Theoretische Physik: Thermodynamik und Statistische Physik
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Theoretische Physik: Thermodynamik und Statistische Physik Aufgabensammlung x Inhaltsverzeichnis 1 2 3 SS 2005 Blatt 1 . . . . Blatt 2 . . . . Blatt 3 . . . . Blatt 4 . . . . Blatt 5 . . . . Blatt 6 . . . . Blatt 7 . . . . Blatt 8 . . . . Blatt 9 . . . . Blatt 10 . . . Blatt 11 . . . Blatt 12 . . . 1. Klausur . . 2. Klausur . . Nachklausur SS 2006 Blatt 1 . . Blatt 2 . . Blatt 3 . . Blatt 4 . . Blatt 5 . . Blatt 6 . . Blatt 7 . . Blatt 8 . . Blatt 9 . . Blatt 10 . Blatt 11 . Blatt 12 . 1. Klausur 2. Klausur SS 2009 Blatt 1 . Blatt 2 . Blatt 3 . Blatt 4 . Blatt 5 . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 8 10 11 13 15 16 18 20 21 23 25 27 29 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 31 32 34 35 37 38 40 42 44 46 48 49 51 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 61 67 76 88 Blatt 6 . . Blatt 7 . . Blatt 8 . . Blatt 9 . . Blatt 10 . Blatt 11 . Blatt 12 . Blatt 13 . Blatt 13 . 1. Klausur 2. Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 109 122 132 141 151 162 172 172 184 192 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 1 1. Betrachten Sie Variationen der partiell differenzierbaren Funktionen U.x1 ; : : : ; xn / und V .x1 ; : : : ; xn /. Dabei werden die Variablen x3 ; : : : ; xn konstant gehalten. a) Bestimmen Sie die Änderung von U beieiner Variation von x1 und x2 , die V @U unverändert läßt, d. h. berechnen Sie @x : 1 V;x ;:::;x n 3 b) Berechnen Sie @U : @V x ;:::;xn 2 2. Ein Gas werde von .p1 ; V1 ; T1 / nach .p2 ; V2 ; T2 / geführt. Die Zustandsänderung sei D a dVV mit einer positiven derart, dass Druck– und Volumenänderung die Relation dp p Konstanten a erfüllen. Berechnen Sie die von dem Gas geleistete Arbeit. 3. Betrachten Sie ein ideales Gas, das die beiden in der Abbildung dargestellten Kreisprozesse C1 D .1231/ und C2 D .4564/ durchläuft. Dabei sind Ta und Tb die Temperaturen entlang der H entsprechenden H Isothermen. Zeigen Sie, dass C1 pdV D C2 pdV . Was folgt für die verbrauchten Wärmemengen? 1 P 2 3 4 5 6 Ta Tb V 4. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei p D p.T; V /, d. h. der Druck, p, ist Funktion der Temperatur, T , und des Volumens, V . Diese Zustandsgleichung lasse sich eindeutig nach V auflösen. @p 1 a) Zeigen Sie, dass für den isochoren Spannungkoeffizienten, D p @T , den V 1 @V isobaren Ausdehnungkoeffizienten, ˇ D V @T p , und den isothermen Kompressi 1 , die Relation ˇ D p gilt. onskoeffizienten, D V @V @p T b) Verifizieren Sie diese Relation für ein ideales Gas. c) Zeigen Sie, dass die oben definierten Größen die Konsistenzbedingung @ @ ŒV ˇ D ŒV @p @T T p erfüllen müssen. 5 d) Für ein System seien 1 ˇD T 3a 1C V T2 und D a 1 1C p VT2 gegeben. Dabei ist a eine beliebige Konstante. Verifizieren Sie, dass dieses System die Konsistenzbedingung c) erfüllt und bestimmen Sie die Zustandsgleichung in der Form V D V .p; T /. 6 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 2 1. Zeigen Sie, dass die über die Zustandsgleichung des idealen Gases (pV D nR) definierte Temperatur identisch mit der Kelvin–Temperatur T ist. Schreiben Sie dazu den Wirkungsgrad einer mit einem idealen Gas betriebenen Carnot–Maschine als Funktion von . 2. Die unabhängigen Variablen, die ein System beschreiben, seien das Volumen V und die Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt. Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme durch ıQ @U @U @V CX D D C Cp ıT X @T V @V T @T X gegeben ist. Dabei sind U und p innere Energie und Druck. Verifizieren Sie damit Cp D CV C nR für ein ideales Gas. 3. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei von der Form p D Tf .V /. Verwenden Sie, dass die Entropie und die innere Energie vollständige Differentiale haben, um zu zeigen, dass in diesem Fall die innere Energie unabhängig vom Volumen ist. 4. Ein ideales Gas durchlaufe den folgenden Kreisprozess .T2 ; V1 / 6 isochor .T1 ; V1 / isotherm ! isotherm .T2 ; V2 / isochor ? .T1 ; V2 / mit T2 > T1 und V2 > V1 . a) Skizzieren Sie den Kreisprozess in den .P; V /, .T; V / und .P; T / Diagrammen. b) Berechnen Sie für jeden Teilschritt die geleistete Arbeit und die ausgetauschte Wärme und bestimmen daraus den Wirkungsgrad. 7 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 3 1. Gehen Sie von den Differentialen für die freie Energie, F und dem thermodynamischen Potential, G aus, um folgende Relationen für Ableitungen der Entropie zu zeigen, @S @p @S @V D D : @V T @T V @p T @T p V Zeigen Sie, dass @C aus der Zustandsgleichung p D p.V; T / berechnet werden @V T kann. 2. Für ein Gas geringer Dichte gelte folgende Virialentwicklung n nRT 1 C B.T / : p.V; T / D V V Die Wärmekapazität kann um diejenige des idealen Gases entwickelt werden: n 3 F.T / : CV D nR 2 V a) Welche Beziehung muss zwischen B.T / und F.T / gelten, damit die Entwicklungen thermodynamisch konsistent sind (vgl. Aufgabe 1)? b) Bestimmen Sie die Wärmekapazität Cp und die Entropie S.V; T /. 3. Berechnen Sie den adiabatischen Kompressionskoeffizienten ad D 1 V idealen Gases. Bestimmen Sie damit die Schallgeschwindigkeit c 2 D @p @ T D 273K. Wie hängt die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur ab? @V @p in Luft bei ad 4. Ein ideales Gas durchlaufe den in der Abbildung skizzierten Kreisprozess im S Diagramm. T 1 4 SA T a) Bestimmen Sie die Bahnkurven der Isobaren bei p1 und p2 . 2 p=p1 =const. eines ad b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer so betriebenen Wärmekraftmaschine. 3 c) Zeigen Sie, dass der Wirkungsgrad nur von T1 und T4 abhängt. p=p2=const. SB S 8 5. Ein Rohr, das am unteren Ende durch eine semipermeable Membran abgeschlossen und mit einer wässrigen Salzlösung gefüllt ist, tauche in ein Gefäß mit Wasser ein. Bestimmen Sie die Teilchendichte des Salzes, wenn der Höhenunterschied der beiden Flüssigkeiten h D 2cm beträgt. g h=2cm .. Salzlosung Wasser 9 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 4 1. Zeigen Sie, dass @U aus der Zustandsgleichung berechnet werden kann. Betrachten @p T Sie speziell ein Gas, das durch die van–der–Waals Zustandsgleichung beschrieben wird. positiv bzw. negativ? In welchen Bereichen ist @U @p T 2. Zeigen Sie für ein van–der–Waals Gas, dass entlang der Inversionskurve des Joule– Thomson Prozesses, die durch @T D 0 bestimmt ist, @p H 2a RT v b v 2 Db erfüllt ist. Dabei ist v D V =n. Lösen Sie obige Bedingung nach v auf, um die Inversionkurve in der Form Pi D Pi .T / zu schreiben. 3. Betrachten Sie ein Gas, das durch die Dieterici–Zustandsgleichung ˛ p.v ˇ/ exp D RT vRT beschrieben wird. Bestimmen Sie die kritischen Größen TC , pC und vC als Funktionen der Konstanten ˛, ˇ und R. Schreiben Sie die Dieterici–Zustandsgleichung mittels der dimensionslosen Variablen v D v=vC , p D p=pC und T D T =TC . Folgt daraus ein Gesetz der korrespondierenden Zustände? 4. Bestimmen Sie den thermischen Expansionskoeffizienten 1 @vg ˛coex D vg @T coex für einen Dampf (ideales Gas), der im Gleichgewicht mit seiner flüssigen Phase ist. Dabei ist vg das Molvolumen des Dampfes. Das Molvolumen der Flüssigkeit sei vernachlässigbar klein. 5. Eine Flüssigkeit kocht in der Höhe des Meerespiegels bei 103ı C und auf einem Hügel, der 400m höher liegt, bei 93ı C. Berechnen Sie die als konstant angenommene Verdampfungswärme der Flüssigkeit. Der Druck in der Höhe z ergibt sich aus der barometrischen Höhenformel p.z/ D p0 exp. mgz=RT0/. Dabei ist m die Masse pro Mol und T0 D 273K die Umgebungstemperatur. Die Luftzusammensetzung sei 80%N2 und 20%O2 . 10 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 5 1. Betrachten Sie eine Mischung von zwei Arten von Gasmolekülen mit den Massen m1 und m2 im Volumen V , bei konstanter Temperatur T . Die Moleküle können durch eine poröse Wand in das umgebende Vakuum entweichen. Berechnen Sie das Verhältnis der Konzentrationen, c1 .t /=c2.t / als Funktion der Zeit t für m1 > m2 . 2. Aus einem Ofen der Temperatur T entweicht durch Blende Schirm eine nahezu punktförmige Öffnung ein Gasstrahl ins Ofen Vakuum. Die Geschwindigkeiten der Teilchen im Ofen gehorchen einer Maxwellverteilung. Im Abx stand s wird durch eine ebenfalls nahezu punktförmiz ge Öffnung der horizontale Anteil ausgeblendet. Im Abstand a s wird der Strahl auf einem Schirm a s aufgefangen. Zeigen Sie, dass die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit die Blende horizontal mit der Geschwindigkeit vx verlassen durch . . . . . . . . . . . . . . . . m d NP / n 2kB T 32 vx3 exp . . . . . . . . . mvx2 2kB T dvx geben ist. Dabei ist n die Dichte der Teilchen im Ofen. Berechnen Sie die IntensitätsP verteilung I.z/ D ddzN auf dem Schirm unter Berücksichtigung der Schwerkraft (nur zwischen Schirm und Blende). 3. Ein Gas bestehe aus N Molekülen, die sich unabhängig in einem Volumen V bewegen. Betrachen Sie ein Teilvolumen v. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit wN .n/, n Moleküle in v zu finden? b) Wie groß ist die mittlere Teilchenzahl nN im Teilvolumen v? c) Berechnen Sie das Schwankungsquadrat .n nN n/ N 2 : Wie groß ist das für v D V , v D V =2 und v D 10 10 V? d) Geben Sie eine einfache Näherung für N nN an. (Hinweis: Für große x gilt die p Stirlingsche Formel x! D 2x x x =ex C : : : .) 11 4. Gegeben seien N unabhängige harmonische Oszillatoren, die jeweils die Eigenfrequenz ! haben. Die Gesamtenergie beträgt somit ED N ~! C M ~! 2 mit M D n1 C n2 C : : : C nN . Bestimmen Sie die Anzahl Z.E/ der Zustände mit einer vorgegebenen Gesamtenergie E. Geben Sie für die Größe @ln Z.E/=@E einen analytischen Ausdruck für den Grenzfall M; N 1 an. 12 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 6 1. Betrachten Sie ein System von N Teilchen der Masse m und der Phasenraumverteilung .qE 1 : : : qE N ; pE 1 : : : pE N ; t / und einer nicht–relativistischen Hamiltonfunktion (Hamiltonoperator), die keine geschwindigkeitsabhängige Potentiale enthält. Zeigen Sie, dass die lokale Dichte n.rE ; t / D N Z X i d 3 q1 : : : d 3 qN d 3 p1 : : : d 3 pN .qE 1 : : : qE N ; pE 1 : : : pE N ; t /ı 3.qE i rE / und die Geschwindigkeitsverteilung N vE .rE ; t / D 1 X n.rE ; t / i Z d 3 q1 : : : d 3 qN d 3 p1 : : : d 3 pN .qE 1 : : : qE N ; pE 1 : : : pE N ; t / pE i 3 ı .qE i rE / m die Kontinuitätsgleichung (rE D .x1 ; x2 ; x3 /) 3 @n.rE ; t / X @ n.rE ; t /vk .rE ; t / D 0 C @t @xk kD1 erfüllen. 2. Betrachten Sie ein System von N freien Teilchen der Masse m mit der nicht–relativistischen Energie–Impuls–Beziehung N 1 X 2 pE i : E.fpE i g/ D 2m iD1 Berechnen Sie die Zahl der Zustände VN ˝.E0 ; V; N / D 3N h N! Z d 3 p1 : : : d 3 pN E.fp E i g/E0 im Volumen V bis zur Energie E0 . Zeigen Sie dazu zunächst, dass eine n–dimensionale Einheitskugel das Volumen n=2 = . 2n C 1/ besitzt. Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist .nC1/ D n! und für beliebige Argumente gilt die Integraldarstellung Z 1 .x/ D e t t x 1 dt: 0 (Hinweis: Berechnen Sie das Integral und kartesischen Koordinaten.) R1 1 13 dx1 dx2 : : : dxn e x12 x22 ::: xn2 in sphärischen 3. Betrachten Sie N ununterscheidbare harmonische Oszillatoren der Masse m und der Frequenz !, die nicht miteinander wechselwirken. Zeigen Sie, dass die Zahl der Zustände, deren Energie kleiner als E0 ist, durch 1 ˝.E0 ; !; N / D N ! .3N C 1/ E0 ~! 3N gegeben ist. 4. Die Energie eines Spins mit Magnetisierung m im Magnetfeld B beträgt E1 D ˙mB; je nach Orientierung des Spins. Betrachten Sie ein Ensemble aus N 1 Spins, die nicht miteinander wechselwirken. a) Bestimmen Sie die Zahl der Zustände mit vorgegebener Gesamtenergie E. b) Bestimmen Sie die Temperaturabhängigkeit des Erwartungswerts der Energie E D E.T / bei E N mB und E 0. Welchen Temperaturbereichen entsprechen diese Energiebereiche? Skizzieren Sie E.T /. c) Zeigen Sie mittels der Stirlingschen Formel, dass mB E.T / D N mB tanh : kB T d) Skizzieren Sie die spezifische Wärme CB D 14 @E.T / . @T B Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 7 1. Leiten Sie aus der kanonischen Verteilung die Beziehung @U 2 D H 2 H D .E/2 @ˇ V ab, um für die spezifische Wärme cV > 0 zu zeigen. 2. Betrachten Sie N Systeme Si mit den Zustandssummen Zi und den freien Energien Fi , i D 1; : : : ; N . Diese Systeme sind in Kontakt, wechselwirkenP aber nur schwach miteinander, so dass das Gesamtsystem als Zusammensetzung S D N iD1 Si behandelt werden kann. N a) Zeigen Sie, dass für die Zustandsumme des Gesamtsystems ZS D ˘iD1 Zi gilt. b) Bestimmen Sie freie Energie des Gesamtsystems, FS . c) Berechnen Sie die Zustandssumme eines quantenmechanischen harmonischen Os zillators mit den Energieniveaus n D ~! n C 12 . Geben Sie für ein System von N dieser Oszillatoren die innere Energie und die spezifische Wärme für feste Frequenz ! an. 3. Berechnen Sie den Erwartungswert, H D U und die Unschärfe E aus der Zustandsumme für das ideale Gas. Hinweis: Ersetzen Sie ggf. Summen durch gewichtete Integrale. Zum Beispiel Z 1 X ˇEr f .Er / e ! dE !.E/ f .E/ e ˇE : 0 r Dabei ist !.E/ / E 3N=2 1 die Zustandsdichte des idealen Gases. q 2 4. Die Energie–Impuls–Relation lautet für ein ultra–relativistisches Teilchen D c pE . Berechnen Sie die (klassische) Zustandssumme für ein System, das aus N nicht miteinander wechselwirkenden ultra–relativistischen Teilchen besteht. Vergleichen Sie innere Energie und spezifische Wärme cV mit denen von nicht–relativistischen Teilchen. 15 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 8 1. Eine sehr empfindliche Federwaage (Federkonstante a) besteht aus einer Feder, die an einem festen Aufhängepunkt angebracht ist. Sie befinde sich an einem Ort der konstanten Schwerbeschleunigung g im thermischen Gleichgewicht mit ihrer Umgebung (Temperatur T ). An diese Waage ist ein Objekt der Masse M angebracht. a) Was ist die resultierende mittlere Auslenkung hxi? b) Wie groß sind die durch .x/2 D h.x hxi/2 i charakterisierten thermischen Schwankungen um die Gleichgewichtslage? c) Welches ist die kleinste Masse, die mit der Waage noch gemessen werden kann? 2. Ein Kettenmolekül, das eine gerade Linie der Länge L bildet, sei aus N Elementen aufgebaut. Jedes dieser Elemente kann sich in einem Zustand ˛ oder ˇ befinden. Die Länge und Energie eines Elements im Zustand ˛ seien a bzw. Ea ; entsprechend b und Eb für den Zustand ˇ. Die Zahl der Elemente im Zustand ˛ (ˇ) sei N˛ (Nˇ ). a X a b β X L a) Geben Sie die Energie E und die Länge L des Kettenmoleküls als Funktionen von N˛ und Nˇ an. Wie groß ist die Zahl der Zustände mit gleichen N˛ und Nˇ ? b) Durch äußere Kräfte entsteht im Kettenmolekül die Spannung X . Diese liefert den Energiebeitrag X L. Bestimmen Sie die Zustandssumme Z.T; X; N /. c) Wie groß ist die mittlere Länge hLi des Kettenmoleküls bei fester, vorgegebener Spannung X ? 3. Betrachten Sie ein ideales Gas, das aus N zweiatomigen Molekülen mit konstanten elektrischen Dipolmomenten dE besteht. Die Dipole orientieren sich entsprechend der kanonischen Verteilung. Zeigen Sie, dass die Polarisierbarkeit durch N Ed kT P Dd coth V kT Ed 16 gegeben ist. Dabei ist EE das homogene äußere elektrische Feld und d D jdEj bzw. E bezeichnen die jeweiligen Beträge. Verifizieren Sie weiterhin, dass im GrenzE D jEj fall Ed kT die dielektrische Konstante des Gases N d2 D 1 C 4 V 3kT ist. Hinweis: Berechnen Sie den Erwartungswert der potentiellen EnerE i in der kanonischen Gesamtheit. gie, h dE E 4. Zeigen Sie, dass für die großkanonische Gesamtheit gilt: @˝ @˝ ; hN i D ; SD pD @V T; @ T;V @˝ @T : V; Dabei ist das großkanonische Potential ˝ D kT lnZ über die Zustandssumme Z der großkanonischen Gesamtheit definiert. Verwenden Sie dazu, dass die Entropie, S proportional ist zum Erwartungswert des Logarithmus der Verteilungsfunktion. Schreiben Sie weiterhin @˝ als Linearkombination von ˝, U D hH i und hN i, um über Ko@T V; effizientenvergleich für das Differential d˝ zu verifizieren, dass T dS D dU C pdV dhN i. 17 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 9 1. Betrachten Sie ein System aus drei Teilchen, die jeweils in einem der beiden Quantenzustände mit den Energien E D 0 und E D > 0 sein können. Bestimmen Sie die kanonische Zustandsumme für a) unterscheidbare Teilchen, b) Bose–Teilchen, c) Fermi–Teilchen. 2. Betrachten Sie ein System, dessen Quantenzustände mit den Energien Ej (nahezu) entartet sind. Der jeweilige Entartungsgrad sei j . Ein Zustand des gesamten Systems kann durch die Besetzungszahlen Nj , die die Zahl der Teilchen mit Energie Ej angeben, charakterisiert werden. Begründen Sie, dass die Zahl der möglichen Makrozustände, die durch einen Satz fNj g vorgegebener Besetzungszahlen je nach Teilchenstatistik gegeben ist durch ˝.fNj g/ D ˝.fNj g/ D Y .Nj C j 1/! Nj !. j 1/! j Y j! j Nj !. j Nj /! .Bose Einstein .Fermi Dirac Statistik/ ; Statistik/ : Geben Sie die wahrscheinlichste Konfiguration unter den Nebenbedingungen an, dass mittlere Gesamtenergie und mittlere Teilchenzahl vorgegeben sind. Zeigen Sie, dass die Besetzungszahlen für die wahrscheinlichste Konfiguration in der Form njmax D j ˇ.E / j e ˙1 geschrieben werden können. Geben Sie die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ˇ und an. Hinweis: Führen Sie geeignete Lagrange–Multiplikatoren ein und bestimmen Sie das Maximum von ln ˝. 18 3. Es sei g./ eine stetige Funktion, die bei D beliebig oft stetig differenzierbar ist und die im Intervall j j . kT nur langsam variiert, d. h. es ist eine Taylor–Entwicklung um D möglich. Weiter sei f ./ D 1 eˇ. / C1 die Fermi–Verteilungsfunktion. Zeigen Sie, dass für starke Entartung (ˇ 1) ˇ ˇ Z 1 Z 7 4 d 3 g./ ˇˇ 2 dg./ ˇˇ C C ::: : g./f ./d D g./d C 2 ˇ ˇ 6ˇ d ˇ 360ˇ 4 d 3 ˇ 0 0 D D Dabei ist 0 die kleinste Energie des Systems. Betrachten Sie zunächst ./ mit g./ und .0 / D 0. d./ d D Hinweis: Die Integraldarstellung der –Funktion ist Z 1 x n ex dx D 2.1 21 n / n! .n/ mit x C 1/2 .e 1 1 X 4 2 ; .4/ D : .n/ D l n; .2/ D 6 90 l D1 4. Verwenden Sie die Entwicklung aus Aufgabe 3), um für ein entartetes ideales Fermi–Gas das chemische Potential und die innere Energie U bis zur Ordnung T 4 zu bestimmen. Berechnen Sie dazu den Erwartungswert einer Größe g als Integral über die Fermi– Verteilungsfunktion und der Zustandsdichte !./ eines freien Teilchen im Volumen V : Z hgi D g./ !./ f ./ d : Drücken Sie V als Funktion der Fermi–Energie, "F aus. 19 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 10 1. Betrachten Sie ein System im Volumen V , das aus n Untersystem mit gleichen Volumina V =n zusammengesetzt ist. Die Trennwände sollen Teilchen und Wärmeaustausch ermöglichen, ansonsten bestehe keine Wechselwirkung zwischen den Untersystemen. Das zusammengesetzte System habe Kontakt mit einer Wärme–Teilchen–Quelle mit vorgegebener Temperatur T und vorgegebenem chemischen Potential . a) Zeigen Sie für die großkanonischen Zustandssumme Z die Relation Z.V; T; / D ŒZ.V =n; T; /n . b) Verwenden Sie das Ergebnis aus Blatt 8, Aufgabe 4, um die Zustandsgleichung in der Form pV D kT lnZ zu schreiben. 