensemble in der Quantenstatistik definiert? – Was
bezeichnet man als mikrokanonische Zustandssumme? – Wie erhält man daraus
die Entropie?
• Wie ergibt sich die Temperatur aus der Entropie bzw. der mikrokanonischen
Zustandssumme? – Erläutern Sie dabei die Aussage des 0. Hauptsatzes.
• Erläutern Sie den Begriff der verallgemeinerten Kraft in der Thermodynamik am
Beispiel der Zustandsgröße “Druck”. – Wie lautet insbesondere die Fundamentalbeziehung der Thermodynamik?
• Was besagt der 1. Hauptsatz der Thermodynamik? – Warum sind Wärme und
Arbeit keine thermodynamischen Zustandsgrößen?
• Wie lautet das vollständige Differential für die Energie als Funktion der natürlichen Variablen (S, V, N) (Entropie, Volumen, Teilchenzahl)?
• Wie leitet man aus dem mikrokanonischen Ensemble das kanonische Ensemble
ab? – Wie lautet der Dichteoperator im kanonischen Ensemble, ausgedrückt
durch den Hamiltonoperator? – Wie ist die kanonische Zustandssumme definiert?
• Wie hängt die freie Energie mit der kanonischen Zustandssumme zusammen? –
Wie ist die freie Energie mit der inneren Energie verknüpft?
• Wie ist die Wärmekapazität CV definiert? – Wie lautet CV für ein ideales (klassisches) Gas?
• Erläutern Sie den Begriff “thermodynamisches Potential”. – Geben Sie für die
freie Energie, die Enthalpie und die freie Enthalpie jeweils die natürlichen Variablen und das entsprechende vollständige Differential an.
• Schreiben Sie eine Variante der Gibbs-Duhem–Relation? – Wie stehen insbesondere die Differentiale (dT, dp, dµ) in Beziehung?
• Was versteht man unter Maxwell-Relationen? – Geben Sie ein Beispiel an.
• Wie erhält man das großkanonische Ensemble aus dem kanonischen Ensemble?
– Wie lauten die entsprechende Zustandssumme und das zugehörige Potential?
• Wie hängt das großkanonische Potential mit der inneren Energie zusammen; und
welcher einfache Ausdruck ergibt sich mit der Gibbs-Duhem–Relation?
• Wie lauten der Hamiltonoperator und der Teilchenzahloperator in Besetzungszahldarstellung? – Welche Besetzungszahlen sind für (ununterscheidbare) Quantenteilchen erlaubt?
• Wie lauten die mittleren Besetzungszahlen für Fermionen und Bosonen? – Erläutern
Sie das Spin-Statistik–Theorem.
• Was besagt der 2. Hauptsatz der Thermodynamik? – Erläutern Sie in diesem
Zusammenhang die Begriffe “adiabatische”, “reversible” bzw. “quasi-statische
Zustandsänderung”.
• Warum folgt aus dem 3. Hauptsatz die Unerreichbarkeit des absoluten Temperaturnullpunkts?
• Wie skaliert die innere Energie des idealen Photongases mit der Temperatur? –
Wie lautet die spektrale Energiedichte u(ω) im Planckschen Strahlungsgesetz?
• Wie lautet die Zustandsgleichung zwischen E, p und V für das Photongas? –
Was ergibt sich für die Entropie des Photongases?
• Wie lautet der Beitrag der Phononen zur Wärmekapazität eines Festkörpers bei
großen Temperaturen (Dulong-Petit)?
• Was ergibt sich für die Teilchenzahl N(T, V, µ) eines idealen Bose-Gases? –
Warum kommt es unterhalb einer kritischen Temperatur zur Bose-Einstein–
Kondensation?
• Wie verhält sich die Wärmekapazität CV des idealen Bose-Gases für T → 0 ?
• Wie verhält sich der Druck eines idealen Gases als Funktion der Temperatur
unterhalb der kritischen Temperatur? – Was passiert, wenn man das Bose-Gas
bei konstanter Temperatur T < Tc komprimiert?
• Was versteht man unter der Fermi-Energie? – Wie sind entsprechend der FermiImpuls und die Fermi-Temperatur für ein ideales Fermigas definiert?
• Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Fermiondichte N/V und dem FermiImpuls her (im thermodynamischen Limes).
• Welche physikalische Bedeutung hat der Fermi-Druck?
• Was versteht man unter der Sommerfeld-Näherung? – Wie verhält sich die Differenz ∆µ = µ − F bei kleinen Temperaturen?
• Vergleichen Sie das Temperaturverhalten der Wärmekapazität für ein ideales
Bose- bzw. Fermi-Gas.