2. Betrachten Sie ein ideales Quantengas in einem Würfel der Seitenlänge L. Die Randbedingung, dass die Wellenfunktionen am Rand verschwinden, liefert die diskreten Impulse n pn .L/ der Einteilchenzustände. Bestimmen Sie daraus die Ableitung @p wobei V das @V Volumen des Würfels ist. Verifizieren Sie für ideale Bose- und Fermigase die Relationen ( 2 U .nicht relativistische Kinematik/ pV D 31 U .ultra relativistische Kinematik/ : 3 Dabei ist U die innere Energie. 3. Die Entropie pro Volumeneinheit des drei–dimensionalen idealen Bosegases im Volumen V bei Temperatur T ist ( 5k g 5 .z/ k n ln.z/ T > Tc S 23 2 s D lim D 5k V !1 V T < Tc : g 5 .1/ 23 2 P1 z l p h Dabei sind z D eˇ , g˛ .z/ D . Weiter bezeichnet n die l D1 l ˛ und D 2 mkT mittlere Teilchendichte. Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme @s ˇˇ N cV . ; T / D T ˇ V @T n am kritischen Punkt T D Tc stetig ist. Hinweis: Verwenden Sie ˇ die Bedingung, dass n bei der Berechnung von cV fest @.ˇ/ ˇ ist, um @T ˇ zu berechnen. n 20 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 11 1. Das Debye’sche Modell für einen Festkörper aus N Gitteratomen geht davon aus, dass es 3N verschiedene Hauptschwingungen !i D ~cki .i D 1; : : : ; 3N / gibt, deren spektrale R1 2 Verteilung durch 0 z.!/d! D 1 mit z.!/ D 3 !! 3 und z.!/ D 0 für ! !D bzw. D ! < !D gegeben ist. Daraus folgt 13 2N : ~!D D kD D ~c 6 V Berechnen Sie die spezifische Wärme des Debye’schen Festkörpers für die Grenzfälle T D und T D . Berechnen Sie außerdem die mittlere Phononenzahl N ph aus Z 1 d!z.!/n.!/ : N ph D 3N 0 Hinweis: Für die Debye Funktion 3 D.x/ D 3 x gilt: D.x/ D ( 1 4 5x 3 Z 0 x dt t3 et 1 2 C 20 x C ::: x C O.e / 3 x 8 1 x1 x 1: 2. Der Energiefluss der Sonne im erdnahen Weltraum für die mittlere Entfernung Erde– Sonne von a D 1:5 108 km ist durch die Solarkonstante I0 D 1:37kW=m2 gegeben. Berechnen Sie unter Voraussetzung der Planck’schen Strahlungformel a) die Temperatur der Sonne b) das Maximum der Strahlungsverteilung . 3. Berechnen Sie die mittlere Zahl von Photonen in einem Strahlungshohlraum mit dem Volumen V bei gegebener Temperatur T . 21 4. Betrachten Sie ein dispersives Material, dessen Brechungsindex n von der Frequenz ! abhängt; d.h. die Wellenzahl ist durch k D n.!/!=c gegeben. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Planck’sche Strahlungsformel durch den Faktor n3 .!/ d ln Œn.!/! d ln! modifiziert wird. 22 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 05 Blatt 12 1. In der Virialentwicklung X p N D Bi .T / kT V i !i für eine mikroskopische Zwei–Teilchen–Wechselwirkung uij D u.jE r i rE j j/ werden die Virialkoeffizienten Bi .T / über Cluster–Integrale der Form Z d 3 r1 d 3 r2 : : : f12 f23 : : : berechnet. Dabei ist fij D exp. uij =kT / 1. a) Bestimmen Sie (graphisch) alle Cluster–Integrale mit bis zu vier Teilchen. b) Verifizieren Sie, dass zu B4 .T / nur die doppelt–verbundenen (irreduziblen) Vier– Teilchen Cluster–Integrale beitragen. Literaturhinweis: L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, S 355ff. 2. Betrachten Sie ein Gas dessen Moleküle eine Zwei–Teichen–Wechselwirkung gemäß dem Potential u.r/ D ˛=r n , .n > 0/ durchführen. Dabei ist r der Abstand zweier Moleküle. Berechnen Sie den zweiten Virialkoeffizienten und diskutieren Sie den Joule– Thomson Prozess. 3. Ein einfaches Modell zur Beschreibung des Phasenübergangs zwischen Ferro– und Paramagneten einspricht einem Spin–Gitter mit nächster Nachbarwechselwirkung. Der P Hamiltonoperator lautet H D J hij i i j ; (J > 0). Die Summe läuft über alle Paare benachbarter Spins. Die Spins nehmen die Werte i D ˙1 an (i D 1; : : : ; N ). Betrachten Sie einen Repräsentanten, x , der nur mit dem mittleren Feld M D hi i, das durch die übrigen Spins (x ¤ i) erzeugt wird, wechselwirkt (mean field (MF) Näherung). Die Zahl der nächsten Nachbarn eines Spins im Spin–Gitter sei n. a) Begründen Sie, dass in MF–Näherung die Zustandssumme gegeben ist durch 0 1N X ZMF D @ exp ŒˇJM nx A : x D˙1 b) Leiten Sie aus M D hx i die Selbstkonsistenzbedingung M D tanh.ˇJM n/ für die Magnetisierung M ab. Geben Sie die Bedingung dafür an, dass es neben M D 0 eine weitere Lösung gibt. Vergleichen Sie die zugehörigen freien Energien. 23 c) Die Koheränzlänge wird definiert über die Korrelationsfunktion ji j j : hi j i / exp Zeigen Sie, dass ! 1 falls ˇ ! ˇc D 1=J n. (Betrachten Sie j als nächsten Nachbarn von i und bestimmen Sie die Korrelationsfunktion aus @ ln ZMF =@ˇ.) d) In der Nähe des Phasenübergangs verhält sich die Magnetisierung wie M M0 .1 ˇc =ˇ/ı . Bestimmen Sie M0 und den kritischen Exponenten ı aus der Selbstkonsistenzbedingung. 24 1. Klausur zur Theoretischen Physik IV - SS 05 1. Bestimmen Sie die Temperaturänderung, dT .z/=dz, für ein Teilvolumen V , das in der Atmosphäre (ideales Gas) adiabatisch aufsteigt (konstantes Schwerefeld der Stärke g), als Funktion der Höhe z. Bestimmen Sie dazu aus dem Kräftegleichgewicht die Druckänderung dp.z/=dz. (6 Punkte) 2. Die freie Enthalpie (thermodynamisches Potential) eines Gases sei a G.T; p/ D nRT ln.p/ C np b C f .T / RT mit beliebigen Konstanten a und b. Weiter ist f eine differenzierbare Funktion, die nur von der Temperatur, T nicht aber vom Druck p abhängt. a) Berechnen Sie die Entropie S.T; p/. b) Wie lautet die Zustandsgleichung p D p.V; T /? c) Berechnen Sie die Enthalpie H.T; p/. (Hinweis: Das vollständige Differential lautet dG D SdT C Vdp.) (5 Punkte) 3. Gegeben sei die Zustandsgleichung für Druck, p, Volumen, V und Temperatur T in der Form p D p.V; T / und die innere Energie U D U.V; T /. Zeigen Sie, dass die beiden Gleichungen @ p @U @V @V @U 2 D T p und DT @p T @T p @p T @V T @T T V äquivalent sind. (4 Punkte) 4. Betrachten Sie ein Material, das die van–der–Waal’sche Zustandsgleichung p.V; T / D erfüllt. 25 RT V b a V2 a) Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme cV nicht vom Volumen abhängt. b) Verifizieren RSie, dass sich die innere Energie in der Form U.V; T / D cV .T /dT C f .V / schreiben lässt und bestimmen Sie f .V /. c) Berechnen Sie die Differenz der Wärmekapazitäten cp cV . (7 Punkte) 5. Der idealisierte Ottomotor wird thermodynamisch durch nebenstehenden Kreisprozess beschrieben. Dabei laufen die Prozesse A ! B sowie C ! D adiabatisch und D ! A sowie B ! C isochor ab. Der Motor werde mit einem idealen Gas betrieben. P A D B C V a) Bestimmen Sie für jeden Teilschritt die zu– bzw. abgeführte Wärmemengen. b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad (geleistete Arbeit dividiert durch zugeführte Wärme) des idealisierten Ottomotors, O in Abhängigkeit von den Temperaturen an den Punkten A; B; C und D. c) Welche maximale und minimale Temperaturen werden von diesem System erreicht (Tmax bzw. Tmin )? d) Vergleichen Sie den Wirkungsgrad O mit dem eines Carnot-Prozesses, der zwischen Tmin und Tmax betrieben wird. (8 Punkte) 26 2. Klausur zur Theoretischen Physik IV - SS 05 1. Gegeben sei ein klassisches ideales Gas mit N Teilchen im Gleichgewicht bei der Temperatur T , das sich in einem Behälter mit dem Volumen V (Grundfläche F , Höhe h) im homogenen Gravitationsfeld g befindet. a) Geben Sie die Verteilungsfunktion N .rE 1 ; : : : rE N ; pE 1 ; : : : pE N / im Phasenraum an. z T,V b) Bestimmen Sie aus a) die Einteilchendichte n.z/ als Funktion der Höhe z. R1 c) Verifizieren Sie, dass 0 dzn.z/ D N . g (5 Punkte) 2. Betrachten Sie ein System aus zwei Teilchen, die jeweils in einem der drei Quantenzustände mit den Energien e D 0, e D 2 > 0 und e D 3 > 0 sein können. Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme für a) unterscheidbare Teilchen b) Bose–Teilchen c) Fermi–Teilchen (ohne Spin) (4 Punkte) 3. Gegeben sei das Zwei–Teilchen Potential 8̂ 1 ˆ ˆ < 3 r u.r/ D u0 1 r 0 ˆ ˆ :̂0 r R R < r 2R r > 2R : Dabei ist r der Abstand der beiden Teilchen. Weiter sind u0 und R vorgegebene Konstanten. Bestimmen Sie die Konstante r0 derart, dass das Potential bei r D 2R stetig ist. Berechnen Sie den Virialkoeffizienten bis zur linearen Ordnung in u0 . Geben Sie den zugehörigen Joule–Thomson Koeffizienten @V 1 T V JT D cp @T P 27 als Funktion der Temperatur T , der Wärmekapazität bei festgehaltenem Druck cp , der Teilchzahl N sowie den Parametern u0 , R an. (6 Punkte) 4. Ein ein–dimensionales Spin–Gitter aus N Gitterpunkten mit periodischen Randbedingungen (Gitterpunkt ’1’ Gitterpunkt ’N C 1’) wird durch die Zustandssumme # " N X X X ZN .ˇ/ D ::: exp Jˇ i iC1 1 D˙1 N D˙1 iD1 mit konstantem J > 0 und ˇ D 1=kT beschrieben. a) Berechnen Sie explizit Z1 , Z2 und Z3 . b) Begründen Sie, dass ZN D 2N coshN .Jˇ/ C sinhN .Jˇ/ . c) Was ergibt sich für T ¤ 0 und N 1? d) Berechnen Sie die spezifische Wärme für die Bedingungen aus c). Hinweis: Für beliebiges reelles ˛ gilt: e˛ i j D cosh.˛/ C i j sinh.˛/. (9 Punkte) 5. Die Zustandsdichte von Fermionen als Funktion der Einteilchenenergie sei ( !0 für 0 !./ D 0 für < 0 ; wobei !0 konstant ist. Die mittlere Gesamtzahl der Fermionen sei hN i. a) Berechnen Sie das chemische Potential bei T D 0. b) Geben Sie eine Bedingung dafür an, dass das System nicht entartet ist. c) Geben Sie die Beziehung zwischen mittlerer Teilchenzahl und chemischen Potential für den Fall starker Entartung an. d) Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme proportional zur Temperatur ist, wenn das System stark entartet ist. Hinweis: Spalten Sie ggf. Integrale in Intervalle Œ0; und Œ; 1 auf und verwenden Sie, dass 1 1=.1 C e x / D 1=.1 C e x /. (6 Punkte) 28 Nachklausur zur Theoretischen Physik IV - SS 05 1. Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator (Masse m, Frequenz !). Berechnen Sie die Zahl aller Zustände, deren Energie E kleiner oder gleich der vorgegebenen Energie E0 ist, a) klassisch (die Volumeneinheit im Phasenraum sei 2~) b) quantenmechanisch Wie lauten die zugehörigen mikrokanonischen Verteilungsfunktionen für E D E0 ? (7 Punkte) 2. Ein Zylinder mit Radius R und Länge l beinhalte N wechselwirkungsfreie Teilchen und rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! um seine Symmetrieachse. Die Hamiltonfunktion im rotierenden System lautet H D H !L, wobei H die Hamiltonfunktion im Ruhesystem und L die Projektion des Drehimpulses auf die Rotationsachse ist. a) Berechnen Sie aus H die kanonische Zustandssumme klassisch. b) Geben Sie die Teilchendichte als Funktion des Abstands von der Rotationsachse an. R1 p 2 2 Hinweis: 1 dp e p Cxp D ex =4 . (10 Punkte) 3. Die N zweiatomigen Moleküle eines Gases haben das leicht anharmonische Vibrationsspektrum " # 1 1 2 n D ~! n C ı nC ; ı 1: 2 2 a) Zeigen Sie, dass der Beitrag der Vibration zur freien Energie durch (˛ D ~!=2kT ) 1 1 1 Fvib D kT N ln C 1Cı˛ 2sinh˛ 2 sinh2 ˛ gegeben ist, wenn die kanonische Zustandssumme bis zur linearen Ordnung in ı aufsummiert wird. b) Geben Sie den Korrekturterm der linearen Ordnung in ı zur inneren Energie an und bestimmen Sie dessen Anteil an der spezifischen Wärme. Betrachten Sie speziell tiefe Temperaturen. (10 Punkte) 29 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 1 1. Sei z f .x; y/ partiell differenzierbar. Zeigen Sie, dass 1 @y @x @y @z @x D und D 1 @y z @x z @y z @z x @x y gilt. Dabei bezeichnet der Index diejenige Größe, die bei der betrachteten Differenziation konstant bleibt. 2. Sei dZ D f .X; Y /dX Cg.X; Y /dY ein beliebiges Differenzial. Die Funktionen f und g seien reell und stetig partiell differenzierbar. a) Es sei H C ein beliebiger geschlossener Weg in der X Y Ebene. Zeigen Sie, dass aus C dZ D 0 folgt, dass das Differenzial vollständig ist. H b) Das Differenzial dZ sei vollständig. Berechnen Sie C dZ. c) Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen @f .X; Y / @g.X; Y / D @Y @X erfüllen, falls das Differenzial vollständig ist. 3. Verifizieren Sie, dass die beiden Differenziale a) .3x 2 y C 2y 2 /dx C .x 3 C 4xy/dy 3 b) exCy .1 C x/ dx C 3xy 2 dy vollständig sind. Geben Sie jeweils ein zugehöriges Potential an. 4. Es sei du D f1 .x; y/dx C f2 .x; y/dy ein unvollständiges Differenzial. D. h. es gibt @u keine Funktion u.x; y/ mit @x D f1 .x; y/ und @u D f2 .x; y/. Der integrierende Faktor, @y g.x; y/ führt auf ein vollständiges Differenzial dv D gdu. a) Leiten Sie aus der Gleichung (2c) eine partielle Differenzialgleichung für g.x; y/ ab. b) Es sei g.x; y/ D cx a y b , mit a; b; c 2 R, ein Ansatz für den integrierenden Faktor für das unvollständige Differenzial du D ydx x 2 dy. Leiten Sie aus Teilaufgabe a) Bedingungen für die Konstanten a und b ab und geben Sie das zugehörige Potenzial v.x; y/ an. 30 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 2 1. Betrachten Sie ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung in der Form P V D nRT . @V Berechnen Sie den isobaren Ausdehnungskoeffizienten ˛p D V1 @T , den isochoP 1 @P ren Spannungskoeffizienten ˇV D P @T V und die isotherme Kompressibilität T D 1 @V . Schreiben Sie die jeweiligen Ergebnisse als Funktionen der ZustandsvariaV @P T blen P , V und T . Verifizieren Sie weiterhin, dass für ein beliebiges Gas die Relation ˛P D P T ˇV gilt. Hinweis: Verwenden Sie die Identitäten aus Blatt 1, Aufgabe 1. 2. Ein Gas genüge der van der Waals Zustandsgleichung a P C 2 .v b/ D RT : v Dabei sind a und b Materialkonstanten und v D Vn das Molvolumen. Bestimmen Sie die temperaturabhängigen Virialkoeffizienten B.T / und C.T / in der Entwicklung B.T / C.T / C C ::: : P v D RT 1 C v v2 Skizzieren Sie B.T / als Funktion der Tempertur T . 3. Betrachten Sie ein Gas mit der Zustandsgleichung P .v b/ D RT . Für die Materialkonstante gelte 0 < b < v bei allen für die Prozessführung relevanten Volumina V . a) Wie groß ist die Arbeit, die ein Mol Gas bei der isothermen Expansion vom Anfangsvolumen vi zum Endvolumen vf leistet? b) Ist die Arbeit, die ein ideales Gas unter den Bedingungen aus a) leistet größer oder kleiner? 4. Betrachten Sie ein ideales Gas, das die beiden in der Abbildung dargestellten Kreisprozesse C1 D .1231/ und C2 D .4564/ durchläuft. Dabei sind Ta und Tb die Temperaturen entlang der H entsprechenden H Isothermen. Zeigen Sie, dass C1 PdV D C2 PdV . Was folgt für die verbrauchten Wärmemengen? 31 1 P 2 3 4 5 6 Ta Tb V Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 3 1. Zeigen Sie, dass die über die Zustandsgleichung des idealen Gases (P V D nRg.#/) definierte Temperaturskala g.#/ identisch mit der Kelvin–Temperatur T ist. Schreiben Sie dazu den Wirkungsgrad einer mit einem idealen Gas betriebenen Carnot–Maschine als Funktion von g.#/. 2. Die unabhängigen Variablen, die ein System beschreiben, seien das Volumen V und die Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt. Zeigen Sie, dass die spezifische Wärme durch ıQ @E @E @V CX D D C CP ıT X @T V @V T @T X gegeben ist. Dabei sind E und P die innere Energie und der Druck. Verifizieren Sie damit CP D CV C nR für ein ideales Gas. 3. Bestimmen Sie aus der Konsistenzbedingung @P @E DT @V T @T V P a) die allgemeine Form der Zustandsgleichung P D f .V; T / für ein Material mit @E D0 @V T b) die allgemeine Form der inneren Energie E D e.T /V eines Materials mit der Zustandsgleichung P D 13 e.T / (d. h. e hängt nur von T ab.) Dabei bezeichnen E, V , T und P , die innere Energie, das Volumen, die Temperatur und den Druck. 4. Der idealisierte Ottomotor wird thermodynamisch durch nebenstehenden Kreisprozess beschrieben. Dabei laufen die Prozesse A ! B sowie C ! D adiabatisch und D ! A sowie B ! C isochor ab. Der Motor werde mit einem idealen Gas betrieben. 32 P A D B C V a) Bestimmen Sie für jeden Teilschritt die zu– bzw. abgeführten Wärmemengen. b) Berechnen Sie den Wirkungsgrad (geleistete Arbeit dividiert durch zugeführte Wärme) des idealisierten Ottomotors, O in Abhängigkeit von den Temperaturen an den Punkten A; B; C und D. c) Welche maximale und minimale Temperaturen werden von diesem System erreicht (Tmax bzw. Tmin )? d) Vergleichen Sie den Wirkungsgrad O mit dem eines Carnot-Prozesses, der zwischen Tmin und Tmax betrieben wird. 33 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 4 1. Betrachten Sie ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung P V D nRT und der spezifischen Wärme CV D 23 nR. Berechnen Sie a) die Entropie S D S.T; V /, b) die innere Energie E D E.S; V /, c) die Enthalpie H D H.S; P /, d) die freie Energie F D F.T; V /, e) die freie Enthalpie G D G.T; P /. Schreiben Sie dazu die Potenziale als Funktionen der zugehörigen Variablen. 2. Gehen Sie von den Differenzialen für die Enthalpie, dH D T dS C VdP , und der freien Enthalpie, dG D SdT C VdP , aus. Zeigen Sie, @S @V a) @P D @T P T @H b) @P T D T @V CV @T P 2 P D T @@TV2 c) @C @P T P Dabei ist CP die spezifische Wärme bei konstantem Druck. Berechnen Sie @2 S aus dS D T1 .dH VdP /, um die Relation in b) ohne a) herzuleiten. @T @P @2 S @P @T und 3. Von einem Gas seien die thermodynamische Zustandsgleichung in der Form P D P .T; V / und die spezifische Wärme bei konstantem Volumen (CV .T; V0 /) als Funktion der Temperatur (T ) bei einem fest vorgegebenen Volumen V0 bekannt. a) Zeigen Sie, dass damit die funktionale Abhängigkeit CV .T; V / eindeutig bestimmt ist. (Hinweis: Finden Sie eine zu 2c) analoge Beziehung für CV .) b) Ist damit das thermodynamische System vollständig charakterisiert? 34 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 5 1. Bestimmen Sie die adiabatische Kompressibilität und die Schallgeschwindigkeit eines idealen Gases: s @P 1 @V S D ; cS D V @P S @% S Dabei ist % die Massendichte des Gases. Schätzen Sie cS für Luft ( cP =cV 1:4) unter Normalbedingungen für Temperatur und Druck numerisch ab. 2. Betrachten Sie ein van–der–Waals Gas mit der Zustandsgleichung, a P C 2 .v b/ D RT v wobei v D V =n das molare Volumen ist. Verifizieren Sie folgende Resultate für die entsprechenden thermodynamischen Größen a) innere Energie: E D na v C f1 .T /, b) spezifische Wärme: CV D f2 .T /, c) Entropie: S D nR ln.v b/ C f3 .T /, d) chemisches Potenzial: D P v RT ln.v b/ a v C f4 .T /, wobei die Funktionen fi .T / nur von der Temperatur abhängen. Geben Sie Relationen / für die Ableitungen dfdi .T an. T 3. Es seien ci D ni =.n1 Cn2 / für i D 1; 2 die Konzentrationen in einem zwei–komponentigen Gasgemisch. Das chemische Potenzial der einen Komponente sei 1 D 1 .T; P / C RT ln.c1 / : Zeigen Sie, dass das chemische Potenzial der zweiten Komponente dann durch 2 D 2 .T; P / C RT ln.c2 / : gegeben ist. D.h. die Funktionen i sind unabhängig von ci . 35 4. Betrachten Sie ein Gas aus Molekülen, die drei Energiezustände annehmen können als eine Mischung von dreiP idealen Gasen (i D 0; 1; 2). Die zugehörige freie Enthalpie läßt sich in der Form G D 2iD0 ni Œki .T / RT ln.n=ni / schreiben. Dabei seien die Werte von ki .T / vorgegeben. Leiten Sie Gleichgewichtsbedingungen für die Verhältnisse n1 =n0 und n2 =n0 her. Hinweis: Bestimmen Sie das Extremum von G unter den erlaubten Variationen der ni : ın0 C ın1 C ın2 D 0. 5. Der Druck eines Schlittschuhs auf dem Eis erzeugt eine Gefrierpunkterniedrigung. Reicht dieser Effekt aus, um einen Wasserfilm zu erzeugen, auf dem der Schlittschuh gleitet? Der Eisläufer hat die Masse 80 kg, und seine Schlittschuhe liegen jeweils auf einer Länge 10 cm und einer Breite 4 mm auf. Berechnen Sie damit die Gefrierpunkterniedrigung, die sich aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung ergibt. Vernachlässigen Sie zur Vereinfachung die Temperatur und Druckabhängigkeiten der Schmelzwärme sowie der molaren Volumina von Wasser und Eis. 36 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 6 1. Bestimmen Sie den thermischen Expansionskoeffizienten 1 @vd ˛d D vd @T koex für ein Gas, das mit seiner flüssigen Phase koexistiert. Dabei ist vd .T; P / das Molvolumen des Gases, das in diesem Zusammenhang auch Dampf (Index d) genannt wird. Der Dampf wird als ideales Gas behandelt. Das Molvolumen der Flüssigkeit kann gegenüber dem des Gases vernachlässigt werden. 2. Betrachten Sie ein Gas, das durch die Dieterici–Zustandsgleichung ˛ P .v ˇ/ exp D RT vRT beschrieben wird. Bestimmen Sie die kritischen Größen TC , PC und vC als Funktionen der Konstanten ˛, ˇ und R. Schreiben Sie die Dieterici–Zustandsgleichung in den dimensionslosen Variablen v D v=vC , P D P=PC und T D T =TC . Skizzieren Sie einige Isothermen im P v Diagramm. 3. Ein ideales Spin–System besteht aus N unabhängigen Spin–1=2 Teilchen (z.B. Elektronen) mit dem magnetischen Moment B . Die Spins stellen sich in einem homogenen Magnetfeld der Stärke B ein. Die freie Energie sei aus der statistischen Mechanik bekannt: B B F.T; B/ D N kB T ln 2cosh : kB T Berechnen Sie die Magnetisierung M und die Entropie S . Betrachten Sie die Grenzfälle T ! 0 und T ! 1. Anfangs sei die Temperatur des Systems gleich Ta und das Feld gleich Ba. Anschließend wird das Feld im thermisch isolierten System langsam abgeschaltet; wegen der internen Wechselwirkung der Spins bleibt faktisch ein schwaches Feld Bb bestehen. Welche Temperatur Tb stellt sich dann ein? Skizzieren Sie die Entropie als Funktion der Temperatur für zwei verschiedene Werte (Ba und Bb ) des Magnetfelds. 37 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 7 1. Die Funktion f .E/ D E N mit N D O.1024 / soll um E D E0 in eine Taylor–Reihe entwickelt werden. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Term 1.–Ordnung klein gegenüber dem Term 0.–Ordnung ist? Wie lautet die analoge Bedingung für die Entwicklung von lnf .E/? 2. Gegeben sei die Verteilungsfunktion PN .x/ D für x 0. a) Überprüfen Sie R1 0 1 N x e N! x dxPN .x/ D 1. b) Berechnen Sie hxi, hx 2 i und x. Zeigen Sie, dass die Verteilung im Grenzfall N ! 1 scharf wird, d.h. limN !1 x=hxi D 0. c) Entwickeln Sie den Logarithmus der Verteilungsfunktion, lnPN .x/ um den Mittelwert, hxi, d.h. in y D x hxi. Der relevante Bereich einer scharfen Verteilung (in dem diese signifikant von Null verschieden ist) wird durch die Breite charakterisiert: jx hxij . x. Zeigen Sie, dass für N ! 1 im relevanten Bereich nur die Beiträge der Ordnungen y 0 und y 2 in der Taylor–Reihe von Null verschieden sind. Damit wird PN .x/ zu einer Normalverteilung. p d) Subsitutieren Sie im Vergleich mit einer Normalverteilung ( D x 2 ) lnPN .y/ D y2 2 2 1 ln 2 2 2 die Ergebnisse aus b) und c), um die Stirlingsche Formel N p N N ! 2N e zu begründen. 3. Betrachten Sie die Binomialverteilung PN .n/ D N! pn q N .N n/!n! im Grenzfall N ! 1 bei festem p und q D 1 38 p. n a) Entwickeln Sie den Logarithmus der Binomialverteilung lnPN .n/ um den Mittelwert hni D Np bis zur quadratischen Ordnung in D n hni. Setzen Sie dazu n D Np C und N n D N q C und verwenden Sie die Stirlingsche Formel aus Aufgabe 2. b) Untersuchen Sie den relevanten Bereich der Verteilung in (vgl. Aufgabe 2c)). Warum verschindet für N ! 1 dort der lineare Term in der quadratische aber nicht? Wie lautet demnach die Verteilungsfunktion in diesem Grenzfall (Normalverteilung)? Wie ist diese Verteilungsfunktion normiert? 4. Betrachten Sie eine n–dimensionale Kugel mit dem Radius R. Das infinitesimale Volumenelement lässt sich in Kugelkoordinaten schreiben als d n xqD dx1 dx2 : : : dxn D d˝n r n 1 dr. Dabei ist d˝n das Raumwinkelelement und r D diale Abstand vom Zentrum. x12 C : : : C xn2 der ra- a) Zeigen Sie für das Raumwinkelintegral Z n n=2 : . 2n C 1/ d˝n D Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist .n C 1/ D n! und für beliebige Argumente gilt die Integraldarstellung Z 1 e t t x 1 dt : .x/ D 0 R1 2 2 2 Hinweis: Berechnen Sie 1 d n x e x1 x2 ::: xn in sphärischen und kartesischen Koordinaten. R b) Berechnen Sie das Volumen der n–dimensionalen Kugel: Vn D r R d n x. 5. Verifizieren Sie für die Mittelwerte der Maxwell–Verteilung, dass r 8 kB T 3kB T hvi D und hv 2 i D : m m Betrachten Sie Luft bei Zimmertemperatur und vergleichen Sie die Werte hvi und mit der Position des Maximums vmax der Maxwell–Verteilung. 39 p hv 2 i Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 8 1. Die Energieeigenwerte eines harmonischen Oszillators der Kreisfrequenz ! lauten n D n C 12 ~!. Betrachten Sie nun ein System aus N unabhängigen Oszillatoren. Der Mikrozustand des Gesamtsystems ist dann durch den Satz von Quantenzahlen r D .n1 ; n2 ; : : : ; nN / festgelegt. a) Zeigen Sie, dass für die Anzahl der Mikrozustände ˚.E/ mit Er E bei vorgegebenem E N X E N n M D int ~! 2 D0 gilt (hier bezeichnet “int” den ganzzahligen Anteil). Berechnen Sie ˚.E/ für N 1 und M 1. Verifizieren Sie für die mikrokanonische Zustandssumme, dass ˝.E/ D ˚.E/ ˚.E E/ ˚.E/ falls E ~!. P Hinweis: Überzeugen Sie sich zunächst, dass es zu einem festem m D N D0 n .N 1Cm/! Wm D .N 1/!m! Mikrozustände gibt. Verwenden Sie weiter die IdentiP .N CM /! .N 1Cm/! tät M mD0 .N 1/!m! D N !M ! und die Strilingsche Formel. b Berechnen Sie die Entropie S.E/ und die kalorische Zustandsgleichung E D E.T /. c) Berechnen Sie die Wärmekapazität C.T / D dE.T / . dT 2. Für ein System aus N identischen nichtwechselwirkenden Teilchen gilt (ggf. abgesehen von einem Faktor 1=N !): Z D z N . Dabei ist z die kanonische Zustandssumme des Teilsystems. a) Wie lautet die freie Energie und die kalorische Zustandsgleichung für das Gesamtsystem? b) Das Gesamtsystem besteht aus N unabhängigen Spin– 12 Teilchen mit dem magnetischen Moment B . Wird ein homogenes Magnetfeld der Stärke B eingeschaltet, ändert sich die Einteilchenenergie um ˙B B, je nach Spinorientierung. Berechnen Sie den magnetfeldabhängigen Teil der freien Energie des Gesamtsystems. d) Das Gesamtsystem bestehe aus N unabhängigen quantenmechanischen harmoni 1 schen Oszillatoren mit den Energieniveaus n D ~! n C 2 . Summieren Sie zunächst die Zustandsumme eines Oszillators als geometrische Reihe auf. Berechnen Sie daraus die freie Energie und die kalorische Zustandsgleichung für das Gesamtsystem. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1b). 40 3. Die kanonische Zustandssumme eines einatomigen idealen Gases mit N Teilchen im Volumen V ist s 2~2 1 VN mit D : Z.T; V; N / D N ! 3N mkB T a) Berechnen Sie die freie Energie mit Hilfe der Stirlingschen Formel. b) Betrachen Sie das System als zusammengesetzt aus zwei gleichen Teilsystemen mit den Teilchenzahlen N=2 und Volumina V =2. Berechnen Sie die freie Energie dieses zusammengesetzten Systems. c) Wiederholen Sie die Rechnungen aus a) und b) für die (falsche) Zustandssumme N Z .T; V; N / D V3N (Gibbs–Paradoxon). 41 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 9 1. Ein beliebiger Makrozustand wird durch die Wahrscheinlichkeiten PfPr g der möglichen Mikrozustände beschrieben und hat die Entropie S.Pr / D kB r Pr ln.Pr /. Zeigen Sie, dass diese Definition für die mikrokanonische Gesamtheit mit S D kB ln˝ übereinstimmt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten des kanonischen Makrozustands aus der Forderung S.Pr / kB 1 X Pr 2 X Pr Er r r ! maximal : Dabei sind 1 und 2 Lagrange–Multiplikatoren, die die Nebenbedingungen X X Pr D 1 und Pr Er D E r r erzwingen. Der Lagrange–Multiplikator1 geht in die Normierung ein. Bestimmen Sie @S D T1 . den Lagrange–Multiplikator 2 aus @E V;N 2. Stellen Sie, ausgehend von der kanonischenp Zustandssumme für das einatomige ideale 3 N Gas Z.T; V; N / D .V = / mit D 2~= 2 mkB T , die großkanonische Zustandssumme Y .T; V; / auf. Leiten Sie daraus die kalorische und die thermische Zustandsgleichungen ab. 3. Die Energien der Vibrationszustände eines zweiatomigen Moleküls enthalten anharmonische Korrekturen, die durch die Konstante ı 1 parameterisiert werden: " # 1 1 2 n D ~! n C ı nC : 2 2 Berechnen Sie den Vibrationsanteil der kanonischen Zustandssumme bis zur linearen Ordnung in ı und geben Sie die entsprechende Wärmekapazität an. Betrachten Sie die Spezialfälle kB T ~! und kB T ~!. Hinweis: Bringen Sie die gesuchten Beiträge der Zustandsumme in die Form " # X @2 X x .nC 1 / 1 2 x .nC 21 / 2 D 1 C ıx 2 1 C ıx n C e e 2 @x n n mit x D ˇ~!, um die letzte Summe als geometrische Reihe zu behandeln. 42 4. Summen über ganzzahlige Variable () können mittels der Eulerschen Summenformel n X D1 f ./ D Z 1 n X B2m h 1 dxf .x/ C Œf .1/ C f .n/ C f .2m 2 .2m/! 1/ .n/ mD1 f .2m 1/ .1/ i in Integrationen überführt werden. Dabei bezeichnet f .m/ die m–te Ableitung der Funktion f .x/ und B2m sind die bekannten Bernullizahlen 1 B2 D ; 6 B4 D 1 ; 30 B6 D 1 ; 42 a) Verwenden Sie die Eulersche Summenformel für lnN ! D dass für große N N p N N! D c N e ::: : PN lnn, um zu zeigen, nD1 gilt. Dabei ist c eine p von N unabhängige Konstante. (Der Wert c D 2 in der Stirlingschen Näherung ergibt sich in der Eulerschen Summenformel aus den Beiträgen von f .m/.1/, vgl. Königsberg, Analysis I, S. 227.) b) Für ein zweiatomiges Molekül ist der Rotationsanteil für die kanonische Zustandssumme durch 1 X ~2 ˇ zrot D .2` C 1/e 2I `.`C1/ `D0 gegeben. Dabei ist ˇ D 1=kB T und I das Trägheitsmoment des Moleküls (Hantel). Überzeugen Sie sich, dass die Eulersche Summenformel eine Hochtemperaturentwicklung für zrot ermöglicht und zeigen Sie, dass zrot D 1 ~2 =2I kB T C C C ::: : ~2 =2I 3 15kB T Berechnen Sie die zugehörige spezifische Wärme. 43 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 10 1. Betrachten Sie ein ideales Gas, das aus N Molekülen mit konstanten elektrischen DiE D dEcos polmomenten jdEj besteht. Die Dipole mit der potentiellen Energie dE E E entsprechend der kanonischen Verorientieren sich im homogenen elektrischen Feld E E j. Ignorieren Sie dabei teilung. Berechnen Sie die freie Energie F.T; E; N / mit E D jE die Translationsbewegung der Moleküle. Zeigen Sie damit, dass die Polarisierung durch Ed kB T P D Nd coth kB T Ed gegeben ist. Geben Sie weiterhin die dielektrische Konstante des Gases D1C 4P V im Grenzfall Ed kB T an. 2. Ein realistischer Ansatz für die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen ist das Lennard– Jones Potenzial 12 6 W .r/ D 4W0 : r r Der attraktive 1=r 6 Beitrag entspricht der induzierten Dipol–Dipol Wechselwirkung und der 1=r 12 Anteil ist eine phänomenologische Parametersierung der starken Repulsion bei kleinen Abständen. Für 4 He sind W0 D 10:2kB K und D 3:61 10 10 m realistische Werte. Skizzieren Sie das Potenzial und geben Sie die Extremalwerte an. Berechnen Sie den Viralkoeffizienten B.T / unter der Näherung, dass ˇW 1 im attraktiven Bereich und exp. ˇW / D 0 für r . Bestimmen Sie die Konstanten a und b in der van der Waals Zustandsgleichung. 3. Drei Teilchen befinden sich in zwei Niveaus (Energieeigenwerte 0 D 0 und 1 D > 0). Berechnen Sie die Zustandssumme für die Fälle, dass a) die Teilchen unterscheidbar sind b) es sich um Bosonen mit Spin S D 0 handelt c) es sich um Fermionen mit Spin S D 1 2 handelt d) es sich um ”unrealistische Fermionen” mit Spin S D 1 handelt. 44 4. Betrachten Sie ein ideales Quantengas in einem Würfel der Seitenlänge L. Die Randbedingung, dass die Wellenfunktionen am Rand verschwinden, liefert die diskreten Impulse i wobei V D L3 pi .L/ der Einteilchenzustände. Bestimmen Sie daraus die Ableitung @p @V das Volumen des Würfels ist. Verifizieren Sie für ideale Bose- und Fermigase die Relationen ( 2 E .nicht relativistische Kinematik/ P V D 31 E .ultra relativistische Kinematik/ : 3 Dabei ist E die innere Energie und P der Druck. 45 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 11 1. Betrachten Sie ein hochrelativistisches ideales Fermigas mit den Einteilchenenergien D cp. Bestimmen Sie für diesen Fall den Fermiimpuls und die Fermienergie. Welche Energie und welchen Druck hat das Gas für T D 0? 2. Gewisse Halbleiter besitzen bei T D 0 ein vollständig mit Elektronen gefülltes Band (Valenzband) und ein leeres Leitungsband. Zwischen diesen Bändern besteht eine Energielücke . Für T > 0 werden Elektronen aus dem Valenzband gelöst und gelangen in das Leitungsband. n (ε) 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 T=0 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 Valenz− 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 band 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0 1 00000000000001 1111111111111 0 0 1 0 1 0 1 "F 111111111 000000000 000000000 111111111 Leitungs− 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 band 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 0111111111 1 000000000 0 1 0 1 0 1 0 1 "F +∆ " Die Dispersionsrelationen mit einer effektiven Elektronenmasse m 2 2 pE pE .Valenzband/ und D F C C .Leitungsband/ D F 2m 2m seien gegeben. Berechnen Sie die Teilchenzahl für T D 0 und T > 0. Zeigen Sie, dass der Vergleich das chemische Potenzial zu D F C 2 bestimmt. Berechnen Sie weiterhin die Anzahl der Elektronen im Leitungsband für kB T . Hinweis: Die Teilchenzahl ist konstant und in der Differenz der Ausdrücke für T D 0 und T > 0 kann die obere Grenze des Impulsintegrals für das Valenzband unendlich gesetzt werden. Wieso? 3. Zeigen Sie, dass es in einem idealen Bosegas in zwei Raumdimensionen keine Bosekondensation gibt. Betrachten Sie dazu die mittlere Teilchenzahl N als Funktion des chemischen Potenzials und diskutieren Sie, dass (im Gegensatz zu drei Raumdimensionen) ! 0 auch T ! 0 erfordert. 4. Die verallgemeinterte Riemannsche –Funktion ist über die unendliche Reihe g .y/ D 1 X yn nD1 n für jyj 1 und halbzahlige D 23 ; 2; 25 ; 3; : : : definiert. a) Zeigen Sie, dass Z 1 1 x 1 g .y/ D dx x ./ 0 e =y 1 indem Sie den Nenner des Integranden als geometrische Reihe schreiben. Die Funktion wurde bereits in Aufgabe 2 von Blatt 7 definiert. 46 – b) Die Riemannsche –Funktion ergibt sich als D g .1/; also 3 2:612, 2 D 2 4 90 2 6 1:645, 5 1:341, 3 1:202, 3 1:127 und 4 D 1:082. Zeigen 2 2 Sie, dass 1 sowie 1 divergieren und überprüfen Sie 4 numerisch. 2 47 Übungen zur Theoretischen Physik IV - SS 06 Blatt 12 1. Berechnen Sie das Maximum der Planckschen Strahlungsverteilung u./ D 8 3 .2~c/3 eˇ 1 : Die resultierende transzendente Gleichung können Sie graphisch oder numerisch mittels Iteration lösen. 2. Der Energiefluss der Sonnenstrahlung im erdnahen Weltraum ist durch die Solarkonstante I0 D 1:37kW=m2 gegeben. Berechnen Sie mit der Planckschen Strahlungformel die Temperatur an der Sonnenoberfäche (Sonnenradius: Rˇ 7 105 km, Entfernung Erde–Sonne: a 1:5 108 km). 3. Betrachten Sie N nicht miteinander wechselwirkende Spin–J Teilchen, die sich im homogenen Magnetfeld BE befinden. Die Einteilchenenergien sind m D gB Bm mit m D J; J C 1; : : : ; J 1; J : E Dabei sind g der gyromagnetische Faktor, B das Bohrsche Magneton und B D jBj. Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme (geometrische Reihe), die freie Energie F.T; B/ und die Magntisierung M.T; B/. Diskutieren Sie die Grenzfälle ˛ D ˇgB B ! 0 (d.h. B ! 0 oder T ! 1) und ˛ ! 1 (B ! 1 oder T ! 0). 4. Ein ein–dimensionales Spin–Gitter aus N Gitterpunkten mit periodischen Randbedingungen (Gitterpunkt ’1’ Gitterpunkt ’N C 1’) wird durch die Zustandssumme " # N X X X ZN .ˇ/ D ::: exp Jˇ i iC1 1 D˙1 N D˙1 iD1 mit konstantem J > 0 und ˇ D 1=kB T beschrieben. a) Berechnen Sie explizit Z1 , Z2 und Z3 . b) Begründen Sie, dass ZN D 2N coshN .Jˇ/ C sinhN .Jˇ/ . c) Was ergibt sich für T ¤ 0 und N 1? d) Berechnen Sie die spezifische Wärme für die Bedingungen aus c). Hinweis: Für beliebiges reelles ˛ gilt: e˛ i j D cosh.˛/ C i j sinh.˛/. 48 1. Klausur zur Theoretischen Physik IV - SS 06 1. Ein ideales Gas werde von .P1 ; V1 ; T1 / nach .P2 ; V2 ; T2 / geführt. Die Zustandsänderung D a dVV mit einer sei derart, dass Druck– und Volumenänderung die Relation dP P Konstanten a erfüllen. Berechnen Sie P .V /, V .T / und die Wärmekapazität Ca D Was ergibt sich in den Grenzfällen a D 0 und a ! 1? d—Q . dT a (6 Punkte) 2. Für ein Gas seien der isobare Ausdehnungskoeffizient ˛P und die isotherme Kompressibilität T bekannt: 1 @V 1 b2 ˛P D D 1C V @T P T V T2 1 @V 1 a2 T D D 1C : V @P T P VT2 Welche Beziehung müssen die Konstanten a und b erfüllen, damit eine Zustandsgleichung der Form V .T; P / existiert? Geben Sie V .T; P / für diesen Fall an. Hinweis: Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, zunächst die partielle Differenzialgleichung, die T enthält, mittels Separation der Variablen zu integrieren. (6 Punkte) T 3. Ein ideales Gas durchlaufe den in der Abbildung skizzierten Kreisprozess im T S Diagramm. Geben Sie den Wirkungsgrad einer so betriebenen Wärmekraftmaschine als Funktion der Temperaturen T1 und T2 an. T 2 T 1 S1 S2 S (3 Punkte) 4. Ein Gas, dessen spezifische Wärme bei konstantem Volumen (CV ) unabhängig von der Temperatur sei, genüge der van der Waals Zustandsgleichung .P C a=v 2 /.v b/ D RT . Dabei ist v D V =n das molare Volumen. Zeigen Sie, a) die spezifische Wärme, CV , ist eine Konstante, b) die innere Energie lässt sich als E D CV T 49 n2 a=V C const: schreiben, c) bei adiabatischen Zustandsänderungen bleibt .P C a=v 2 /.v nR=CV erhalten. b/ mit D 1 C (5 Punkte) 5. Für die Dampfdruckkurve gilt zunächst fl .P; T / D g .P; T /. In der flüssigen Phase (Wasser) sei nun ein Salz mit der Konzentration c 1 gelöst. Die Gleichgewichtsbedingung lautet dann fl .P P; T C T / D g .P; T C T / ; wobei P durch das van’t Hoffsche Gesetz gegeben ist. Entwickeln Sie diese Bedingung bis zur linearen Ordnung in P und T und berechnen Sie die Siedepunktserhöhung T . Warum führt eine Salzlösung beim Gefrieren zu einer Gefrierpunktserniedrigung? (5 Punkte) 50 2. Klausur zur Theoretischen Physik IV - SS 06 1. Wie lauten die Energiemittelwerte hEr i und hEr2 i in der kanonischen Gesamtheit? Zeigen Sie, dass für die Standardabweichung der inneren Energie die Relation .E/2 D h.Er hEr i/2 i D kB T 2 CV unabhängig von der Wechselwirkung gilt. Dabei sind T die absolute Temperatur und CV die Wärmekapazität bei festem Volumen. (6 Punkte) 2. Ein Kettenmolekül bestehe aus N Elementen. Jedes dieser Elemente kann mit der Energie angregt werden, was zu einer Verlängerung der Kette um a führt. a) Die Anzahl der Kettenglieder in einem angeregten Zustand sei n mit 0 n N . Wieviele Mikrozustände gibt es zum gleichen n? Wie lauten die zugehörigen Energien En und Längen Ln ? b) Durch äußere Kräfte entsteht im Kettenmolekül die Spannung X und die Energien der Mikrozustände lauten dann En .X / D En LnX . Bestimmen Sie die Zustandssumme Z.T; X; N /. Hinweis: Bringen Sie die Summanden auf eine binomische Form. c) Wie groß ist die mittlere Verlängerung L D hLn i bei vorgegebener Spannung X . Diskutieren Sie die Grenzfälle T ! 0 und T ! 1. (6 Punkte) 3. Betrachten Sie ein ideales System, dessen Einteilchenzustände zur Energie j j –fach entartet sind. Der Mikrozustand des gesamten Systems kann durch die Besetzungszahlen nj charakterisiert werden. Begründen Sie, dass die Anzahl der möglichen Mikrozustände zu einem festen Satz fnj g je nach Teilchenstatistik durch ˝.fnj g/ D ˝.fnj g/ D Y .nj C j 1/! nj !.j 1/! j Y j ! j nj !.j nj /! .Bose Einstein .Fermi Dirac Statistik/ ; Statistik/ : gegeben ist. Geben Sie die wahrscheinlichste Konfiguration unter den Nebenbedingungen an, dass die mittlere Gesamtenergie E und die mittlere Teilchenzahl N vorgegeben sind. Zeigen Sie, dass die Besetzungszahlen für die wahrscheinlichste Konfiguration in der Form j hnj i D ˇ. / e j ˙1 51 geschrieben werden können. Geben Sie die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ˇ und an. Hinweis: Führen Sie geeignete Lagrange–Multiplikatoren ein und bestimmen Sie das Maximum von ln ˝ mit Hilfe der Stirlingschen Formel. (7 Punkte) 4. Betrachten Sie optische Phononen mit der Zustandsdichte z./ D ı. E /. Dabei ist E fest vorgegeben. Berechnen Sie die innere Energie E und die spezifische Wärme cV .T / für kB T E und kB T E . Skizzieren Sie cV .T /. (6 Punkte) 52 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 1 1. Gegeben sei die Funktion f .x; y/ D x 2 y 3 mit x.t / D sin t , y.t / D 12 t 2 und t 2 R. Damit wird die Funktion F.t / D f .x.t /; y.t // definiert. Vergleichen Sie dF.t/ mit dt @f dx @f dy C @y dt . @x dt 2. Betrachten Sie die partiell differenzierbare Funktion z D f .x; y/. Zeigen Sie, daß 1 @x @y @x @y @z D und D 1: @y z @x z @y z @z x @x y gilt. Dabei bezeichnet der Index diejenige Größe, die bei der betrachteten Differentiation konstant bleibt. 3. Sei dZ D f .X; Y /dX C g.X; Y /dY ein beliebiges Differential. Die Funktionen f und g seien reell und stetig partiell differenzierbar. a) Es sei H C ein beliebiger geschlossener Weg in der X Y Ebene. Zeigen Sie, dass aus C dZ D 0 folgt, dass das Differential vollständig ist. H b) Das Differential dZ sei vollständig. Berechnen Sie C dZ. c) Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen @g.X; Y / @f .X; Y / D @Y @X erfüllen, falls das Differential vollständig ist. 4. Gegeben seien die beiden Differentiale i) .3x 2 y C 3y 2 /dx C .x 3 C 6xy/dy und 2 ii) exCy Œ.1 C x/ dx C 2xydy . Zeigen Sie, dass die beiden Differentiale vollständig sind. Bestimmen Sie jeweils das zugehörige Potential. 5. Es sei du D f1 .x; y/dx C f2 .x; y/dy ein unvollständiges Differential, d. h. es gibt @u @u keine Funktion u.x; y/ mit @x D f1 .x; y/ und @y D f2 .x; y/. Der integrierende Faktor, g.x; y/ führt auf ein vollständiges Differential dv D gdu. a) Leiten Sie aus der Gleichung aus Teilaufgabe 2c eine partielle Differentialgleichung für g.x; y/ ab. 53 b) Es sei g.x; y/ D cx a y b , mit a; b; c 2 R, ein Ansatz für den integrierenden Faktor für das unvollständige Differential du D ydx xdy. Leiten Sie aus Teilaufgabe 5a eine Beziehung zwischen a und b her. 54 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Aus df D @f @f dx C dy @x @y folgt @f dx @f dy df D C dt @x dt @y dt 3 2 2 D 2xy cos t C 3x y t D 2 sin t D 1 3 sin 2t t 6 C sin2 t t 5 ; 8 4 1 2 t 2 3 2 cos t C 3 sin t 1 2 t 2 2 t darin wurde 2 sin cos D sin 2 verwendet. Einsetzen von x.t / und y.t / in f .x; y/ ergibt 2 F.t / D sin t 1 2 t 2 3 1 2 6 sin t t ; 8 D damit folgt nach Kettenregel dF 2 6 1 3 D sin t cos t t 6 C sin2 t t 5 D sin 2t t 6 C sin2 t t 5 : dt 8 8 8 4 Aufgabe 2 Es gilt @f @f dz D dx C dy D @x @y Mit dz D 0 folgt fy @x und D @y z fx somit 1 @x @y D @y z @x z @z @x @y @x y z dx C D @z @y x fx ; fy 55 dy D fx dx C fy dy : Schließlich mit 1 1 @z @y D D @z x @y x fy und ergibt sich @x @y @z D @y z @z x @x y @z @x y D fx fy 1 fx D 1 fx fy Alternativ: Mit x D x.y; z/ und y D y.x; z/ folgt @x @x dy C dz ; @y @z @x @x dy C dz ; dy D @y @z dx D daraus berechnet man für z D const: ; dz D 0, dx dy dy dx D . @x / @y z @y D . @x /z ) @x @y z D @y @x 1 : z Es gilt x D x.y; z/, y D y.x; z/ und z D z.x; y/, damit kann eine neue Funktion g.x; y; z/ gebildet werden, für die g.x; y; z/ D 0 gilt. Das totale Differential dieser Funktion lautet @g @g @g dx C dy C dz D 0 : @x y;z @y x;z @z x;y Für x D const: ; dx D 0 ergibt sich daraus, @g @y @g @y D ) D @y x;z @z x @z x;y @z x @g @z Analog für y D const: ; dy D 0, @z @g @z @g D ) D @z x;y @x y @x y;z @x y @g @x und für z D const: ; dz D 0, @g @x @g @x D ) D @x y;z @y z @y x;z @y z 56 @g @y x;y y;z x;z @g @y : x;z @g @z @g @x x;y y;z : Multiplikation der drei Gleichungen führt auf " # @y @z @g @g @g @x D @y z @z x @x y @y x;z @z x;y @x y;z " # @g @g @g @x y;z @y x;z @x y;z 1 Aufgabe 3 Ein Ausdruck der Form A.x; y/dx C B.x; y/dy mit beliebigen Funktionen A.x; y/ und B.x; y/ gilt Definition: vollständiges Differential A.x; y/dx C B.x; y/dy ist vollständiges Differential ! @A @y x D @B @x : Z dZ : y a) Der geschlossene Weg C werde in zwei Teilwege C1 und C2 zerlegt. Y 2 Y2 C2 Y1 1 C1 X1 Es gilt I.C / D X2 H dZ D 0, damit folgt Z 0 D I.C / D I.C1 / I.C2 / D dZ Z C1 dZ C2 ) X Z C1 dZ D C2 Das Integral hängt nur von den Enpunkten .X1 ; Y1 / und .X2 ; Y2 / ab, d.h. es existiert ein Potential Z.X; Y / mit Z .X2 ;Y2/ dZ D Z.X2 ; Y2 / Z.X1 ; Y1 / ; .X1 ;Y1 / @Z.X; Y / D f .X; Y / ; @X @Z.X; Y / D g.X; Y / : @Y 57 R b) Das Differential dZ sei vollständig. Das Integral kann in der Form I D C d rE VE mit VE D f eEX C g eEY geschrieben werden. Für das Wegelement d rE gilt dann d rE D dX eEX C dY eEY . Z 2 Z 2 I Z @f @g ; 0 D I.C1 / I.C2 / D d rE VE d rE VE D d rE VE D dA @X @Y 1;C1 1;C2 A dabei wurde im letzten Schritt der Stokessche Satz I Z d rE VE D d AE rot VE A verwendet. Aus der Gleichung liest man sofort @g @f @Y @X H für dZ D 0 ab, dabei ist zu beachten, dass die Fläche A beliebig ist. Das Differential dZ ist somit vollständig. c) Die Funktion Z.X; Y / ist zweimal differenzierbar, d.h. @2 Z.X; Y / @2 Z.X; Y / D ; @X @Y @Y @X mit dZ D f .X; Y /dX C g.X; Y /dY folgt @f .X; Y / @g.X; Y / D : @Y @X Aufgabe 4 i) Mit A.x; y/dx C B.x; y/dy und @y A D @x B folgt A.x; y/ D 3x 2 y C 3y 2 ) @y A.x; y/ D 3x 2 C 6y ; B.x; y/ D x 3 C 6xy ) @x B.x; y/ D 3x 2 C 6y : Das Differential ist somit vollständig. Ist A.x; y/ die Kraftkomponente in x-Richtung und B.x; y/ die Kraftrichtung in y-Richtung, dann gilt für das Potential U.x; y/, Z U.x; y/ D dx A.x; y/ C G.y/ Z D dx 3x 2 y C 3y 2 C G.y/ D x 3 y C 3xy 2 C G.y/ : 58 Mit @U.x; y/=@y D @U.x; y/ D x3 @y B.x; y/ folgt 6xy C dG.y/ D B.x; y/ dy D x 3 6xy ; d.h. dG.y/=dy D 0 und somit G.y/ D const: O. B. d. A. kann die Konstante null gesetzt werden. Das Potential lautet somit U.x; y/ D .x 3 y C 3xy 2 / : ii) Es gilt 2 2 A.x; y/ D e xCy .1 C x/ ) @y A.x; y/ D 2ye xCy ; 2 2 2 2 B.x; y/ D 2xye xCy ) @x B.x; y/ D 2xye xCy C 2ye xCy D 2ye xCy .1 C x/ ; das Differential ist damit vollständig. Aus Z Z 2 U.x; y/ D dy B.x; y/CH.x/ D dy 2xye xCy CH.x/ D 2 xe xCy CH.x/ ; folgt mit @U.x; y/ 2 D e xCy @x 2 xe xCy C dH.x/ D dx D 2 dH.x/ dx xCy 2 e .1 C x/ ; e xCy .1 C x/ C A.x; y/ D somit dH.x/=dx D 0, d.h. H.x/ D const: Das zugehörige Potential ist U.x; y/ D 2 xe xCy : Aufgabe 5 a) Aus Teilaufgabe 5c folgt, dass für die Vollständigkeit des Integrals @y f1 .x; y/ D @x f2 .x; y/ gelten muss. Mit dem integrierenden Faktor g.x; y/ folgt @ @ f1 .x; y/ g.x; y/ f2 .x; y/ g.x; y/ @y @x D f1 @y g C g @y f1 f2 @x g g @x f2 D f1 @y g f2 @x g C g @y f1 @y f2 : 0D 59 b) Für den integrierenden Faktor g.x; y/ folgt @ cx a y b D cax a 1 y b ; @x @ cx a y b D cbx a y b 1 : @y g.x; y/ D @y @x g.x; y/ D Für das Differential du D ydx @y f1 D 1 xdy ist f1 D y und f2 D x, somit und@x f2 D 1 : Eingesetzt ergibt 0 D ycbx a y b ) bD 1 C xcax a 1 y b C g.1 C 1/ D cbx a y b C cax a y b D c Œ.a C b/ C 2 x a y b ; .2 C a/ : 60 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 2 1. Betrachten Sie eine Funktion f .x; y/ die von zwei reellen Variablen x; y 2 R abhängig ist und die Eigenschaft f .x; y/ D f .x; z/ f .z; y/ besitzt. a) Zeigen Sie, dass die Differentiation nach z 1 @f .x; z/ D f .x; z/ @z 1 @f .z; y/ f .z; y/ @z ergibt. Was schließen Sie daraus für die funktionale Abhängigkeit der Ausdrücke? b) Integrieren Sie mit dieser Abhängigkeit die partielle Differentialgleichung aus Teilaufgabe 1a, um zu zeigen Sie, dass f .x; y/ D '.y/ '.x/ gilt. Dabei ist ' eine (unbekannte) Funktion von nur einer Variablen. 2. Ein Modell zur Beschreibung für reale Gase ist das van der Waalssche Gas. Die Zustandsgleichung in diesem Modell ist gegeben durch a p C 2 .v b/ D R# ; v mit a als dem Kohäsionsdruck, b als dem Kovolumen und v D Vn als dem Molvolumen. Die Parameter a und b sind Materialkonstanten. Die Temperatur T des idealen Gasthermometers ist definiert vermöge T WD 1 lim .pv/ : R p!0 Zeigen Sie, dass # T gilt. 3. Ein Gas werde von .p1 ; V1 ; T1 / nach .p2 ; V2 ; T2 / geführt. Die Zustandsänderung sei derart, dass Druck- und Volumenänderung die Relation dV dp D a p V 61 mit einer positiven Konstanten a erfüllen. Berechnen Sie die von dem Gas geleistete Arbeit Z 2 W D dV p : 1 4. Ein System werde beschrieben durch die beiden unabhängigen Variaben Volumen V und Temperatur T . Diesem System wird die Wärmemenge ıQ zugeführt, wobei sich die Temperatur um ıT ändert, aber die Zustandsgröße X.V; T / unverändert bleibt. a) Zeigen Sie mit dem ersten Hauptsatz, dass die spezifische Wärme durch @E @E @V ıQ D C Cp CX D ıT X @T V @V T @T X gegeben ist. Dabei sind E und p innere Energie und Druck. b) Verifizieren Sie mit diesem Ergebnis Cp D CV C nR für ein ideales Gas. 5. Ein ideales Gas durchlaufe folgenden Kreisprozess: .p2 ; V4 / ? ? isothermy .p1 ; V1 / isobar isobar .p2 ; V3 / x ? ?isotherm ! .p1 ; V2 / mit p1 < p2 und V4 < V1 < V3 < V2 . a) Skizzieren Sie das zugehörige V -p-Diagramm. b) Berechnen Sie die Arbeit, die in diesem Kreisprozess geleistet wird. 62 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Die Funktion f .x; y/ D f .x; z/ f .z; y/ ist nicht explizit von z abhängig, die Differentiation nach z liefert deshalb 0D @f .z; y/ @f .x; z/ f .z; y/ C f .z; y/ @z @z 1 @f .x; z/ D f .x; z/ @z ) 1 @f .z; y/ : f .z; y/ @z Diese Gleichung kann nur erfüllt sein für eine Funktion die nur von z abhängig ist. b) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a setzt man d.z/ 1 @f .x; z/ D D .z/0 f .x; z/ @z dz ) ln f .x; z/ D .z/ C g.x/ ) f .x; z/ D e .z/e g.x/ D '.z/ G.x/ Mit f .z; y/ D G.z/ '.y/ erhält man G.z/0 D .z/0 G.z/ 1 1 @f .z; y/ D G.z/0 '.y/ D f .z; y/ @z G.z/'.y/ 1 ) G.z/ D e .z/ D : '.z/ Mit f .x; z/ D f .x; y/ D '.z/ '.x/ folgt somit '.y/ '.z/ '.y/ D : '.x/ '.z/ '.x/ Aufgabe 2 Van der Waalssche Zustandgleichung a a ab p C 2 .v b/ D pv pb C D R# ; v v v2 Aus der linken Seite der van der Waalsschen Zustandsgleichung erhält man, b a ab a ab D pv 1 C : pv pb C 2 v v v v v2 Damit ergibt sich b pv 1 D R# v R# a ab C 2 ) pv D v v 1 63 a v C b v ab v2 : Es gilt b v und somit .1 C b=v/ 1 1 C b=v C .b=v/2 , R# va C ab b2 b a ab v2 C 2 1 C C 2 C ::: D R# pv D v v v v 1 bv a ab b2 b D R# 1 C C C ::: 1 C R#v R#v 2 v v2 ab a 1 ab 1 2 b C 2 Cb C ::: D R# 1 C v R# v R# R# B.#/ C.#/ D R# 1 C C 2 C ::: v v Nimmt der Druck ab, so nähert sich das verhalten aller Gase dem eines idealen Gases an [2]. Die Koeffizienten B.#/ und C.#/ beschreiben somit die Abweichung des Verhaltens eines realen Gases von dem eines idealen. Für verschwindenden Druck gilt die für alle Gasarten geltende Gesetzmäßigkeit T D lim .pv/ D RT ; p!0 d.h. B.#/ C.#/ p!0 pv D R# 1 C C 2 C ::: D R# ; v v „ ƒ‚ … D0 für p!0 und folglich # T . Aufgabe 3 Aus dp=p D adV =V folgt Z V0 Z p 0 dV 0 dp D ) ln p ln p0 D a ln V ln V0 0 0 V V0 p0 p a p V ) ln D ln p0 V0 a a V0 V p D ) p D p0 : ) p0 V0 V Für den Prozess ist dS D 0, somit gilt für die Arbeit dW D pdV , Z V2 Z V2 Z V1a dV W D dV p D p1 dV a D p1 V1 a V V1 V V1 a 1 1 a V2 V1a 1 a V2 a V D p1 V1 D p1 V1 ; a V1 1 a 64 a¤1 ) W D p1 a 1 V1 V2 a V2 V1 : Für den Spezialfall a D 1 gilt Z V2 V2 dV aD1 D p1 V1 ln W D p1 V1 V V1 V1 Aufgabe 4 a) Erster Hauptsatz: d Q D dE C pdV und E D E.T; V /, d.h. dE D .@T E/V dT C .@V E/T dV ; eingesetzt in d Q, d Q D .@T E/V dT C .@V E/T dV C pdV D .@T E/V dT C .@V E/T C p dV ; daraus liest man sofort @E @E @V ıQ D C Cp ıT X @T V @V T @T X ab. b) Für ein ideales Gas gilt pV D nRT und .@E=@V /T D 0. Mit X DW p folgt ıQ @E @V Cp D D Cp ıT p @T V @T p @ @E C pV ) Cp D CV C nR : D @T V @T p Aufgabe 5 a) V -p-Diagramm: p p2 p1 V V4 V3 V1 65 V2 b) Für ein ideales Gas gilt pV D nRT ; dE D CV dt ; dW D p dV : (2.1) (2.2) (2.3) isobar .p1 ; V1 ; T1 / W1 D p1 Z ! .p1 ; V2 ; T2 /: Für die Arbeit W erhält man für diesen Prozess V2 dV D p1 .V2 V1 V1 / : .p1 ; V2 ; T2 / isotherm ! .p2 ; V3 ; T2 /: Für den isothermen Prozess folgt aus dem Ersten Hauptsatz d Q D CV dT C pdV isotherm D pdV D W2 ; Mit (2.1) ist die Arbeit Z V3 V3 nRT2 : D nRT2 ln dV W2 D V V2 V2 isobar .p2 ; V3 ; T2 / W3 D p2 Z ! .p2 ; V4 ; T1 /: V4 V3 .p2 ; V4 ; T1 / dV D p2 .V4 V3 / : isotherm ! .p1 ; V1 ; T1 /: Z V1 nRT1 V1 W4 D dV D nRT1 ln : V V4 V4 Insgesamt wird damit die Arbeit I Wges D dW D W1 C W2 C W3 C W4 ) W D p1 .V2 V1 / C p2 .V4 geleistet. 66 V1 V3 C T1 ln V3 / C nR T2 ln V2 V4 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 3 1. Die innere Energie E des idealen Gases ist eine Funktion der Entropie S und des Volumens V . Gehen Sie von T V S S0 D CV ln C nR ln T0 V0 und E D CV T aus um E.S; V / zu bestimmen. Verifizieren Sie durch geeignete partielle Ableitungen, dass dE D T dS pdV: gilt. 2. Eine Carnot-Maschine werde mit einem idealen Gas als Arbeitsmedium betrieben. Die Zustandsgleichungen pV D n und E Dnc ; mit c D const:, definieren eine empirische Temperatur . Bestimmen Sie den Wirkungsgrad der Carnot-Maschine als Funktion der Temperatur . Verifizieren Sie dadurch, dass proportional zur absoluten Temperatur T ist. Sadi Nicolas Léonard C AR NOT, französischer Physi- ker, 1796 – 1832 3. Verwenden Sie die Maxwell-Relationen für die freie Energie, um zu zeigen, dass @CV @V T aus der thermischen Zustandsgleichung p D p.V; T / berechnet werden kann. 4. Für ein Gas geringer Dichte gelte folgende Virialentwicklung n nRT 1 C B.T / : p.V; T / D V V Die Wärmekapazität kann entsprechend um diejenige des idealen Gases entwickelt werden: n 3 F.T / : CV D nR 2 V 67 a) Bestimmen Sie die Beziehung, welche zwischen B.T / und F.T / gelten muss, damit die Entwicklungen thermodynamisch konsistent sind. b) Berechnen Sie die explizite Darstellung der Entropie als Funktion der Temperatur T und des Volumens V , d.h. S.T; V /. c) Zeigen Sie, dass für die Wärmekapazität bei konstantem Druck p 3 Cp D nR 2 gilt. h n2 R V2 V pC n2 R d dB.T / h T2 C V dT dT T pC 68 / T 2 dB.T dT n2 RT V B.T / i2 i Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Es gilt S S0 D CV ln T CV ln T0 C nR ln V nR ln V0 ) dS D nR CV dT C dV ; T V einsetzen von pV D nRT führt auf dS D CV p dT C dV T T ) T dS D CV dT C p dV : Mit dE D CV dT erhält man schließlich T dS D dE C p dV ) dE D T dS p dV : Aufgabe 2 p a W1 Qzu Ta Sa Sb W2 W4 Qab Tb W3 Das Gas wird quasistatisch expandiert von a nach b, ① .Ta; Sa / isotherm ② .Ta; Sb / adiabatisch ! .Ta; Sb /, ! .Tb ; Sb /. Von b zurück nach a wird das Gas quasistatisch komprimiert, ③ .Tb ; Sb / isotherm ④ .Tb ; Sa/ adiabatisch ! .Tb ; Sa /, ! .Ta; Sa/. 69 b V Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik dE D d Q dQD pdV ; dS T und der Zustandsgleichung für das ideale Gas pV D nR ; dE D CV dT ; berechnet man die einzelnen Arbeitswege der Maschine: isotherm ① .a ; Sa/ Q1 D Z ! .a; Sb /: Mit dE D 0 folgt Va0 dV p D nRa Va Z Va0 Va 0 dV V D nRa ln a W1 V Va isotherm ③ .b ; Sb / ! .b ; Sa /: analog zu ①, 0 V Q3 D nRb ln b W3 Vb ② .a ; Sb / adiabatisch ! .b ; Sb /: Für die adiabatische Zustandsänderung gilt dS D 0, d.h. d Q D 0. Aus dem 1. Hauptsatz und der Zustandsgleichung für das ideale Gas folgt dE D CV d D pdV D nR dV : V Somit ergibt sich CV nR Z b a d CV b D D ln nR a D Z Vb dV V Va0 0 V Vb D ln a : ln 0 Va Vb (3.1) Für die Arbeit erhält man dW2 D pdV d QD0 D dE D CV d somit W2 D Z b a d D CV .b a / (3.2) 70 ④ .b ; Sa / adiabatisch ! .a ; Sa /: Analog zu ② 0 (3.1) V Va0 Va a CV D ln b H) D 0 ln nR b Va Vb Vb (3.3) und W4 D CV Z a b d D CV .a b / D CV .b (3.2) a / D W2 Die gesamte Arbeit Wges ist damit ! Wges D W1 C W2 C W3 C W4 D W1 C W3 0 0 V Va D nRa ln C nRb ln b V Vb 0 a 0 V V (3.3) D nR.a D nR a ln a C b ln b Va Vb V0 b / ln a Va Für den Wirkungsgrad erhält man V0 nR.a b / ln. Vaa / W erzeugteArbeit D D D 0 aufgewendeteWärme Q1 nRa ln. VVaa / a a b D1 : D a b Vergleich mit dem Wirkungsgrad für für eine ideale Wärmekraftmaschine, [1] ideal D T1 T2 T1 ergibt T . Aufgabe 3 Das Differential dF D S dT p dV ist vollständig, damit gilt @p @S D : @V T @T V (3.4) 71 Mit der Definition der spezifischen Wärme, [1] @S ; Cz WD T @T z erhält man @CV @ @S @ @S @S ) DT DT CV D T @T V @V T @V @T V T @T @V T V @ @p (3.4) D T @T @T V V 2 @ p @CV DT ) @V T @T 2 V Aufgabe 4 a) Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3 folgt, dass 2 @ p @CV DT @V T @T 2 V erfüllt sein muss. Für die linke Seite erhält man ˇ ˇ @CV @ 3 n `:S: D D nR F.T / ˇˇ @V T @V 2 V T 2 n n R D nR 2 F.T / D 2 F.T / ; V V und für die rechte Seite 2 ˇ ˇ @ p n @2 nRT ˇ r.S. D T 1 C B.T / D T ˇ @T 2 V @T 2 V V V nRT @ 1 n dB.T / D C B.T / C T V @T V V dT 2 n2 R n RT 0 0 00 0 2 00 D B.T / C B.T / C TB.T / D 2TB.T / C T B.T / ; V2 V2 somit folgt n2 R n2 R 2TB.T /0 C T 2 B.T /00 ) F.T / D 2TB.T /0 C T 2 B.T /00 ; F.T / D 2 2 V V mit d dT .T 2 B.T // D 2TB.T /0 C T 2 B.T /00 schließlich, F.T / D d T 2 B.T /0 : dT 72 b) S.T; V / kann aus der spezifischen Wärme CV bestimmt werden, 0 @S 3 n2 R d 2 dB.T / T D CV D nR T @T V 2 V dT dT 2 2 3 n R 1 dB.T / @S 2 d B.T / D nRT 2T CT ) @T V 2 V T dT dT 2 3 n2 R dB.T / d 2 B.T / D nRT 2 CT 2 V T dT 2 3 n2 R dB.T / dB.T / d 2 B.T / D nRT C CT 2 2 V T T ƒ‚ dT … „ / D ddT .T dB.T dT / 3 n2 R dB.T / d dB.T / D nRT C T : 2 V T dT dT Integration über dT ergibt 3 S.T; V / D nR ln T 2 3 D nR ln T 2 n2 R dB.T / B.T / C T C f .V / V dT n2 R d T B.T / C f .V / V dT Die unbekannte Funktion f .V / wird über die Relation @p @S (3.4) D @V V @T V bestimmt, df .V / @S n2 R d D 2 T B.T / C @V V V dT dV 2 @p nR n R d D D C 2 T B.T / ; @T V V V dT daraus liest man nR df .V / D dV V ) f .V / D nR ln V ab. Ingesamt lautet die die Entropie S.T; V / damit 3 S.T; V / D nR ln T C nR ln V 2 n2 R d T B.T / : V dT 73 c) Mit der Definition der spezifischen Wärme folgt @S @S ) CV D T : Cz WD T @T z @T V Aus S D S.V; T / erhält man @S @S CV @S (3.5) dT dV C dT D dV C dS D @V T @T V @V T T @p CV (3.4) D dT ; dV C @T V T somit @S @p @V T DT C CV : @T p @T V @T p (3.5) (3.6) Mit den Relationen aus Blatt 1 Aufgabe 2 folgt mit x D V , y D T und z D p, @T @p @V @T 1 @p 1 @V ; D 1 ) D @T p @p V @V T @T p @p V @V T und mit 1 @p @T D @T V @p V schließlich 1 @p @p @V : D @T p @T V @V T (3.7) Die Gleichung (3.6) lautet somit @S @p @V T DT C CV @T p @T V @T p @p 2 @p 1 (3.7) D T C CV : @T V @V T Mit ˇ ˇ nR @ n @p TB.T / ˇˇ D T C @T V V @T V V n dB.T / nR n2 R d nR 1C B.T / C T D C 2 TB.T / ; D V V dT V V dT ˇ ˇ n @p @ 1 C 2 B.T / ˇˇ D nRT @V T @ V V T 1 2n nRT 2n2 RT D nRT B.T / D B.T / V2 V3 V2 V3 74 (3.8) und CV aus der Aufgabenstellung folgt 3 Cp D nR 2 3 D nR 2 n F.T / V n2 R F.T / V n2 R d .TB.T //2 V 2 dT 2n2 RT nRT B.T / V2 V3 2 d 2 T 2 Œ nR C nV R 2 d T .TB.T // V 2n2 RT T Œ nRT B.T / V2 V3 T Œ nR C V : Für den Zähler erhält man mit p=T D nR=V C n2 R=V 2 B.T /, 2 2 n2 R d n2 R n2 R d 2 p 2 nR C 2 TB.T / B.T / C 2 TB.T / DT T V V dT T V2 V dT 2 n2 R dB.T / 2 p / B.T DT B.T / T dT T V2 n2 R 2 d B.T / ; D pC 2 T V dT und für den Nenner, nRT 2n2 RT T p n2 R 2n2 RT T B.T / D T B.T / B.T / V2 V3 V T V2 V3 2n2 RT T p n2 R B.T / B.T / DT V T V2 V3 p n2 RT 2n2 RT DT C B.T / B.T / V V3 V3 p n2 RT T n2 RT DT B.T / D pC B.T / : V V3 V V2 Die Wärmekapazität Cp ist damit i2 h n2 R 2 dB.T / V p C V 2 T dT n2 R 3 h i ; F.T / C Cp D nR 2 2 V T p C n RT B.T / V2 und mit F.T / aus Teilaufgabe a schließlich 3 Cp D nR 2 h i2 n2 R 2 dB.T / T V p C n R d dB.T / dT V2 i : h T2 C n2 RT V dT dT T p C V B.T / 2 75 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 4 1. Ein ideales Gas, beschrieben durch die Zustandsgleichung pV D nRT unterliege einer adiabatischen Zustandsänderung, d.h. d Q D 0. a) Berechnen Sie den adiabatischen Kompressionskoeffizienten 1 @V : ad D V @p ad für das ideale Gas. b) Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit @p 2 c D @ ad von der Temperatur T . Geben Sie sodann die Schallgeschwindigkeit in Luft bei T D 273 K an. 2. Die natürlichen Variablen der Enthalpie H sind die Entropie S und der Druck p, d.h. H D H.S; p/. Verifizieren Sie aus der Differentialgleichung dH D T dS C V dp, dass wenn die Entropie ein Potential ist, @.V =T / @H 2 D T : @p T @T p folgt. 3. Betrachten Sie im Folgenden ein ideales Gas und berechnen Sie die thermodynamischen Potentiale, a) die freie Energie F.T; V; N /, b) die Enthalpie H.S; p; N /, c) die freie Enthalpie G.T; p; N / und d) das großkanonische Potential ˚.T; V; /. Beachten Sie dabei, dass die Potentiale als Funktionen der zugehörigen natürlichen Variablen zu schreiben sind. 76 4. Bestätigen Sie, dass aus der thermischen Zustandsgleichung p D p.T; V / @E @p T berechnet werden kann. Betrachten Sie dazu speziell ein Gas, das durch die van der Waalssche Zustandsgleichung beschrieben wird. Bestimmen Sie die Bereiche, in welchem .@E=@p/T positiv bzw. negativ ist. 5. Zeigen Sie, dass für die Differenz der Wärmekapazitäten @p @V Cp CV D T @T V @p p gilt. Berechnen Sie diese Differenz für das van der Waalssche Gas. 77 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Für ein ideales Gas ist die innere Energie unabhängig von V , @E @E dE D dT ; D0: @T V @V T dE eingesetzt in den 1. Hauptsatz ergibt @E dQD dT C pdV D CV dT C pdV : @T V „ ƒ‚ … D CV Für eine adiabatische Zustandsänderung d Q D 0 folgt daraus nR T p dT nR dV dT D D ) D : dV ad CV CV V T ad CV V ad Zwischen den Wärmekapazitäten Cp und CV gilt die Beziehung Cp CV Cp dV dV dT D D .1 / T ad CV V ad V ad ) d ln T ad D .1 /d ln V ad D d ln V 1 ad ) d ln T V 1 D 0 ) T V 1 D const 0 : CV D nR, damit Mit der allgemeinen Zustandsgleichung für ideale Gase folgt T V D const: (Adiabatengleichung) (4.1) a) Aus der Adiabatengleichung (4.1) folgt das Differential V @V 1 D : 0 D dpV C pV dV ) @p ad p (4.2) Der adiabatische Kompressionskoeffizient ist somit 1 @V 1 V 1 ad D D ) ad D : V @p ad V p p b) Mit der Massendichte D mN=V und mN D const:, folgt d dV n @ dV D dV ) D dV D d D 2 @V V V V 78 (4.3) Aus @p V @p (4.2) dV D d dp D @V @V 2 @p V @p V p @ p p (4.2) ) D D : T D @ ad @V ad @T 2 V V Mit pV D nRT und n D RT p D ) M @p @ ad mN M folgt RT D ) c.T / D M r RT : M Für M.Luft/ 30g=mol, T D 273 K und D 1; 4 erhält man v u J u 273 K 8; 314 K mol m 325 : c D t1; 4 kg s 30 10 3 mol Aufgabe 2 Aus dem Differential dH D T dS C p dV folgt @S 1 @H 1 dH V dp ) D dS D T @T p T @T p @2 S @ 1 @H 1 @2 H ) D D : @p@T @p T @T p T T @p@T (4.4) Desweiteren berechnet man aus dem Differential @S 1 @H V D @p T T @p T T 2 @ S 1 @H 1 @2 H @.V =T / D 2 C @T @p T @p T T @T @p @T p @.V =T / @H 1 @H (4.4) 2 @.V =T / ) D T 0 D 2 T @p T @T @p T @T p p Aufgabe 3 Die Differentiale der thermodynamischen Potentiale sind gegeben durch dE dF dH dG D T dS p dV C dN ; D S dT p dV C dN ; D T dS C V dp C dN ; D S dT C V dp C dN : : (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) 79 Die thermodynamischen Potentiale sind E F DE T S H DECpV G D E T S Cp V D F Cp V ˚ DE T S N DF N (Energie) ; (Freie Energie) ; (Enthalpie) ; (Freie Enthalpie) ; (großkanonisches Potential) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) Für das ideale Gas gilt pV D N kB T ; (4.14) und für das einatomige, ideale Gas ist die innere Energie E D E.T; N / D 3 N kB T 2 (4.15) und die Wärmekapazität 3 3 (4.16) CV D N kB und cV D kB : 2 2 Zunächst berechne man das chemische Potential eines einatomigen, idealen Gases. Es gilt [1] D D D D D D D E TS pV C N N N Z T 0 V 3 0 cV .T / dT kB T T C kB ln C const: C kB T 2 T0 N Z T 5 3 dT 0 V kB T T kB C kB ln C const: 2 2 T0 N 3 V 5 kB T T kB ln T C kB ln C const: 2 2 N 5 3 N const: kB T kB T ln T C ln C 2 2 V kB 3 T const: 5 p kB T C kB T ln C C ln 2 2 T0 kB T k B 5 5 T p 0 .T0 ; p0 / kB T C kB T ln C ln C .T; p/ 2 2 T0 p0 kB T0 Die innere Energie des idealen Gases ist E D E.T; N /, d.h. @E @E dT C dN dE D @T N @N T 80 (4.17) (4.18) und für dV D 0 und für konstante Teilchenzahl dN D 0, @S @E DT D CV : @T V;N @T V (4.19) Aus dem Differential dE folgt für konstante Teilchenzahl, p 1 dE C dV dN T T T @E 1 @E p (4.18) 1 dT C dN C dV D T @T V;N T @N T T dT dV 3 (4.15) D CV C N kB C kB dN : (4.18) T V 2 T dS D dN T Integration ergibt V 3 T C N kB ln C kB .N N0 / S S0 D CV ln T0 V0 2 T (4.16) V 3 3 T H) S S0 D kB ln C N ln C .N 2 T0 V0 2 kB T N0 / : (4.20) Umformung von (4.20) ergibt 3=2 N T V 3 S S0 D kB ln C ln C .N N0 / T0 V0 2 kB T 3=2 N V 3 T C .N N0 / D kB ln T0 V0 2 kB T 3=2 T V 3 S S0 ) exp .N N0 / D exp T0 V0 2 kB T kB 2N=3 V0 3 2.S S0 / T D .N N0 / exp ) T0 V 3kB 2 kB T (4.21) und für für konstante Teilchenzahl, dN D 0, T T0 D V0 V 2N=3 2.S S0 / exp 3kB (4.22) 81 Aus dem Differential (4.18) berechnet man 3 3 N kB dT C kB T dN 2 2 3 3 ) E E0 D N kB .T T0 / C kB T .N N0 / 2 2 3 ) E E0 D kB N .T T0 / C T .N N0 / : 2 (4.15) dE D (4.23) und für konstante Teilchenzahl dN D 0, E 3 E0 D kB N .T 2 T0 / : (4.24) Aus (4.23) folgt T 3 1 C T .N N0 / E E0 D kB N T0 2 T0 2N=3 V0 3 2.S S0 / ) E E0 D kB N T0 exp 2 V 3kB C T .N N0 / 3 2 .N kB T N0 / 1 (4.25) und für eine konstante Teilchenzahl, dN D 0, E 3 E0 D N kB T0 2 V0 V 2N=3 2.S S0 / exp 3kB a) Für die freie Energie gilt nach (4.10), F D E 3 F D kB N .T 2 T kB T0 / C T .N N0 / T 3 V 3 ln C N ln C 2 T0 V0 2 1 E.S; V; N / (4.26) T S , mit (4.20) und (4.25), .N kB T N0 / C S 0 (4.27) und für dN D 0, 3 F D N kB .T 2 T0 / T kB 3 T V ln C N ln C S0 F.T; V; N / : 2 T0 V0 (4.28) 82 b) Aus (4.11) bestimmt man 3 H D E C p V D kB N .T 2 T0 / C T .N 5 H0 D kB N .T 2 Aus der Gasgleichung (4.14) folgt ) H N0 / C N kB .T 3 T0 / C kB T .N 2 pV N kB T V p0 T N D ) D ; p0 V0 N0 kB T0 V0 p T 0 N0 T0 / C H0 N0 / : (4.29) (4.30) eingesetz in (4.20) ergibt T p0 N T 3 C N ln C N ln C N ln S S0 D kB ln 2 T0 p T0 N0 3 .N N0 / 2 kB T N N 3 T p0 3 N D kB N ln C ln .N N0 / C ln 2 T0 p N0 2 kB T .3C2N /=2 N N p0 3 N T .N N0 / D kB ln T0 p N0 2 kB T 2N=.3C2N / T pN0 3 2 .S S0 / ) D exp .N N0 / ; T0 p0 N 3 C 2N kB 2 kB T und für N D N0 D const:, 2N=.3C2N / p 2.S S0 / T D exp : T0 p0 .3 C 2N /kB Damit lautet die Gleichung (4.29) T 3 5 1 C kB T .N N0 / H H0 D kB N T0 2 T0 2 2N=.3C2N / 5 pN0 D kB N T0 2 p0 N 3 .S S0 / 2 .N N0 / 1 exp 3 C 2N kB 2 kB T 3 C kB T .N N0 / ; 2 und für eine konstante Teilchenzahl, 2N=.3C2N / 5 p 2.S S0 / H H0 D kB N T0 1 H.S; p; N / : exp 2 p0 .3 C 2N /kB 83 c) Für ein homogenes System gilt die Relation GDE T S Cp V D N (Duhem-Gibbs-Relation) : Damit ist G G0 D N 5 kB T C kB T D N 2 (4.17) p 0 .T0; p0 / 5 T C ln C G.T; p; N / ln 2 T0 p0 kB T0 d) Für das großkanonische Potential berechnet man aus (4.13) ˚ DF ˚ N (4.27) 3 ˚0 D kB N .T T0 / C T .N N0 / 2 T 3 V 3 T kB ln C N ln C 2 T0 V0 2 ˚.T; V; / : .N kB T N0 / C S 0 N Aufgabe 4 Aus S D S.T; p/ folgt @S @S dS D dT C dp ; @T p @p T daraus ergibt sich @S @S dT C T dp T dS D T @T p @p T @S dp : D Cp dT C T @p T Aus dG D S dT C V dp folgt @V @S D ; @p T @T p eingesetzt, @S T dS D Cp dT C T dp : @p T @V D Cp dT T dp @T p 1. HS D dE C p dV : (4.31) 84 Für E D E.T; p/ und V D V .T; p/ erhält man @E @E dT C dp ; dE D @T p @p T @V @V dV D dT C dp ; @T p @p T damit folgt @V T dS D Cp dT T dp @T p @V @E @V @E Cp dp C Cp dT : D @p T @p T @T p @T p Vergleich mit (4.31) ergibt @V @V @V D T p @T p @T p @p T (4.32) ab. Für das van der Waals Gas gilt die Zustandsgleichung a RT C : 2 v v b Beachtet man @p @p dp D dV C dT ; @V T @T V pD (4.33) so folgt für .@V =@T /p , @p RT 2a @V R D0D C @T v 3 .v b/2 @T p v b 1 @V R 2a RT D @T p v b v 3 .v b/2 1 a RT 2a 1 pC 2 D T v v 3 .v b/2 und @p 2a D1D @p v3 2a @V D @p T v3 RT .v b/2 RT .v b/2 @V @p 1 (4.34) T : (4.35) 85 Einsetzen von (4.34) und (4.35) in (4.32) ergibt @E @p T a D pC 2 v p 2a v3 RT .v b/2 1 ) @E @p T a 2a D 2 3 v v RT .v b/2 1 : (4.36) .@E=@p/T < 0, d.h. 2a a > 3 .v b/ 2 v v 2.v b/ RT RT > p v b v v b RT RT b 0 < .v b/2 .v b/ C ; 2p 2p pC die Lösung dieser quadratischen Gleichung ergibt die Nullstellen, s RT RT 2 RT b C ; .v b/1 > 4p 4p 2p s 2 RT RT RT b .v b/2 < : 4p 4p 2p Aufgabe 5 Sind T und V unabhängige Zustandsvariablen, dann folgt aus S.T; V / und E.T; V /, @S p @S 1.HS 1 dT C dV D dE C dV dS D @T V @V T T T @E @E dE D dT C dV ; @T V @V T einsetzen ergibt 1 @E 1 @E dS D dT C C p dV : T @T V T @V T dS ist ein totales Differential, somit sind die Integrabiltitätsbedingungen erfüllt, 1 @E 1 @ @E D Cp T @V @T V T T 2 @V T 1 @ @E @p C C T @T @V T V @T V 86 dE bildet ebenfalls ein vollständiges Differential, d.h. die partiellen Ableitungen sind vertauschbar und man erhält @p @E DT p: (4.37) @V T @T V Für die Differenz der spezfischen Wärmen gilt @V @p @V @E (4.37) Cp D T Cp CV D @V T @T p @T V @T p Mit den Ergebnis, (4.34), @V @T p 1 a 2a D pC 2 T v v2 RT .v b/2 1 und 1 a R @p (4.28) D pC 2 ; D @T V v b T v damit Cp CV D 1 T2 a pC 2 v 2 2a v2 RT .v b/2 1 87 : Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 5 1. Aus kalorischen Experimenten sei die Wärmekapazität CV D CV .T; V0 / bei festem Volumen V0 für alle Temperaturen T bekannt. Außerdem sei die thermische Zustandsgleichung p D p.T; V / vorgegeben. a) Zeigen Sie, daß damit die innere Energie bis auf eine additive Konstante eindeutig festgelegt ist. b) Berechnen Sie die innere Energie und die Entropie eines van der Waals Gases. RT ŒHinweis: Mit CV .T; V0 / ist auch T0 dT 0 CV .T 0 ; V0 / bekannt. 2. Die Luftdruckänderung aufgrund der Schwerkraft ergibt sich aus dp D %.z/gdz, wobei z die Höhe über der Erdbode ist und %.z/ die entsprechende Dichte der Luft ist. Betrachten Sie die Luft als ein ideales Gas und bestimmen Sie den Druck als Funktion der Höhe z unter den Vorraussetzungen a) die Temperatur ist von z unabhängig, b) der Austausch von Luftmassen verläuft adiabatisch. 3. Schreiben Sie das Massenwirkungsgesetz in der Form Y Œci i D K.p; T / i wobei ci die Konzentration und i die stöchimetrischen Koeffizienten sind. Weiter ist p der Gesamtdruck. a) Zeigen Sie, ln K.p; T / D 1 X i gi .p; T / : RT i Dabei ist gi .p; T / die molare freie Enthalpie des i-ten Stoffes; geschrieben als Funktion des Gesamtdrucks. b) Berechnen Sie @ ln K und @p T @ ln K @T p und P der Änderung des Molvolumens v D P drücken Sie die Ergebnisse mit Hilfe v und der Molenthalpie h D i i hi . Welche physikalische Bedeutung i i i hat h? 88 c) Verifizieren Sie, daß C.T / D K.p; T / p P i i unabhängig vom Druck ist. 4. Überzeugen Sie sich mit Hilfe der Aufgabe 2, Blatt 4, daß die Entropie s und die Enthalpie h pro Mol des idealen Gases p T R ln und si D si;0 C cp;i ln T0 p0 hi D hi;0 C cp;i .T T0 / sind. Hier ist cp;i die spezifische Wärme bei konstantem Druck und si;0 , hi;0, T0 und p0 sind (Integrations-) Konstanten. Bestimmen Sie mit diesem Resultat die Temperaturabhängigkeit von C.T / aus Aufgabe 3. 5. In einem Gefäß seien Wasser und eine Salzlösung durch eine semipermeable Membrane getrennt. In beide Flüssigkeiten tauche jeweils ein Rohr ein. Bestimmen Sie die Teilchendichte des Salzes, wenn der Höhenunterschied der beiden Flüssigkeiten h D 2 cm beträgt. 89 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Aus dem 1. Hauptsatz dE D T dS @S @E DT p; @V T @V T @E @S DT : @T V @T V p dV folgt (5.1) (5.2) Mit dem Differential der freien Energie @p @S D ; dF D S dT p dV ) @V T @T V (5.3) eingesetzt in (5.1) ergibt @p @E DT p: @V T @T V (5.4) Aus der Wärmekapazität CV folgt @E @S (5.2) CV D D T ) @T V @T V @CV @V somit @CV @ @p D T p @V T @T @T V 2 V @p @ p D CT @T V @T 2 V @p @T @2 p @T 2 D T V @2 E @2 E D ; @V @T @T @V (5.5) (5.6) @2 p DT @T 2 : V Damit berechnet man CV .T; V / D CV .T; V0 / C T Z V dV V0 0 : V Nur bekannte Größen, d.h. C.V; T / ist eindeutig bestimmt. a) Aus (5.5) folgt CV .T; V / @S D : @T V T 90 (5.7) .@S =@T /V und .@S =@V /T sind eindeutig bestimmt, d.h. S D S.T; V / kann berechnet werden, ) E D E.S; V / : Ebenso .@E=@T /V D CV .T; V / und .@E=@V /T D T .@p=@T /V ) p, E D E.T; V / ; alle Potentiale können bestimmt werden. b) Aus dem ersten Hauptsatz folgt @S 1 @E 1 dE C p dV ) D dS D T @T V T @T V @2 S 1 @2 E ) D und @V @V T @V @T 1 @E p @S D C ) @V T T @V T T @2 S 1 @E 1 @2 E @.p=T / ) D 2 C C @T @V T @V T T @V @T @T V (5.8) @.p=T / @E H) D T2 : @V T @T V (5.8) (5.9) Vermittelst der van der Waalsschen Zustandgleichung pD RT v b a v2 ; vD erhält man @E R 2 @ DT @V T @T v b V ; n a v2 T (5.10) D T2 a n2 a a D D : v2 T v2 V2 (5.11) Integration über das Volumen V ergibt E.T; V / D n2 a C f1 .T / : V (5.12) Damit folgt für die Wärmekapazität @E (5.5) (5.12) df1 .T / CV D D D f2 .T / : @T V dT 91 (5.13) Die Entropie kann aus der Gleichung (5.3) berechnet werden. a R @S @p @ RT : D D D @V T @T V @T v b v 2 V v b (5.14) Integration über das Volumen ergibt mit dV D ndv, S.T; V / D nR ln.v b/ C f3 .T / : (5.15) Für die Funktion f3 .T / gilt df3 .T / @S (5.15) (5.5) D T D f2 .T / CV D T @T V dT (5.16) Die innere Energie und die Entropie des van der Waals Gas sind (5.12) E.T; V / D (5.13) n2 a C f1 .T / ; V (5.15) S.T; V / D nR ln.v (5.16) b/ C f3 .T / : Aufgabe 2 a) Für konstante Temperatur und konstante Teilchenzahl pro Volumen folgt aus der allgemeinen Gasgleichung p p0 D % %0 mit p0 als dem Druck und %0 der Luftdichte auf Meeresspiegelniveau. Damit folgt dp D %.z/gdz D p.z/ %0 dp g dz ) D p0 p %0 g dz ; p0 daraus ergibt sich %0 gz : p.z/ D p0 exp p0 b) Es gilt für einen adiabatischen Luftmassenaustausch p V0 pV D const: ) pV D p0 V0 ) D p0 V Mit % D N=V und konstanter Teilchenzahl pro Volumen folgt 1= 1= p %0 %0 p p ) % D %0 D D : ) p0 % p0 % p0 92 Die Luftdruckänderung dp=dz ist somit dp D %.z/g D dz p p0 1= g: Trennung der Variablen und Integration ergibt p1 1 1 1 p p0 D %0 gp0 1 ) p D p0 ) p D p0 1 1= 1 z) p %0 gp0 1 %0 g z p0 1 1 p0 1 1= z 1 1 1 D 1 1 1= %0 gp0 z : Aufgabe 3 Für eine isotherme, isobare chemische Reaktion ist die Gleichgewichtsbedingung ıG D 0 ; GDE T S C pV D H TS : (5.17) Die Molzahlen der beteiligten Reaktionspartner werden mit ni und die in der Reaktion (rechts positiv, links negativ) auftretenden zugehörigen mit i . Die Molenergie sind reine Funktionen der Temperatur T , d.h. X ED ni ei .T / ; (5.18) i und für die Enthaplie H , X H D ni hi .T / ; (5.19) i mit hi .T / als der sog. Molenthapie. In der Entropie S tritt die Summe über die Molenthalpien si .T; p/ und zusätzlich ein Mischungsterm, vgl. Sommerfeld, auf X n : (5.20) SD ni si .T; p/ C R ln ni i Vermittelst der Gleichunge (5.17), (5.19) und (5.20) berechnet man X X n n ni gi .T; p/ RT ln ; GD ni hi .T / T si .T; p/ RT ln ni ni i i 93 (5.21) mit gi .T; p/ als der freien Enthalpie pro Mol der einzelnen Kompoenten. Für einen isobaren, isothermen Prozess folgt X n X n ni ı ln ıni gi .T; p/ RT ln RT ıG D n ni i i i X n : (5.22) ıni gi .T; p/ RT ln D n i i Das letzte Glied in der vorletzten Zeile verschwindet wegen n D Molzahlen in einer gemischten Reaktion gilt P i ni . Für die Änderung der ın1 W ın2 W : : : D 1 W 2 W : : : ; (5.23) damit folgt aus der Gleichgewichtsbedingung ıG D 0 mit (5.23) X n 0: ıi gi .T; p/ RT ln n i i (5.24) a) Umformung der Gleichung (5.24) ergibt X X n RT i ln D i gi .T; p/ ; n i i i mit der molaren Konzentration ci D X i i ln ci D X i lnŒci i D ni n ergibt sich 1 X i gi .T; p/ : RT i Mit der Eigenschaft des Logarithmus Y X ln ln ai ai D i i folgt X i Y i Œci D ln K D lnŒci D ln i i 1 X i gi .T; p/ .Massenwirkungsgesetz/: RT i (5.25) b) Wegen ci D ni pi D n p (5.26) 94 kann man (5.25) auf die Partialdrücke pi umschreiben, mit Q Y Y pi i Œpi i i D iP ; Œci D p p i i i i erhält man Y P Œpi i D p i i K.p; T / Kp : (5.27) i Für die freie Enthalpie pro Mol gilt @gi dgi D si dT C vi dp ) D vi ; @p T (5.28) damit berechnet man @gi 1 X 1 X @.ln K/ (5.25) (5.28) D i D i vi : @p RT i @p T RT i T Vermittelst der allgemeinen Gasgleichung pvi D RT berechnet man weiter P P @.ln K/ 1 X @ RT i i D D ln p i i : i @p p p @p RT T i (5.29) Desweiteren ist @ 1 X @ ln K i gi D @T p @T RT i 1 X @gi 1 X D i i gi RT 2 RT @T p i i 1 X 1 X (5.17) (5.28) D g C T s i hi : (5.30) D i i i RT 2 RT 2 i i P v D i i vi ist die bei einem einmaligen Reaktionsumsatz auftretende Volumenänderung, P @.ln K/ (5.29) v i i vi D : (5.31) D @p RT RT T Die freiwerdende Wärmemenge (endotherme Reaktion) oder zuzuführende P(endotherme Reaktionen) Wärmemenge qp ist gleich der Enthalpieänderung h D i i hi da die Reaktion isobar abläuft. P @ ln K h qp (5.30) i i hi : (5.32) D D D 2 2 @T p RT RT RT 2 95 c) Integration von (5.29) ergibt K D C.T /p P i i : (5.33) Der Vergleich von (5.33) mit (5.27) ergibt Kp D C.T / : Somit ist C.T / D K.p; T / p P i i unabhängig vom Druck. Aufgabe 4 Mit s, e und v als der Entropie, der inneren Energie und dem Volumen pro Mol lautet der 1. Hauptsatz T ds D de C p dv ) ds D p de C dv : T T (5.34) Die innere Energie ist nur abhängig von der Temperatur T , @e @e de D dT D cV dT ; dV C @V T @T V „ ƒ‚ … (5.35) D0 eingesetzt ergibt ds D cV p dT C dv : T T Aus der idealen Gasgleichung pv D RT (5.36) folgt d.pv/ D dp v C p dv D R dT : Die Entropie ist somit 1 (5.37) cV ds D dT C R dT T T dp dT (5.36) R : D cp T p (5.37) 1 v dp D cV C R dT T v dp T (5.38) 96 Integration von Gleichung (5.36) ergibt si si;0 D cp;i ln T T0 R ln p : p0 (5.39) Das Differential der Enthalpie pro Mol ist (5.34) dh D T ds C v dp D de C p dv C R dT p dv (5.37) C R dT D cV dT C p dv (5.35) D p dv .cV C R/ dT cp dT : (5.40) Integration von Gleichung (5.40) ergibt hi hi;0 D cp;i .T T0 / : (5.41) Aus der Gleichung (5.25) aus Aufgabe 3 folgt 1 X 1 X (5.17) i gi .T; p/ D i hi .T / T si .T; p/ RT i RT i 1 X T p (5.39) D R ln i hi;0 C cp;i .T T0 / T si;0 C cp;i ln (5.41) RT i T0 p0 X p si;0 cp;i T hi;0 cp;i T0 cp;i ln C C ln D i RT R R R T0 p0 i ln K D DW qp ‚ …„ 0 ƒ i cp;i =R X T i .hi;0 cp;i T0 / si;0 cp;i p D C ln Ci C ln RT R … T0 p0 „ ƒ‚ i D X i DW i T qp0 C i i C ln RT T0 i cp;i =R p C ln p0 i i ; daraus folgt K.p; T / D p p0 P i i T T0 Pi i cp;i R exp X i 97 i i qp0 RT : (5.42) Mit der Relation aus Teilaufgabe 3c folgt C.T / D p P i K.p; T / Pi i Pi P T p D p i i p0 T0 i P ) C.T / D p0 i i T T0 P i cp;i R X exp i i i i cp;i i R exp X i i i qp0 RT qp0 RT : Aufgabe 5 van’t Hoffsches Gesetz, ! posm D cNaCl RT D .%NaCl C %LM / g h ; „ ƒ‚ … GewichtNaClCLM mit cSalz als der Salzkonzentration im Lösungsmittel. Ist M die molare Masse des Salzes, dann ist %Salz D n MNaCl mNaCl D D cNaCl MNaCl ; V V daraus folgt cNaCl RT D .cNaCl MNaCl C %LM /gh ) cNaCl .RT MNaCl gh/ D %LM gh %LM %LM ) cNaCl D gh ) cNaCl D RT .RT MNaCl gh/ . gh MNaCl / mit %LM D 1000kg=m3 , R D 8; 3 J mol K und MNaCl D 58; 5 g mol ergibt cNaCl D 1000 8;3273 . 9;81210 2 kg m3 58; 5 10 3 / kg mol ) cNaCl D 8; 66 10 98 8 mol cm3 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 6 1. Bestimmen Sie die kritischen Koordinaten .pc ; Tc ; vc / für a) für ein van der Waals Gas und b) für ein Gas, welches durch die Dieterici–Zustandsgleichung a p.v b/ exp D RT vRT beschrieben wird. c) Schreiben Sie die Zustandsgleichungen unter Zuhilfenahme der Definitionen pN D p ; pc T v TN D und vN D Tc vc stoffunabhängig. 2. Betrachten Sie eine Substanz mit zwei gasförmigen Phasen A und B, welche den Zustandsgleichungen p vA D RA T und p vB D RB T genügen. RA und RB sind phasenspezifische Konstanten und v ist das Volumen eines Mols. Für die spezifischen Wärmen bei konstantem Druck gilt cp;A .T / D cp;B .T / D cp .T /. Berechnen Sie die Koexistenzkurve pB .T /, bei der die beiden Phasen im Gleichgewicht sind. Berechnen Sie die Übergangswärme q aus der Differenz der Entropien in den beiden Phasen und verifizieren Sie, daß q temperaturunabhängig ist. 3. Durch Druckänderung verschiebt sich die Temperatur TS bei der eine Flüssigkeit siedet. Eine solche Druckänderung kann durch eine (Salz)Lösung (Konzentration c) hervorgerufen werden. a) Bestimmen Sie die Änderung des chemischen Potentials auf Grund der Zugabe des zu lösenden Stoffes. b) Das Lösungsmittel kann in zwei Phasen (gasförmig/flüssig) auftreten, wobei der Stoff nur in der flüssigen Phase gelöst werden kann. Bestimmen Sie die Änderung von TS bis zur linearen Ordnung in c. c) Berechen Sie, bei welcher Salzkonzentration Wasser auf der Zugspitze bei 100ı C siedet. 99 ŒHinweis: Vergeichen Sie die Temperaturänderung aus Teilaufgabe b) mit der entlang der Dampfdruckkurve 4. Betrachten Sie ein System, indem keine chemischen Reaktionen stattfinden. Das System bestehe aus Phasen und K Komponenten. In allen Phasen seien Temperatur T und Druck p gleich. Für die freie Enthalpie G gilt GD X G˛ D G˛ .p; T; ni;˛ / ; G˛ ; ˛D1 .i D 1; : : : ; K/ mit G˛ als der freien Enthalpie der einzelnen Phasen. Zeigen Sie, daß das System f D2CK Freiheitsgrade besitzt. ŒHinweis: Berücksichtigen Sie bei der PVariation .ıG D 0/, daß die Gesamtmolzahl der einzelnen Komponenten erhalten ist . ˛ nj ;˛ D const:/ mittels Langrange–Multiplikatoren. 100 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Zustandsgleichung des van der Waalsschen Gases a RT a : p C 2 .v b/ D RT ) p D v .v b/ v 2 (6.1) Man berechne Sattelpunkt der Funktion p.v/ für T D const:, d.h. 2 @ p @p D D0: @v T @v 2 T Für die erste Ableitung folgt aus (6.1) @p 2a 2a RT RT C 3 ) 3 D ; D0D 2 @v T .v b/ v v .v b/2 (6.2) und für die zweite Ableitung 2 6a 3 2a RT 2RT @ p ) D D @v 2 T .v b/3 v 4 v v3 .v b/3 (6.2) 3 RT 2 RT H) D v .vb/2 .v b/3 ) 2v D 3v 3b ) vc D 3b : (6.3) Die kritische Temperatur Tc wird aus (6.2) berechnet, RTc 2a 2a 8 a D ) RTc D 4b 2 ) RTc D : 3 2 3 .3b/ .3b b/ 27b 27 b (6.4) Aus (6.3) und (6.4) berechnet man die den kritischen Druck aus (6.1) pc D 8 a 27 b a 4 a D 2 9b 27 b 2 2b 3a 1 a ) pc D 2 27b 27 b 2 (6.5) b) Zustandsgleichung des Dieterici-Gases p.v a b/e vRT D RT ) pD RT e v b 101 a vRT : (6.6) Die erste Ableitung ist RT RT a @p a vRT C D e 2 e 2 @v T .v b/ .v b/ v RT RT a a D C 2 e vRT 2 .v b/ v .v b/ RT a .v b/ (6.6) D C 2 p 2 .v b/ v .v b/ RT a 1 D p: v 2 RT v b Aus (6.8) berechnet man die zweite Ableitung 2 1 2a a @ p C D p C @v 2 T v 3 RT .v b/2 v 2 RT D 1 2a ) 2.v v 3 RT b/ D v ) (6.7) (6.8) 1 v @p b @v T „ ƒ‚ … D0 p0 .v 2a 1 ) 3 D v RT .v b/2 (6.7) a 2 a D H) 2 3 v RT v .v b/ RT b/2 a vRT vc D 2b : (6.9) Vermittelst (6.7) berechnet man die kritische Temperatur Tc , a RT RT a D 2 v .v b/ .v b/2 (6.9) RTc a a D ) RT D : H) c 4b 2 2b b 4b v 2 .vb/ D ) (6.10) Einsetzen von (6.9) und (6.10) in (6.6) ergibt für den kritischen Druck a a a 4b exp pc D ) pc D 2 e 2 : a 2b b 2b 4b 4b (6.11) c) Für das van der Waalssche Gas erhält für (6.3), (6.4) und (6.5), a 8 TN 27 a a 1 b pN D 27 b 2 vN 3 b b vN 2 9b 2 pN 8 1 3 TN ) D ) pN C 2 .3vN 3 3 .3vN 1/ vN 2 vN 102 1/ D 8TN : (6.12) Mit (6.9), (6.10) und (6.11) berechnet man für das Dieterici-Gas (6.6) TN a 2 a a 2 4 b exp e D pN 2 b vN b 2 b vN TN a 4 b 2 4b ) pN D TN e2 .2vN 1/ 2 vN TN : (6.13) 2.0 1.5 pN Drei Isothermen für das van der Waals Gas, (6.12), 1.0 für T D 1; 05Tc (obere Kurve), T D Tc (mittle- re Kurve) und T D 0; 9Tc (untere Kurve). 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 vN 2.0 1.5 pN Drei Isothermen für das Dieterici Gas, (6.13), für 1.0 T D 1; 2Tc (obere Kurve), T D Tc (mittlere Kurve) und T D 0; 8Tc (untere Kurve). 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 vN Aufgabe 2 Aus den Zustandsgleichungen p vi D Ri T ; i D fA; Bg (6.14) folgt mit der Maxwellrelation aus dG D S dT C V dp, @si @vi Ri (6.14) D D @p T @T p p 103 (6.15) Integration ergibt die Entropie p C fi .T / : si .T; p/ D Ri p0 (6.16) Für konstanten Druck sind sind die spezifischen Wärmen gleich, @si cp;i D T D Tfi .T /0 cp ; @T p Die Ableitungen der beiden Funktionen fi .T /0 sind gleich. Der 3. Hauptsatz, si ! 0 für T ! 0 impliziert fA .0/ D fB .0/, damit sind die beiden Funktionen gleich, fA .T / D fB .T / f .T / : Die Entropien (6.16) legen die Übergangsenthalpie fest, pkoex pkoex C RB ln q D T .sA sB / D T RA ln p0 p 0 pkoex D T .RA RB / ln : p0 (6.17) Die Übergangsenthalpie wird im Phasengleichgewicht gemessen, d.h. für den Druck p D pkoex der Koexistenskurve. Für die Koexistenzkurve pkoex gilt dpkoex q D D dT T .vA vB / pkoex pkoex ln T p0 .Clausius Clapeyron Gleichung/ : (6.18) Integration durch Trennung der Variablen ergibt 1 Z pkoex dT dpkoex pkoex ln D p T 0 pkoex T0 ) ln ln D ln p0 T pkoex T0 T0 pkoex ) D D exp ) ln p0 T p0 T ) T0 pkoex D p0 exp T : (6.19) Einsetzen von (6.19) in (6.17) ergibt schließlich qD .RA RB / T0 : (6.20) für die Übergangsenthalpie. Die Übergangsenthalpie ist längs der Koexistenzkurve konstant. 104 Aufgabe 3 a) Die Lösung habe die Konzentration c. Für den Druck des gelösten Stoffes gelte das van’t Hoffsche Gesetz posm D nc kB T : (6.21) Aus der Duhem-Gibbs-Relation d D 1 @ DvD : @p T n s dT C v dp folgt mit v D V =N D 1=n, (6.22) Für das chemische Potential D .T; p; / gilt d T D0 @ @ @ d D dT C dp H) D p : @T p @p T @p T (6.23) Das chemische Potenial c .T; p/ des Lösungsmittels ist für p p und c 1, nc @ (6.21) kB T p D .T; p/ c .T; p/ D .T; p p/ .T; p/ (6.22) @p T n D .T; p/ ckB T (6.24) Für das reine Lösungmittel erfolgt der Übergang liquid$gasförmig an der Stelle .p; TS / des Phasendiagrams, liq .TS ; p/ D g .TS ; p/ .c D 0/ : (6.25) Ist in der flüssigen Phase ein Stoff der Konzentration c gelöst, dann ist das chemische Potential liq durch c;liq aus (6.24) zu ersetzen. Bei gleichem äußeren Druck p wird liq bei einer anderen Temperatur TS C TS gleich g sein, c;liq .TS C TS ; p/ D g .TS C TS ; p/ .c ¤ 0/ : (6.26) Durch (6.25) ist ein Zusammenhang zwischen der Konzentration c und der Änderung TS der Übergangstemperatur gegeben. b) In der gasförmigen Phase sei die Konzentration des Stoffes cg , in der flüssigen Phase cliq . Nach Teilaufgabe a, (6.26), folgt aus die Übergangstemperatur aus cliq ;liq .TS C TS ; p/ D cg ;g .TS C TS ; p/ : 105 (6.27) Vermittelst der Duhem-Gibbs-Relation d D s dT C v dp folgt (6.24) cliq ;liq .TS C TS ; p/ liq .TS C TS / cliq kB .TS C TS / liq .TS ; p/ sliq TS cliq kB TS ; (6.24) cg ;g.TS C TS ; p/ g .TS C TS / cg kB .TS C TS / g .TS ; p/ sg TS cg kB TS Der Term ckB TS ist quadratisch in den kleine Größen c und TS und kann deshalb vernachlässig werden. Mit (6.25) und (6.26) ergibt sich sliq TS C cliq kB TS D sg TS C cg kB TS ) .sg sliq /TS D .cliq cg /kB TS ) Mit der Umwandlungsenthalpie q D TS .sg TS D .cliq TS cg / TS D .cliq TS cg / kB : .sg sliq / sliq / folgt schließlich kB TS : q (6.28) c) Der äußere Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab, dadurch kommt es zu einer .1/ Siedepunktserniedrigung TS . Eine Salzkonzentration erhöht dagegen den Siedepunkt um TS.2/ . Damit das Wasser bei 100ı C siedet, müssen sich die beiden Effekte gerade kompensieren. Nimmt man eine konstante Steigung der Dampfdruckkurve an, so gilt für die Steigung p fest flüssig gasförmig p0 C p p0 T TS 106 p dpD p .1/ D ) TS D : (6.29) .1/ dT dpD =dT TS In der Gasphase ist die Salzkonzentration null, d.h. mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 3b erhält man TS.2/ D cliq R TS2 : q (6.30) Die Änderung der Siedetemperatur ist damit (6.29) TS D TS.1/ C TS.2/ D (6.30) R TS2 ! p D0: C cliq dpD =dT q (6.31) Der Wasserdampf verhalte sich für vg vliq wie ein ideales Gas, damit p vg D R TS ) vg D R TS : p (6.32) Die Änderung dpD =dT wird aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung, (6.18), bestimmt, dpD q q (6.32) q p D D dT TS .vg vliq T vg R TS2 ! p R TS2 p D : dpD =dT p q (6.33) Aus (6.31) berechnet man nun für die Salzkonzentration cliq D q (6.33) p dpD =dT R TS2 2 R T q p S D 2 q p R T S p : p (6.34) Die Druckänderung p=p wird aus der barometrischen Höhenformel, 0 p.z/ D p0 exp gz p0 berechnet. Es gilt p D p.z/ p0 ) p 0 D exp gz p0 p0 1 (6.35) Der Formelsammlung entnimmt für die Dichte der Luft %0 D 1; 293 kg/m3 bei einer Temperatur von 273 K und einem Luftdruck 1013 mbar. Daraus berechnet man für eine Höhe von z D 3 103 m 1; 293 mkg3 %0 m gzD 9; 81 2 3 103 m3 D 0; 376 ; 2 p0 1013 10 Pa s die Konzentration berechnet sich damit zu 0 gz 1 D e 0;376 C 1 D 0; 31 ) cliq 0; 31 : cliq exp p0 107 Aufgabe 4 Für vorgegebener Temperatur und Druck ist das Gleichgewicht durch G D N D minimal bestimmt. Variation ergibt für die freie Enthalpie .ıG/T;p K X K X X X @G˛ ınj ;˛ D j ;˛ ınj ;˛ : D @nj ;˛ p;T;ni;ˇ j D1 ˛D1 j D1 ˛D1 Aus X ˛D1 P ˛ (6.36) nj ;˛ D const: folgt, dass die Molzahlen die Nebenbedingung ınj ;˛ D 0 erfüllen müssen. Multiplikation dieser Gleichung mit den Lagrange-Multiplikatioren j und Addition mit (6.36) ergibt K X X j ;˛ j D1 ˛D1 j ınj ;˛ D 0 : Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn alle Klammern einzeln verschwinden j ;˛ j D 0 ; ˛ D 1; 2; : : : ; ; d.h. im Gleichgewicht sind die chemischen Potentiale einer Stoffkomponente in allen Phasen gleich. Bedingungen für das Phasengleichgewicht 1;1 2;1 :: : D 1;2 D : : : D 1; D 2;2 D : : : D 2; :: : (6.37) K ;1 D K ;2 D : : : D K ; Im System seien p, T und die Zusammensetzung jeder einzelnen Phase vorgeben. PK Sin in jeder Phase ˛ die K Molenbrüche x1;˛ ; x2;˛ ; : : : ; xK ;˛ abzüglich der Bedingung j D1 xj ;˛ D 1. Insgesamt 2 C .K 1/ Variablen, zu deren Bestimmung die K. 1/ unabhängige Gleichungen (6.37) zur Verfügung stehen. Das Sytem hat damit f D 2 C .K ) f D2CK 1/ K. 1/ D 2 C K .GibbschePhasenregel/ Freiheitsgrade. 108 C K K (6.38) Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 7 1. Betrachten Sie eine Phasenumwandlung 2. Art in der Landau Theorie. Die “freie Energie” hat die Form F.T; V; / D F0 C B 2 C D 4 ; mit als dem Ordnungsparameter und den temperatur- und volumenabhängigen Koeffizienten B.T; V / und D.Tc ; V /. Für den Koeffizienten B gilt aus Stabiltitätsgründen weiterhin B D b.V / .T Tc / : In der Umgebung der kritischen Temperatur Tc sind die Zustandsgrößen Potenzfunktionen von jT Tc j jt j. Die entsprechenden Exponenten sind die sog. kritischen Exponenten. Die Gleichgewichts- und Stabilitätsbedingungen sind 2 @F @F >0: D ˚ D 0 und @ @2 In der nachfolgenden Tabelle sind die physikalischen Größen mit ihren kritischen Exponenten aufgeführt: Physikalische Größe Ordnungsparameter Suszeptibiltität D .@=@˚/T Wärmekapazitäten C , C˚ kritischer TemperaturExponent bereich ˇ T < Tc 0 T < Tc T > Tc 0 ˛ T < Tc ˛ T > Tc Berechnen Sie die Potenzgesetze für den Ordnungsparameter, die Suszeptibilität und die Wärmekapazitäten und bestimmen Sie die Zahlenwerte der kritischen Exponenten in der Landau-Theorie. 2. Betrachten Sie folgende Funktion von zwei Variablen F .t; / D t 2 C t 3 : a) Bestimmen Sie für die Extremalfunktion @F E .t / aus D0: @ t 109 b) Bestimmen Sie die Konstanten a und b derart, daß F .t; / D F .a t; b / ist. c) Verifizieren Sie, daß dann E .t / t b=a gilt. d) Überzeugen Sie sich weiterhin, daß die Extremalbedingung an F .a t; b / auf b D E .at / führt. 3. Betrachten Sie die Binomialverteilung PN .n/ D N! pn q N .N n/!n! n im Grenzfall N ! 1 bei festem p und q D 1 p. a) Entwickeln Sie den Logarithmus der Binomialverteilung lnPN .n/ um den Mittelwert hni D Np bis zur quadratischen Ordnung in D n hni. Setzen Sie dazu n D Np C und N n D N q und verwenden Sie die Stirlingsche Formel N p N N ! 2N : e b) Der relevante Bereich einer scharfen Verteilung (in dem diese signifikant von Null verschieden ist) wird durch die Breite charakterisiert: jn hnij . n. Untersuchen Sie diesen Bereich der Verteilung in . Warum verschindet für N ! 1 dort der lineare Term in der quadratische aber nicht? Wie lautet demnach die Verteilungsfunktion in diesem Grenzfall (Normalverteilung)? Wie ist diese Verteilungsfunktion normiert? 4. Betrachten Sie eine n–dimensionale Kugel mit dem Radius R. Das infinitesimale Volumenelement lässt sich in Kugelkoordinaten schreiben als d n xqD dx1 dx2 : : : dxn D d˝n r n 1 dr. Dabei ist d˝n das Raumwinkelelement und r D diale Abstand vom Zentrum. x12 C : : : C xn2 der ra- a) Zeigen Sie für das Raumwinkelintegral Z n n=2 : d˝n D . n2 C 1/ Für nicht–negative ganzzahlige Argumente ist Argumente gilt die Integraldarstellung Z 1 .x/ D dt e t t x 1 : .n C 1/ D n! und für beliebige 0 ŒHinweis: Berechnen Sie Koordinaten. R1 1 d nx e 110 x12 x22 ::: xn2 in sphärischen und kartesischen b) Berechnen Sie das Volumen der n-dimensionalen Kugel: Z Vn D d nx : r R 111 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 i) Ordnungsparameter Aus der Forderung .@F=@/T D ˚ D 0 folgt @F @ T ( 0 D 2B C 4D3 D 2.B C 2D2 / D 0 ) D q Aus der Stabilitätsbedingung .@2 F=@2 /T > 0 folgert man ( 2 2B > 0 für D 0 @ F 2 q D 2B C 12D > 0 ) @2 T 4B > 0 für D B 2D B 2D : : (7.1) (7.2) Mit B D b.T Tc / ( ) B>0 B<0 für T > Tc für T < Tc folgt mit (7.2) für den Ordnungsparameter das Potenzgesetz (q b .Tc T / . t /ˇ für T < Tc 2D D 0 für T > Tc mit ˇD 1 : 2 ii) Suszeptibilität D 1 @˚ @ T D 1 @2 F @ 2 mit (7.3) erhält man T < Tc W D 2B (7.2) T D 1 ; 2B C 12D2 1 B 1 1 D 12 D ; D D 2 4B 4b.T Tc / 1 1 T > Tc W D D ; 2B 2b.T Tc / 112 (7.3) somit folgt für die Suszeptibilität ( 0 1 D 4b.T 1 Tc / . t / für T < Tc 4B ; D 1 D 2b.T1 Tc / t für T > Tc 2B daraus liest man 0 D D 1 ab. iii) Wärmekapazitäten Mit der Wärmekapazität cD dQ dS DT dT dT und S D S.T; /, @S @S dT C d ; dS D @T @ T folgt cDT @S @T @S C @ T d dT : Daraus folgen die Wärmekapazitäten @S C D T ; @T @S @S @ @S C˚ D T C DT : @T @ T @T ˚ @T ˚ (7.4) (7.5) Nach (7.3) ist D 0 für T > Tc , d.h. aus (7.4) und (7.5) folgt @S0 : C D C˚ D T @T Vermittelst der Maxwell-Relation S D .@F=@T / erhält man C D C˚ D @2 F0 T @T 2 C0 . t / 113 ˛0 ; (7.6) somit ist ˛ 0 D 0. Für T < Tc gilt mit der Maxwell-Relation für S @ @F @ @F0 @S (7.5) D T D T C˚ D T @T ˚ @T @T ˚ @T @T ˚ @ @B 2 @S0 T D T @T @T @T ˚ 2 @ B @ @B (7.6) 2 D C0 T 2 ; T @T 2 @T @T ˚ @ T @T @B2 @T ˚ mit B D b.T C D C0 Tc / folgt @ : 2bT @T ˚ (7.7) Aus ˚ D 2B.T; V / C 4D.Tc ; V /3 folgt für ˚ D const: @ @B @ @˚ 2 D0D2 C 2B C 12D @T @T ˚ @T ˚ @T ˚ @B @ @ b 2 B C 6D D ) ) D : @T ˚ @T ˚ @T ˚ B C 6D2 B Mit 2 D 2D für T < Tc folgt b b @ D : D @T ˚ B 3B 2B Eingesetzt in die Wärmekapazität C˚ ergibt C˚ D C0 D C0 C 2 bT b D C0 2 B T b2 t 2D ˛ b 2 2 T b 2 BT D C0 C B 2BD ; (7.8) daraus liest man ˛ D 0 ab. Zusammengefaßt: Physikalische kritischer Größe Exponent Ordnungsparameter ˇ 0 Suszeptibiltität ˛0 Wärmekapazitäten ˛ Potenzgesetz . t /ˇ 0 . t/ t 0 C C˚ . t / ˛ C C˚ t ˛ 114 Zahlen- Temperaturwert bereich 1=2 T < Tc 1 T < Tc 1 T > Tc 0 T < Tc 0 T > Tc Aufgabe 2 a) Aus F .t; / D t 2 C t 3 folgt @F @ t D 0 D 2t E C t 3 ) E D t2 : 2 (7.9) b) Es gelte F .a t; b / D a t 2b C 3a t 3 b D aC2b t 2 C 3aCb t 3 D F .t; / ; daraus folgt das Gleichungssystem a C 2b ^ 3a C b = = 1 1 Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt ergibt a C 2.1 3a/ D a C 2 6a D 5a C 2 D 1 und damit 1 C 10b D 5 ) bD 2 : 5 c) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b folgt b 2 5 D D2; 5 1 a und dem aus Teilaufgabe a (7.9) E t 2 D t b=a : d) Mit (7.10) aus Teilaufgabe b folgt @F .at; b D 0 D 2a 2b t C 3a b t 3 @ t ) 2a 2b t D 3a b t 3 ) 2b D 2a t 2 D .a t /2 1 a 2 ) b D . t / : 2 115 ) aD 1 ; 5 (7.10) Aufgabe 3 a) Mit den Logarithmen-Gesetzen folgt N! n N n p q ln PN .n/ D ln .N n/!n! D ln N ! ln.N n/! ln n! C n ln p C .N n/ ln q : Vermittelst der Stirlingschen Formel N p N 1 N ! 2N ) ln N ! ln.2N / C N ln N e 2 (7.11) N (7.12) berechnet man ln n! ln.N 1 ln.2 n/ C n ln n n ; 2 1 n/! lnŒ2.N n/ C .N 2 (7.13) n/ ln.N n/ .N n/ : (7.14) Einsetzen der Gleichungen (7.12), (7.13) und (7.14) in (7.11) ergibt 1 2 ln PN .n/ D ln.2N / C N ln N N 1 N n/ lnŒ2.N n/ .N n/ ln.N n/ C . 2 1 ln.2 n/ n ln n C n C n ln p C .N n/ ln q 2 1 N D ln C N ln N .N n/ ln.N n/ 2 2.N n/n n ln n C n ln p C .N n/ ln q : (7.15) Mit n D Np C und N n D N q folgt weiter 1 N ln PN .n/ D ln C N ln N .N q / ln.N q / 2 2.N q/.Np C / .Np C / ln.Np C / C .Np C / ln p C .N q / ln q 1 ln 2 2.N q N /.Np C / 1 D ln 2 2N q.1 1 1 D ln 2 2Npq 116 N /Np.1 C Np / Nq 1 ln 1 C 2 Nq 1 ln 1 C 2 Np 1 1 1 D ln ln 1 2 2Npq 2 .N q / ln.N q / ln.N q / ln q/ D ln N q 1 D ln N D ln N ln.Np C / ln p D ln N D ln N 1 ln 1 C C N ln N Nq 2 Np ln q/ .Np C / ln.Np C / ln p Nq ln q C ln q C ln 1 ln q Nq ; C ln 1 Nq C ln p C ln 1 C ln p Np C ln 1 C Np 1 1 1 1 D ln ln 1 ln 1 C C N ln N 2 2Npq 2 Nq 2 Np .N q / ln N C ln 1 Nq .Np C / ln N C ln 1 C Np 1 1 1 1 D ln ln 1 ln 1 C 2 2Npq 2 Nq 2 Np C ln N N .N q / .Np C / .N q / ln 1 .Np C / ln 1 C Nq Np ln.1 C x/ x ln.1 x/ x2 C O.x 3 / ; 2 x2 x C O.x 3 / : 2 117 1 1 1 2 1 2 1 D ln 2 2Npq 2 Np 2 Np N q 2 Np 2 1 1 2 .Np C / .N q / Nq 2 Nq Np 2 Np C ln N N .N q / .Np C / „ ƒ‚ … 0 ;O. 1/!0 2 2 1 1 1 1 1 D ln 2 2Npq 2 Np 2 Np N q 2 Np 2 2 1 1 .N q / .Np C / Nq 2 Nq Np 2 Np 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 D ln C C 2 2Npq N 2 p q 4 N 2q2 4 N 2 p2 2 2 1 1 .N q / .Np C / Nq 2 Nq Np 2 Np .N q / Nq 1 2 2 Nq 2 1 3 N q 2 N 2q 2 1 1 2 Np 1 2 D C 2Nq 1 1 2 2 Nq 1 1 D ln 2 2Npq 1 1 C 2 C 4 N 2p2 1 2 .Np C / Np 2 Np 2 1 2 1 3 C C 2 Np Np 2 N 2p2 1 1 1 N 2 p q 1 1 1 1 4 N 2 p2 2 N q 1 1 : 2 Np Die Entwicklung des Logarithmus der Binomialverteilung lautet damit 1 1 1 1 1 C ln PN .n/ ln 2 2Npq N 2 q p 1 1 1 1 1 1 1 2 1 C C : 4 N 2p2 4 N 2 p 2 2 N q 2 Np 118 (7.16) p N , damit erhält man aus (7.16) 0 1 1 1 1 N !1 1 C ln PN .n/ ! ln 2 2Npq 2 q p N 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 C C 4 N 2 p2 4 N 2 p 2 2 N q 2 Np p 1 1 2 1 1 D ln C C O.1= N / 2 2Npq 2 Nq Np b) Für große N gilt hi 1 1 pCq C D ; Nq Np Npq mit n D Np C ) n C N N n D Nq C nD N .p C q/ C 2 ) p C q D 1 N folgt 1 1 1 C : Nq Np Npq 1 1 D ln 2 2Npq 2 1 1 1 ln 2 Npq 2 2 n2 2 ; 2 n2 dabei wurde hn2 i D Npq verwendet. Daraus folgt für die Binomialverteilung 1 2 PN .n/ D exp ln p 2 n2 2 n2 1 2 Dp exp 2 n2 2 n2 1 .n hni/2 ) PN .n/ D p exp : (7.17) 2 n2 2 n2 Substitution y WD n hni und p Z 1 a2 x 2 ; .a > 0/ dx e D a 0 ergibt für die Normierung Z 1 p y2 1 1 2 dy exp p 2 n 1: D p 2 n2 2 n2 0 2n2 119 Aufgabe 4 a) Mit Z 1 dx e p Z ) D a a2 x 2 1 1 dx e x2 1 D p erhält man Z 1 n ˚ X n d x exp xi2 D n=2 : 1 iD1 Für d npx D d˝n r n 1 dr berechnet man vermittelst der Substitution r D dt =.2 t/ Z 1 Z 1 Z Z dt .n 1/=2 t n 1 r2 dr r d˝n e D d˝n p t e 2 t 0 0 Z Z 1 1 n dt t 2 1 e t D d˝n 2 0 „ ƒ‚ … D ) Z D p t ! dr D .n=2/ Z n d˝n n=2 2 1 2 2 n=2 : d˝n D . n2 / (7.18) Aus .x/ D Z 1 dt e t tx 1 0 folgt .x C 1/ D Z 1 D Dx Z e 0 t 1 x t D 1 Z x C t dt e 0 p:I: t 1 dt 0 1 dt e t d e dt x tx t tx 1 0 0 dt e Z t tx 1 D x .x/ ; die Gleichung (7.18) kann damit umgeformt werden, Z 2 n=2 2n n=2 n n=2 n n=2 d˝n D D D D : n . n2 / n . n2 / . n2 / . 2n C 1/ 2 120 (7.19) b) Für das Volumen einer n-dimensionalen Kugel erhält man mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a, Vn D Z drr n 1 d˝n D Z R dr r 0 rn D n R 0 ) Vn D n 1 Z d˝n n n=2 Rn n n=2 D n . n2 C 1/ . 2n C 1/ n=2 Rn : . 2n 1/ 121 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 8 1. Betrachten Sie ein abgeschlossenes, quantenmechanisches System, das aus einem Ensemble unterschiedlicher Zustände aufgebaut ist. Ein bestimmter Zustand j i i ist mit der Wahrscheinlichkeit pi realisiert, wobei gilt X pi D 1 : i Der Mittelwert einer Observablen A ist hAi D X %D pi j i ih i j : P i pi h i jAj ii und i ist die Dichtematrix des Systems. a) Zeigen Sie, dass für den Mittelwert hAi D Tr.%A/ gilt. Bestätigen Sie sodann, %2 ¤ %. b) Verifizieren Sie, dass die Entropie X S WD kB Tr. ln / ; ln % D ln pi jiihij ; i eines abgeschlossenen quantenmechanischen Systems zeitlich konstant ist. 2. Betrachten Sie einen ein-dimensionalen harmonischen Oszillator beschrieben durch HD p2 1 C m! 2 q 2 : 2m 2 Die Eigenfunktionen 1 ~! En D n C 2 n .q/ für die Eigenwerte sind gegeben durch n .q/ D m! ~ 14 Hn ./ p e 2n n! 1 2 2 ; D r m! q: ~ mit Hn ./ als den hermiteschen Polynomen, n 2 Z 1 d e n 2 2 Hn ./ D . 1/ e du . 2iu/ne e Dp d 1 122 u2 C2iu : Berechnen Sie die Matrixelemente der Dichtematrix % D expf ˇH g, ˇ D kB T , des ein-dimensionalen harmonischen Oszillators im Ortsraum. Nutzen Sie die Integraldarstellung der hermiteschen Polynome und die Integralformel Z 1 Z 1 n n n X 1 XX dx1 : : : dxn exp aj k xj xk C i bk xk 2 j 1 1 k k n X 1 .2/ 2 Aj k1 bj bk : exp Dp 2 det.A/ Diskutieren Sie den Grenzfall ~! D ˇ~! 1 : kB T 3. Berechnen Sie hq 2 i und hp 2 i aus der Dichtematrix in der Ortsdarstellung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator, verwenden Sie dazu Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 2. 123 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Die Spur ist definiert, vermöge X Tr X D hnjX jni ; n mit fjnijg als ein beliebiges vollständiges Orthonormalsystem. Es gilt damit XX Tr.%A/ D pi hnj i ih i jAjni n D i XX n i pi h i jA und %2 D XX i j pi pj j i ih jnihnj „ƒ‚… D1 i j j ih j j ii D X i pi h i jAj ii D hAi ; ¤%: b) Mit der Schrödinger-Gleichung i~ @ jii D H jii ; @t i~ @ hnj D hnjH @t folgt X X @ @ ln % D ln pi jiihij D ln pi @t @t i i iX ln pi H ; jiihij : D ~ i H ; jiihij ~ i Die zeitliche Änderung der Entropie lautet somit @ @ S.t / D kB Tr %P ln % C % ln % @t @t @ D kB Tr %P ln % kB Tr % ln % : @t 124 Für den ersten Term folgt mit der von Neumann-Gleichung i kB Tr ln % ; H ~ ikB D Tr ln % %H ln %H % ~ ikB D Tr H ln % % H % ln % ~ ikB D Tr H ln %; % 0 ~ Im vorletzten Schritt wurde die zyklische Invarianz der Spur verwendet, Tr.ABC / D Tr.CAB/. Der zweite Term ist @ ln % kB Tr % @t ˇ ˇ i XXX D kB pi ln pj hnjiihi ˇ H ; jj ihj j ˇni ~ n i j ˇ ˇ ikB X pi ln pj hi ˇ H ; jj ihj j ˇnihnj ii D ~ n;i;j „ƒ‚… D1 ˇ ˇ ikB X D pi ln pj hi ˇ H ; jj ihj j ˇii ~ i;j D D ˇ ikB X pi ln pj hi ˇ H jj ihj j ~ i;j ˇ jj ihj jH ˇii ikB X pi ln pj hijH jj i hj jii hijj ihj jH jii „ƒ‚… ~ i;j ikB X D pi ln pi hijH jii ~ j D ıij hijH jii 0 ; damit gilt für die zeitliche Ableitung der Entropie in einem geschlossenen quantenmechanischen System @ S.t / 0 : @t Aufgabe 2 Für die Dichtematrix gilt %DZ 1 e ˇH DZ 1 X E0 e ˇE 0 E 0 E 0 D Z 125 1 X E0 e ˇE 0 jE 0 ihE 0j ; mit E 0 D jE 0 i. Vernachlässigt man den Normierungsfaktor Z 0 hq je ˇH 00 jq i D 1 X e ˇEn n .q 0 / n .q 00 1 , so folgt / nD0 r 02 002 m! e C e D ~ 1 02 002 / 2 . C n Z du n Z dv 1 X e ˇEn nD0 . 2iu/ . 2iv/ 2 2 p e u C2iu p e v C2iv 2n n! 2n n! r Z Z 02 002 1 n X m! e . C /=2 2 . 2uv/n du dv e ˇEn D n ~ 2 n! nD0 expf u2 v 2 C 2iu C 2ivg r Z Z 02 002 1 X m! e . C /=2 . 2uv/n du dv e D ~ n! .nC 12 /ˇ~! nD0 expf u 2 2 v C 2iu C 2ivg ; (8.1) Summation über n ergibt für den Integranden e 1 2 ˇ~! De expf .u2 C v 2 / C 2i.u C v/ 1 2 ˇ~! exp 2uve ˇ~! g 1 2 2 ˇ~! 2u C 2v C 4uve C i 2u C 2v ; 2 (8.2) daraus liest man die Matrix für die Integralformel 1 e ˇ~! AD2 e ˇ~! 1 (8.3) ab. Für die Matrix A erhält man det.A/ D 4 1 e 2ˇ~! ; A 1 D 2.1 1 expf 2ˇ~!g/ 1 e e ˇ~! Die Lösung des Integrals lautet damit n D 2, (8.4), b1 D 0 und b2 D 00 , 2 0 00 e ˇ~! C 002 / 1 e 2 ˇ~! p exp 2.1 expf 2ˇ~!g/ 2 1 expf 2ˇ~!g/ 02 2 0 00 e ˇ~! C 002 1 exp e 2 ˇ~! : Dp 1 expf 2ˇ~!g 1 expf 2ˇ~!g/ 2 1 02 . 2 126 ˇ~! 1 (8.4) Für (8.1) erhält man schließlich r 1 m! e 2 ˇ~! 0 ˇH 00 p hq je jq i D ~ 1 e 2ˇ~! 1 02 exp C 002 2 02 2 0 00 e ˇ~! C 002 1 e 2ˇ~! : Einige hyperbolische Umformungen, mit x D ˇ~!, 1 2x 1 1 ; Dp Dp ex e x 2 sinh x 1 e 2x 02 2 0 00 e x C 002 1 02 C 002 2 1 e 2x 2 2 0 00 e x 1 02 002 1 C D C 2 1 e 2x 1 e 2x 1 e 2x 2 2 0 00 1 C D 02 C 002 2 1 e 2x ex e x .1 C e 2x / 1 0 00 D 02 C 002 C 2 1 e 2x sinh x 0 00 1 02 D C 002 coth x C 2 sinh x p e r D 1 02 0 00 m! 002 exp C coth.ˇ~!/ C 2~ sinh.ˇ~!/ 2 sinh.ˇ~!/ p m!=~q erhält man für den Exponenten 1 m! 02 m! m! q 0 q 00 002 D q C q coth x C q 02 C q 002 coth x 2 ~ ~ sinh x 2~ Mit D Desweiteren gilt, q0 q0 2 C q 0 C q 00 D 2 q 02 C q 002 ; 2 2 q 00 q 0 C q 00 D 4q 0 q 00 ; q 00 2 127 2q 0 q 00 : sinh x der Exponent kann damit weiter umgeformt werden, 4q 0 q 00 m! 02 002 2 q C q coth x 4~ sinh x m! .q 0 q 00 /2 .q 0 C q 00 /2 0 00 2 0 00 2 D q q coth x C q C q coth x C 4~ sinh x m! 1 2 cosh x C 1 2 cosh x D C q 0 q 00 q 0 C q 00 ; 4~ sinh x sinh x vermittelst tanh sinh x cosh x 1 x D D 2 1 C cosh x sinh x erhält man für den Expoenten m! 1 0 00 2 cosh x C 1 0 00 2 cosh x C q q D q Cq 4~ sinh x sinh x m! x x 0 00 2 0 00 2 D coth q Cq tanh C q q :2 4~ 2 2 0 hq je ˇH r jq i D 00 m! 2~ sinh.ˇ~!/ 2 ˇ~! m! q 0 C q 00 tanh C q0 exp 4~ 2 128 q 00 2 ˇ~! coth 2 : Für ˇ~! 1 folgt sinh ˇ~! ˇ~!, tanh 12 ˇ~! 21 ˇ~! und coth 21 ˇ~! . 12 ˇ~!/ 1 , 0 hq je ˇH r jq i D 00 m! 2~ sinh.ˇ~!/ ˇ~! ˇ~! m! 0 00 2 0 00 2 C q q coth q Cq tanh exp 4~ 2 2 r m! 2~ˇ~! 2 m! 0 00 2 ˇ~! 0 00 2 exp q Cq C q q 4~ 2 ˇ~! r 2 ˇm! m m 0 00 2 0 00 2 exp q Cq q q D 2~2 ˇ 8 2ˇ~2 ˇm! 2 0 00 2 D exp q Cq 8 s 1 m 1 m 0 00 2 q q : exp 2 ~2 ˇ 2 ˇ~2 Für m=.~2 ˇ/ ! 1 gilt r a 1 lim e 2 a.x y/ D ı.x a!1 2 y/ ; somit 0 hq je ˇH 00 jq i ! exp ˇm! 2 0 00 2 q Cq ı.q 0 8 129 q 00 / : Aufgabe 3 Für den den Mittelwert gilt hAi D Tr.A expf ˇH g/ Tr expf ˇH g/ DZ 1 Tr.A expf ˇH g/ und damit 2 1 Tr.e 1 Z q /DZ dq q 2 hqje ˇH jqi ; 2 Z @ 0 ˇH 00 0 2 1 ; i~ 0 hq je jq i dq hp i D Z @q q 0 Dq 00 Z ˇH Z D Tr e D dq hqje ˇH jqi : hq i D Z ˇH 2 (8.5) (8.6) (8.7) Für Z berechnet man mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1 und q D q 0 D q 00 , Z 1r m! m! 2 ˇ~! exp q tanh ZD 2~ sinh.ˇ~!/ ~ 2 1 r Z 1 ˇ~! 2 m! m! D tanh q exp 2~ sinh .ˇ~!/ 1 ~ 2 s r p ~ m! D 2 ~ sinh.ˇ~!/ m! tanh. 21 ˇ~!/ s s 1 1 D D 1 .ˇ~!/ 1 2 sinh .ˇ~!/ tanh. 2 ˇ~!/ 2 sinh.ˇ~!/ cosh sinh.ˇ~!/ 1 Dp 2Œcosh.ˇ~!/ D Aus Z 1 e 1 1 D 1 2 sinh . 21 ˇ~!/ 1 2 ˇ~! e ˇ~! 2 dx x e D 1 expf 21 ˇ~!g expf : a2 x 2 1 Z 1 ˇ~!g 2 (8.8) 1 1 dx e a2 x 2 D p a 1 p D 2 3 2a 2a (8.9) folgt für (8.1) ~ 1 D coth ˇ~! ; : hq i D 2m! 2 2m! tanh. 12 ˇ~!/ 2 ~ somit ist ~! ˇ~! 1 1 m! 2 hq 2 i D cosh D hH i ; 2 4 2 2 hH i D 130 ~! ˇ~! coth : 2 2 (8.10) Berechnung der Ableitungen ˚ d d 2 2 exp A B.x C y/ C C.x y/ dx dx ˚ d D 2A B.x C y/ C C.x y/ exp A B.x C y/2 C C.x dx 2 D 4A ŒB.x C y/ C C.x y/2 2A.B C C / ˇ ˚ ˇ 2 2 ˇ exp A B.x C y/ C C.x y/ ˇ xDy ˚ 2 2 2 2 D 16A B x 2A.B C C / exp 4ABx ; y/ d.h.unter Berücksichtigung des Faktor . i~/2 sind die Integrale Z 1 Z 1 2 2 .4AB/x 2 2 2 2 dx x e C 2~ A.B C C / dx e .4AB/x ~ .4AB/ 1 1 zu lösen. Mit 4AB D 4 ˇ~! m! m! ˇ~! tanh D tanh D a2 4 ~ 2 ~ 2 erhält man unter Berücksichtung von (8.6) und (8.9) hp 2 i D ~2 a42 2 C 2~2 A.B C C / 2a ˇ~! ˇ~! ˇ~! 2 m! 2 m! tanh D ~ tanh C 2 ~ C coth 4 2 ~ ~ 2 2 2 2 ˇ~! ~m! coth ; D 2 2 d.h. 1 ~! ˇ~! (8.10) 1 hp 2 i D coth D hH i ; 2m 4 2 2 hp 2 i D mhH i : 131 2 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 9 1. In einem Volumen V bewegen sich N unabhängige Gasmoleküle. Betrachten Sie im Folgenden ein Teilvolumen v. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit wN .n/, n Moleküle in v zu finden. b) Bestimmen Sie die mittlere Teilchenzahl hni im Teilvolumen v. c) Berechnen Sie die relative Schwankung p h.n hni/2 i : hni Diskutieren Sie die Spezialfälle v D V , v D V =2 und v D 10 10 V. d) Geben Sie eine einfache Näherung p für N hni an. Verwenden Sie, dass für große x die Stirlingsche Formel x! D 2xx x =e x C : : : gilt. 2. Betrachten Sie ein System von N freien Teilchen der Masse m mit der nicht-relativistischen Energie-Impuls-Beziehung N 1 X 2 E fpEi g D pEi : 2m iD1 Berechnen Sie die Zahl der Zustände Z VN d 3 pE1 : : : d 3 pEN : ˝.E0 ; V; N / D 3N h N! E.fp Ei g/E0 Beachten Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 4 von Blatt 7. 3. Betrachten Sie N ununterscheidbare harmonische Oszillatoren der Masse M und der Frequenz !, die nicht miteinander wechselwirken. Zeigen Sie, dass die Zahl der Zustände, deren Energie kleiner als E0 ist, durch 3N E0 1 ˝.E0 ; !; N / D N ! .3N C 1/ ~! gegeben ist. 132 4. Zeigen Sie, dass die Ortsdarstellung der Dichtematrix expf ˇH g für den Hamiltonoperator H .p; q/ durch ~ @ 0 0 ˇH 00 ı.q 0 q 00 / ;q hq je jq i D exp ˇH 0 i @q gegeben ist, mit ~ @ 0 ;q H i @q 0 als der Ortsraumdarstellung von H und ı.q 0 q 00 / als der Dirac-Delta-Funktion. Werten Sie Ihr Ergebnis für ein freies Teilchen H D pE 2 =2m aus und berechnen Sie die Dichtematrix in der Ortsraumdarstellung. 133 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Es liegt eine Binominalverteilung N wN .n/ D pn q N n ; n mit p D v=V und q D 1 (9.1) p vor. a) Wahrscheinlichkeit n Moleküle in v zu finden ist durch Gleichung (9.1) gegeben. Normierung: N X nD0 wN .n/ D N X N nD0 n pn q N n D .p C q/N D .p C 1 p/N D 1N 1 : b) Für den Mittelwert hni gilt hni D N X nwN .n/ ; (9.2) nD0 damit folgt N N N X X X N N n N n n N n hni D n p q D np q D p@p p n q N n n nD0 nD0 nD0 N X N p n q N n D p@p .p C q/N D pN .p C q/N 1 D p@p n nD0 v D pN .p C 1 p/N 1 D pN D N V N v : ) hni D V c) Es gilt ˝ ˛ ˝ .n hni/2 D n2 ˛ 2nhni C hni2 D hn2 i D hn2 i 134 2hni2 C hni2 hni2 ; n (9.3) Für hn2 i berechnet man mit n2 p n D .p@p /.p@p p n /, 2 hn i D N X nD0 2 n wN .n/ D p@p D .p@p / 2 N X N n nD0 N X N n nD0 pn q N n n D p@p p@p .p C q/N D p@p pN .p C q/N 1 D p N .p C q/N 1 C pN .N D pN C p 2 N .N p@p p n q N 1/ : 1/.p C q/N 2 (9.4) Die relative Schwankung ist damit p p hn2 i hni2 pN C p 2 N .N 1/ p 2 N 2 D hni pN q p pN C p 2N2 p 2 N p 2N2 pN .1 D D pN pN s p hn2 i hni2 1 p D : ) hni pN Mit p D s 1 N v V V folgt v v p/ D 8̂ ˆ <0 ˆ :̂ 1 N q 1010 N vDV v D V2 v D 10 10 V d) Für N hni ist v V , d.h. nur n V ist relevant. Für die Binomialverteilung (9.1) gilt mit p D v=V und q D 1 p D 1 v=V N wN .n/ D pn q N n n N! D n!.N n/! 135 v V n 1 v V N n : D Vv aus Teilaufgabe b folgt Vermittelst der Sterlingschen Formel und hni N p 2N N N e N n hni n hni N n 1 1 wN .n/ D p n! 2.N n/.N n/N n e N N N 12 n N n n n 1 hni N n n n hni 1 N 1 D e 1 n! N N Nn N 1 2 hnin n n n N n hni N n D 1 e 1 1 n! N N N Näherungen für x D n=N 1, .1 1 2 x/ 1 C O.x/ ; ln.1 x/ x C O.x 2 / und für die letzten beiden Terme, n N N n hni n 1 ln 1 N N D .n N / ln.1 x/ C .N n/ ln.1 .n somit exp .n N /x n/xN D .N .n x/ N N/ hni .N n/ N n n 1 D exp N N expfn hnig n N .N n/ hni ; N n N/ N hnin e n! n en hni D hnin e n! hni 1 n N .Poisson hni N Verteilung/ Aufgabe 2 Die totale Energie des Systems ist N Etot 1 X 2 D pEi ; 2m iD1 N X iD1 pEi 2 2mE ; (9.5) 136 somit lautet das zu lösende Integral mit d n x D d˝n r n 1 dr, Z 3 3 d pE1 : : : d pEN D Etot E0 Z p Z2mE0 dp p 3N d˝3N 1 0 p2mE0 p 3N D d˝3N 3N 0 Z .2mE0 /3N=2 D d˝3N : 3N Z Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4 von Blatt 7, d˝n D n n=2 ; . n2 C 1/ folgt schließlich ˝.E0 ; V; N / D V N .2mE0 /3N=2 3N 3N=2 h3N N ! 3N C 1/ . 3N 2 ) ˝.E0 ; V; N / D V N .2 mE0 /3N=2 : h3N N ! C 1/ . 3N 2 Aufgabe 3 Mit der Hamiltonfunktion für den harmonischen Oszillator HD N X pE 2 i iD1 2m C N m! 2 qEi 2 m! 2 X pEi 2 D C qEi 2 : 2 2 2 2 ! m iD1 Die totale Energie lautet Etot n n m! 2 X pEi 2 m! 2 X 2 2 D C qEi D .tEi C qEi 2 / ; 2 2 2 ! m 2 iD1 iD1 somit E 2 D N X iD1 .tEi 2 C qEi 2 / < 2E0 : m! 2 137 tE pE ; m! Die mikrokanonische Zustandssumme ist damit Z 1 d 3 qE1 : : : d 3 qEN d 3 pE1 : : : d 3 pEN ˝.E0 / D 3N N !h Etot <E0 Z 1 d 3 qE1 : : : d 3 qEN .m!/3N d 3 tE1 : : : d 3 tEN D N !h3N Etot <E0 Z 3N .m!/ D N !h3N d 3 qE1 : : : d 3 qEN d 3 tE1 : : : d 3 tEN Etot <E0 3N .m!/ D N !h3N Z d˝6N Z r 2E0 m! 2 d 6N 1 0 r 2E0 m! 2 Z .m!/3N 6N d˝6N D N !h3N 6N 0 6N=2 Z .m!/3N 2E0 1 D d˝6N N !h3N m! 2 6N 6N=2 1 6N 6N=2 .m!/3N 2E0 D N !h3N m! 2 6N . 6N C 1/ 2 3N 3N 3N .m!/3N 2E0 1 2E0 m ! 1 6N D .3N C 1/ D N ! .3N C 1/ N !h3N m! 2 6N m h! 2 3N 3N E0 1 2 E0 1 ) ˝.E0 / D : D ~! N ! .3N C 1/ 2 N ! .3N C 1/ ~! Aufgabe 4 Die Schrödingergleichung ist gegeben durch H . ih@q 0 ; q 0 / 'l .q 0/ D El 'l .q 0 / mit 'l .q 0 / als den normierten Eigenfunktionen und El als den Eigenwerten. Die Dichtematrix hat im Ortsraum die Darstellung X hq 0 je ˇH jq 00 i D e ˇEl 'l .q 0/'l .q 00/ : l Mit e ˇH D 1 X nD0 Hn . ˇ/ n! n 138 und der Schrödingergleichung erhält man @ 0 exp ˇH ih 0 ; q 'l .q 0/ D e ˇEl 'l .q 0 / : @q Die Dichtematrix kann (formal) geschrieben werden als X 0 hq 0 je ˇH jq 00 i D e ˇH .q / 'l .q 0/'l .q 00/ l De ˇH .q 0 / ı.q 0 q 00 / ; mit ı.q 0 q 00 / D X 'l .q 0 /'l .q 00/ ; l wenn f'l g ein vollständiger orthonormierter Satz von Basisfunktionen ist. Die Entwicklung einer beliebiger Funktion f .q/ nach den Basisfunktionen ist f .q/ D 1 X cl 'l .q/ : l D0 Multiplikation mit 'm .q/ und Integration über q ergibt Z X Z X dq 'm f .q/ D cl dq 'm .q/'l .q/ D cl ıl m D cm ; l l damit folgt f .x/ D D 1 Z X dq 0 'l .q 0/f .q 0/'l .q/ l D0 Z dq 0 X 1 'l .q 0/'l .q/ l D0 Z 0 f .q / D dq 0 ı.q q 0 /f .q 0 / : Die Relation gilt für beliebige f .q/, die f'l g ergeben damit 1 X l D0 'l .q 00/'l .q 0 / D ı.q 0 q 00 / .Vollständigkeitsrelation/ : Für ein freies Teilchen hat die ı-Funktion die Darstellung 3 Z 1 1 00 E 0 0 00 d kE e i k.qE qE / ; ı.E q qE / D 2 1 139 mit der Lösung für ein freies Teilchen Ek D ~2 E 2 k 2m folgt 0 hE q je ˇp2 =.2m/ 00 jE q iD D 1 2 1 2 3 Z 3 Z 1 1 1 E d ke ˇ~ 2 2m kE 2 E e i k.qE 0 qE 00 / ˇ~2 E 2 E q0 E k C i k.E d k exp 2m 1 00 qE / Umformung des Exponenten ergibt ˇ~2 E 2 E q 0 qE 00 / k C i k.E 2m ˇ~2 E 2 2im E 0 00 k.E q qE / k D 2m ˇ~2 2 ˇ~2 E 2 2im E 0 im 00 D k.E q qE / C k .E q 0 qE 00 /2 2m ˇ~2 ˇ~2 2 im 0 00 2 .E q qE / ˇ~2 2 ˇ~2 E im 0 m 00 .E q qE / .E q 0 qE 00 /2 k D 2 2m ˇ~ 2ˇ~2 „ ƒ‚ … 2 D ˇ~ xE 2 2m D D Dx E m .E q0 2ˇ~2 1 2 1 2 3 3 qE 00/2 exp m .E q0 2ˇ~2 m .E q0 2ˇ~2 3=2 exp 00 2 qE / 00 2 qE / Z 1 1 d xE e 2 m ˇ~2 3=2 und damit 0 hE q je ˇp2 =.2m/ 00 jE q i/ D m 2ˇ~2 exp m .E q0 2ˇ~2 für ein freies Teilchen. 140 00 2 qE / ˇ~ 2 2m ; x E2 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 10 1. Ein Zylinder, Radius R und Länge `, ist mit einem idealen Gas gefüllt. Der Zylinder rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ! um seine Längsachse (z-Achse). Die Hamiltonfunktion, welche die Bewegung im rotierenden Koordinatensystem beschreibt ist H D H !L ; E als dem Drehimmit H als der Hamiltonfunktion für das ruhende Bezugssystem und L puls. Gravitationseffekte seien vernachlässigbar gering. Berechnen Sie den Mittelwert h%i der Dichte des idealen Gases, wenn sich das Gas bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht befindet. 2. Betrachten Sie ein System, dass durch die Variablen xi , i D 1; : : : n, beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen pi .xi / der Variablen xi seien voneinander unabhängig. a) Zeigen Sie, dass die Entropie des Systems durch S D kB n Z X dxi pi .xi / ln pi .xi / iD1 gegeben ist. Betrachten Sie nun die xi als die drei kartesischen Geschwindigkeitskomponenten vi eines idealen Gasteilchens. Das Gas befinde sich im Gleichgewichtszustand mit der Temperatur T . Nehmen Sie an, dass die kinetische Energie jeder Komponente 21 kB T ist. b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass im Zustand maximaler Entropie pi .Vi / D m 2kB T 12 exp mvi2 2kB T ; mit m als der Masse eines Gasteilchens, gilt. c) Die Wahrscheinlichkeit, das ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen vE und vE Cd vE besitzt ist P .E v /d 3 vE, wobei vE jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann. Berechnen Sie explitzit P .E v /. 141 3. In einem Atomstrahlofen befindet sich ein Gas der Temperatur T . Durch eine nahezu punktförmige Öffnung entweicht ein Gasstrahl ins Vakuum. Die Geschwindigkeit der Teilchen im Ofen unterliegt einer Maxwell-Verteilung. Im Abstand a wird durch eine ebenfalls nahezu punktförmige Öffnung der vertikale Anteil ausgeblendet. Im Abstand ` a wird der Strahl auf einem Schirm aufgefangen. Blende Schirm Ofen x a ` z a) Zeigen Sie, dass die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit die Blende horizontal mit der Geschwindigkeit vx verlassen durch 32 mvx2 m dN 3 P vx exp DN n dvx dt 2kB T 2kB T gegeben ist. Dabei ist n die Dichte der Teilchen im Ofen. b) Berechnen Sie die Intensitätsverteilung I.z/ D d NP dz auf dem Schirm unter Berücksichtigung der Schwerkraft, die nur zwischen Schirm und Blende wirken soll. 142 z 4. In einem sehr langen aufrecht stehenden Kreiszylinder mit Grundfläche A befindet sich ein ideales Gas der Temperatur T . Das Gas besteht aus N Teilchen der Masse m. Auf die Teilchen wirke nur die Schwerkraft parallel zur Zylinderachse. Die Teilchen unterliegen einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen bei .E qi ; qEi C d qEi / zu finden ist Pq dq1 : : : dqn , mit Pq D C expf V =kB T g, die Normierungskonstante und V das Potential ist, in welchem sich das Gas befindet. gE Berechnen Sie den Druck p.z/ in Abhängigkeit von der Höhe z. A 143 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Das Gas ist im thermischen Gleichgewicht bezüglich des rotierenden Koordinatensystems. Die interne Struktur des Gases kann vernachlässigt werden. Ein Gasmolekül hat die Koordinaten .xi jyi jzi / bzgl. des rotierenden Bezugssystems. Der Zylinder rotiert um die z-Achse, damit ist die Komponente des Drehimpulses in z-Richtung "0x 1 0p 1# x E z D .Er p/ .L/ E z D @y A @ py A D .xpy ypx /E ez : z pz z Im ruhenden Zylinder hat ein ein beliebiges Teilchen i die Hamiltonfunktion Hi D pEi2 C .xi ; yi ; zi / ; 2m mit dem (Rand-)Potential ( 0 .xi ; yi ; zi / D .r? ; i ; zi / D 1 8 r? < R ; sonst. 0 zi ` ; Im Zylinder gilt damit N X pEi2 H D 2m !.xi pyi yi pxi / : (10.1) iD1 Der Mittelwert der Dichte ist Z Z 1 ˇH h%i D d˝ %e ; ZD d Z Zunächst berechne man Z, Z Z D d e ˇH D N Z Y iD1 ` dzi 0 exp Z 2 d'i 0 ˇ Z R 0 dr?i r?i 2 2 pxi C pyi C pz2i 2m e Z 1 ˇH : dpxi dpyi dpz i 1 !.xi pyi 144 yi pxi / : Für die Integration über die Impulse erhält man Z 1 1 2 2 pxi C pyi C pz2i !.xi pyi yi pxi / dpxi dpyi dpz i exp ˇ 2m Z 1 ˇ 2 dpxi exp D p C 2m!yi pxi 2m xi 1 Z 1 ˇ 2 p 2m!xi pyi dpyi exp 2m yi 1 Z 1 ˇ 2 dpz i exp p 2m z i 1 Z 1 ˇ 2 2 2 p C 2m!yi pxi C .m!yi / .m!yi / D dpxi exp 2m xi 1 Z 1 ˇ 2 2 2 dpyi exp p 2m!xi pyi C .m!xi / .m!xi / 2m yi 1 s 2 m ˇ s Z 2 ˇm! 2 yi2 2 m 1 ˇ D exp pxi C m!yi dpxi exp ˇ 2m 2 1 Z 1 2 ˇm! 2 xi2 ˇ exp pyi m!xi dpyi exp 2m 2 1 3 23 2 ˇm! 2 r?i 2 m 2 m 2 ˇm! 2 .xi2 C yi2 / D D ; exp exp ˇ 2 ˇ 2 damit N Z Y ` Z 2 Z R 32 2 ˇm! 2 r?i dzi d'i dr?i r?i ZD exp 2 0 0 0 iD1 3 Z Z 2 Z R ˇm! 2 r?2 N 2 m 2 ` dz d' dr? r? exp D ˇ 2 0 0 0 23 N 1 ˇm! 2 R2 2 m 1 : exp D 2` ˇ ˇm! 2 2 R Aus dem m D dV % erhält die Dichte für ein Teilchen % D mı.x xi /ı.y yi /ı.z zi / D m 2 m ˇ ı.r? r?i / ı.' r?i 145 'i /ı.z zi / ; damit lautet das Integral Z d % exp ˇH D N Z Y j D1 ` dzi 0 Z 2 d'i 0 N X ı.r? r?i iD1 Z R 0 r?i / ı.' dr?i r?i 'i /ı.z 2 m ˇ 32 2 ˇm! 2 r?i exp 2 zi / : Integral über das Volumen bei N Teilchen, vereinfacht: N Z Y dVj fj j X N i Dm Z D Nm mıi D m Z Z dV1 f1 Z Z dVN fN ı1 C C ıN / dV1 f1 ı1 dV2 f2 dVN fN C : : : Z Z Z C dV1 f1 dV2 f2 dVN fN ıN Z dV f ı Z dV f N 1 ; 3N Z ` Z 2 Z R 2 m 2 ˇm! 2 02 0 0 0 0 r? D Nm dz d' dr? r? exp ˇ 2 0 0 0 ı.r? r?0 / ı.z z 0 /ı.' ' 0/ 0 r? N 1 Z R ˇm! 2 2 2` dr? r? exp r? 2 0 3N ˇm! 2 2 1 ˇm! 2 2 m 2 exp r? 2` 1 ; D Nm exp ˇ 2 ˇm! 2 2 und somit Nm h%i D ` 2 ˇm! 2 ˚ ˇm! 2 r?2 2 ˚ 2 R2 exp ˇm! 2 exp 1 : 146 Aufgabe 2 a) Die Wahrscheinlichkeiten pi .xi / sind voneinander unabhängig, somit ist die Wahrscheinlichkeit einen Zustand xi , i D 1; : : : ; n, des Systems zu finden P .x1 ; : : : ; xn / D n Y pi .xi / : iD1 Die Entropie ist damit Z Z S D kB d P ln P D kB dx1 dxn p1 pn ln.p1 pn / Z D kB dx1 dxn ln.p1 pn /p1 pn Z Z Z dx1 p1 ln p1 dx2 p2 dxn pn C : : : D kB „ ƒ‚ … D1 Z Z Z C dx1 p1 dx2 p2 dxn pn ln pn Z Z dx1 p1 ln p1 C C dxn pn ln pn D kB ) S D kB n Z X dxi pi ln pi iD1 : b) Die Wahrscheinlichkeiten des Systems haben die Eigenschaft Z 1 dvi pi .vi / D 1 ; 1 Z 1 1 m 2 vi D kB T : dvi pi 2 2 1 (10.2) (10.3) Vermittelst der Methode der Lagrangschen Multiplikatoren erhält mit (10.2) und (10.3) aus der Entropie aus Teilaufgabe a die Funktion Z Z XZ 0 2 dvi pi ln pi C ˛i dvi pi C ˇi dvi pi vi f D kB D kB D kB iD1 XZ iD1 XZ iD1 dvi pi ln pi C dvi pi ln pi C ˛i0 pi C ˛i0 vi2 C pi vi2 147 Die erste Ableitung ergibt Z 1 df 0 2 ln pj C ˛j C ˇj vj C pj D kB dvj pj pj Z D kB dvj ln pj C ˛j0 C ˇj vj2 C 1 0 ; damit folgt ln pj D ˇj vj2 ˚ ) pj D exp ˛j0 1 D ˇj vj2 ˇj vj2 ˛j : ˛ ˛j D ˛j0 C 1 mit Für die Lagrangeschen Multiplikatoren erhält man Z 1 Z 1 r (10.2) ˇi vi2 ˛i ˛i ˇi vi2 ˛i 1 D ; dvi e De dvi e De ˇi 1 1 s Z 1 m 1 2 (10.3) m (10.4) m 2 ˇ v dvi vi e i i D : kB T D e ˛i e ˛i D 3 2 2 4 ˇi 4ˇi 1 (10.4) (10.5) Aus Gleichung (10.5) liest man ˇi D m 2kB T (10.6) ab. Eingesetzt in (10.4) liefert r m ˛i e D : 2kB T (10.7) Die Wahrscheinlichkeit pi .vi / ist pi .vi / D r m e 2kB T m 2kB T vi2 ) P .E v/ D m 2kB T 32 exp mE v2 2kB T : c) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b erhählt man für die Wahrscheinlichkeit P D p1 p2 p3 die Geschwindigkeitskomponenten im Bereich .v1 ; v1 C dv 1/, .v2 ; v2 C dv2 /, .v3 ; dv3 / q zu finden mit jE vj D v D 3 P .E v /d vE D m 2kB T 32 v12 C v22 C v33 und d 3 vE D 4v 2 dv, exp mE v2 2kB T 4v 2 dv : 148 Aufgabe 3 a) Es gilt für die Anzahl der Teilchen pro Zeit durch die Öffnung Z dN D d 3 vE P .v/j .E v/ ; dt mit j .E v / als dem Teilchenfluss durch die Öffnung bei gegebener Geschwindigkeit vE. Nur Teilchen mit ' D 0 und # D 2 können durch die Öffnung fliegen, d.h. Z Z 2 d' ı.'/ d# ı # P .E v /v vx dvx NP D n 2 32 Z Z m mE v2 v 2 vx dvx d' ı.'/ d# ı # Dn exp 2 2kB T 2kB T 32 m mE vx2 Dn dvx vx3 exp 2kB T 2kB T b) Die Teilchen verlassen die Blende mit der Geschwindigkeit vx in x-Richtung. Auf die Teilchen wirk dann die Schwerkraft in positive z-Richtung, dann gilt x.t P / D vx ) z.t R /Dg ) x.t / D vx t ; g z.t / D t 2 : 2 (10.8) (10.9) Aus (10.8) berechnet man für die Flugzeit zum Durchfliegen der Strecke `, t0 D Einsetzen der Flugzeit in z.t / ergibt r r 2 g ` g`2 1 g`2 z.t0 / D ) dvx D dz : ) vx D 2 vx 2z 2 2z 3 Die Verteilung d NP =dz auf dem Schirm ist somit 32 2 32 r 2 m g`2 g` g` m exp 2kB T 2z 2kB T 2z 2z 3 32 2 4 m g ` mg`2 : ) I.z/ D n exp 2kB T 8z 2 4kB T z n d NP D dz 2 149 ` . vx Aufgabe 4 Die Teilchen mit z-Koordinaten qi befinden sich im Gravitationspotential, d.h. V .qi / D mgqi : Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen 1 in .q1 ; q1 C dq1 /, das Teilchen 2 in .q2 ; q2 C dq2 /, : : : , zu findent ist X n mg qi dq1 : : : dqn Pq dq1 : : : dqn D Ci exp kB T iD1 n Y mg qi dqi D Ci exp kB T iD1 Qn mg iD1 expf kB T q1 g dqi D R1 dqi expf. mgqi =.kB T /g 0 n Y kB T mg exp qi dqi ; D mg kB T iD1 d.h. speziell für ein Teilchen findet man die Wahrscheinlichkeit zwischen .z; z C dz/ zu sein mit mg mgz Pz dz D exp dz : kB T kB T Multiplikation mit N ergibt die Anzahl der Teilchen im Bereich dz. Mit V D A dz erhält man für die Dichte mgz mgN exp ; %.z/ D AkB T kB T und vermittelst der allgemeinen Gasgleichung pV D N kB T erhält man für den Druck pD N kB T D %kB T ) p.z/ D %.z/ kB T : V 150 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 11 1. Ein System bestehe aus N unabhängigen Teilchen. Jedes Teilchen kann zwei Energiezustände, "0 ; "0 , einnehmen. a) Zeigen Sie, dass die Anzahl der Zustände mit vorgegebener Energie E < 0 durch ˝.E/ D N! Œ 12 .N M /! Œ 21 .N C M /! ; M D NC N ; gegeben ist. b) Berechnen Sie vermittelst der Stirlingschen Formel, ln x! x ln x ratur T des Systems. x, die Tempe- c) Berechnen Sie die Energie E und die Wärmekapazität C in Abhängigkeit von der Temperatur T des Systems. Skizzieren Sie C =.N kB / für den Bereich 0 kB T ="0 6. 2. Betrachten Sie ein System aus drei Teilchen, die jeweils in den Quantenzustände mit den Energien E D 0 und E D "0 > 0 sein können. Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme für a) unterscheidbare Teilchen, b) Fermi-Teilchen c) Bose-Teilchen. 3. Betrachten Sie ein ideales Gas aus N 1 Teilchen. Die Hamiltonfunktion dieses Systems ist durch 3N X pi2 HD 2m iD1 gegeben. a) Berechne Sie die freie Energie F.T; V; N / und die freie Enthalpie Z 1 G D kB T ln Y ; Y .T; P; N / D dV Z.T; V; N / e ˇP V ; 0 mit ˇ D 1=.kB T /. Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Stirlingsche Formel und N C 1 ! N für N 1. 151 b) Bestimmen Sie das chemische Potential des Systems. Verwenden Sie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe a. 4. Eine Oberfläche habe N Möglichkeiten Gasmoleküle zu absorbieren und sei im Kontakt mit einem idealen Gas mit chemischen Potential .T; P /. Ein absorbiertes Teilchen hat in Bezug auf ein freies Teilchen die Energie "0 . Berechnen Sie aus der großkanonischen Zustandssumme Y das Verhältnis D hN1 i hAnzahl absorbierter Teilcheni D Gesamtzahl der Teilchen N Verwenden Sie an geigneter Stelle Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe 3b.. 5. In einem Volumen V befinde sich ein ideales Gas. Durch Einschieben einer Trennwand wird das Volumen in zwei gleiche Volumina geteilt. Für diesen Vorgang gilt d Q D d W D 0. a) Geben Sie die kanonische Zustandssumme Z für das ideale Gas an und berechnen Sie die Änderung F der freien Energie. b) Lassen Sie nun den Faktor 1=N ! im Ausdruck für Z aus Teilaufgabe a weg. Bestimmen Sie die Änderung F für den betrachteten Prozess. Begründen Sie die Richtigkeit des Ergebnisses aus Teilaufgabe a. 152 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Die Gesamtenergie E < 0 des Systems ist E D NC " 0 N "0 D .NC N /"0 D M "0 ; M D .NC N /: (11.1) Mit der Gesamtzahl N D NC C N erhält man 1 NC D .N C M / ; 2 1 N D .N 2 M/ : (11.2) Die Teilchen sind unabhängig, d.h. die Möglichkeit NC -Teilchen aus den N -Teilchen auszuwählen und auf das Energieniveau "0 zu verteilen ist ˝.E/ D (11.2) N! N! H) ˝.E/ D 1 NC !N ! Œ 2 .N C M /! Œ 21 .N (11.3) M /! Anzahl der Möglichkeiten zwei von vier Teilchen auf den Energiezustand "0 zu verteilen: "0 "0 b) Für die Temperatur gilt mit S D kB ln ˝.E/, 1 d ln ˝.E/ @S D D kB T @E dE Aus (11.2) erhält man N D N N! NC !N N ln N .N D N ln N ln ˝.E/ D ln NC und damit N! D ln N ! ln NC ! ! NC !.N NC /! NC ln NC C N N C N NC / ln.N C NC / C N C NC ln NC .N NC / ln.N NC / : ln ln.N NC /! Die Differentiation nach E kann in eine nach NC umgewandelt werden, E D .NC N /"0 D ŒNC ) dE D 2"0 dNC ; .N NC /"0 D 2"0 NC 153 N "0 (11.4) somit ln ˝.E/ D dNC D NC NC / C ln.N NC N : ln NC C ln N D ln NC ln NC .N N C / .N 1 NC / Die Temperatur des Systems ist dann 1 kB N D ln : T 2"0 NC (11.5) c) Nach (11.1) gilt für die Energie des Systems N : N NC E D N "0 N Aus (11.5) berechnet man E D .NC ln N /"0 ) "0 N D2 2x NC kB T N D e 2x ; NC ) (11.6) und damit N NC e 2x N e 2x ex D D D D ; N NC C N NC C NC e 2x 1 C e 2x e x C ex NC e x e x N e 2x NC D D 2x D x : D N NC C N N e 2x C e C1 e C ex (11.7) (11.8) Die Energie kann damit geschrieben werden als ex e ex C e e x ex E D D x N "0 e Ce x x x D tanh x D "0 tanh kB T : (11.9) E=.N "0 / -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0 1 2 3 kB T ="0 154 4 5 6 "0 kB T 2 Für die Wärmekapazität gilt mit dx D dT "0 dE dE D dT kB T 2 dx "0 "0 2 1 d D . N "0 / tanh x D N kB kB T 2 dx kB T cosh2 x C x2 "0 2 "0 2 ) D D cosh : N kB kB T kB T cosh2 x C D (11.10) C =.N kB / 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 kB T ="0 Bemerkungen 1. Mit ex x 0 ex C e 2 2 x x 0 x e Ce e e .cosh x/0 D D 2 2 0 .sinh x/ D e x D D cosh x ; x D sinh x ; ist die Ableitung des tanh x gegeben durch 0 cosh2 x sinh2 x sinh x 1 0 D .tanh x/ D D : 2 cosh x cosh x cosh2 x 2. Schreibt man den cosh2 x als cosh2 x D .e x C e 4 x 2 / D e 2x .1 C e 2x / ; 4 155 5 6 so lautet die Gleichung (11.10) mit 2" D E, 2 1 E e E=.kB T / C D N kB 4 kB T Œ1 e E=.kB T / Der Höcker in der Wärmekapazität ist ein Charakeristikum für 2-Niveau-Systeme und wird in diesem Zusammenhang als Schottky Anomalie bezeichnet [7]. Aufgabe 2 Die kanonische Zustandssumme ist gegeben durch Z.E/ D X r e ˇEr ; ˇD 1 ; kB T (11.11) und r als dem Mikrozustand. a) Für drei unterscheidbare Teilchen erhält man folgende Möglichkeiten: "0 Aus der oberen Abbildung kann man ablesen: ① Jeweils einen Mikrozustand, in dem alle drei Teilchen entweder im unteren - E1 D 0 - oder im unteren - E2 D 3"0 - Zustand sind. ② Drei Mikrozustände in denen jeweils nur ein Teilchen im oberen Energiezustand ist, E3 D "0 , und ③ drei Mikrozustände in denen jeweils zwei Teilchen im oberen Energiezustand, E4 D 2"0 , sind. 156 Die kanonische Zustandssumme ist damit ˇ"0 Zkl D 1 C 3e C 3e 2ˇ"0 3ˇ"0 Ce b) Fermionen sind Teilchen mit halbzahligen Spin, für die das Pauli-Prinzip gilt. Die Zustandssumme ist ZFermionen D 2e ˇ"0 C 2e 2ˇ"0 : c) Bosonen sind indentische, nicht-unterscheidbare Teilchen, die nicht dem Pauli-Prinzip unterliegen. Die Gesamtwellenfunktion muss symmetrisch sein. Die drei Mikrozustände in ② und ③ bilden für Bosonen jeweils den selben Zustand, d.h. die Zustandssumme ist ZBosonen D 1 C e ˇ"0 2ˇ"0 Ce Ce 3ˇ"0 : Aufgabe 3 a) Für die freie Energie F gilt F D kB T ln Z. Die kanonische Zustandssumme ist 1 ZD N !h3N 1 D N !h3N Z d e ˇH Z ; dq1 dq3n ƒ‚ … „ D VN d D Y 3N 3N Y dpi dqi ; iD1 dpi exp iD1 ˇ 2 p 2m i 3N ˇ 2 p dp exp 2m 3N 3N V N 2 m kB T 2 VN 2 m 2 D : D N !h3N ˇ N! h2 VN D N !h3N Z 157 (11.12) Die freie Energie F ist somit 3 F D kB T ln N ln V 3N .2 m/ 2 ln N ! C ln.kB T / C N ln 2 h3 3 .2 m/ 2 3N ln.kB T / C N ln kB T N ln V N ln N C N C 2 h3 3 V 3 .2 m/ 2 e : ) F D N kB T ln C ln.kB T / C ln N 2 h3 Es gilt Z Y D 1 dV Z.T; V; N / e (11.13) ˇP V 0 3N Z 1 1 2 m kB T 2 D dV V N e N! h2 0 (11.12) mit Z 1 n ax dx x e 0 D @ @a n Z 1 dxe ax 0 D ˇP V : @ @a (11.14) n 1 n! D nC1 a a erhält man für (11.14) 3N N! 1 2 m kB T 2 Y D N! h2 .ˇP /N C1 N C1 N 3N 3N 2 m kB T 2 kB T 2 m kB T 2 kB T D ; h2 P h2 P (11.15) und damit GD kB T ln 2 m kB T h2 3N 2 kB T P N 3 5N .2 m/ 2 D kB T ln.kB T / N ln P C N ln 2 h3 3 5 .2 m/ 2 ) ˚ D N kB T ln.kB T / ln P C ln : 2 h3 158 (11.16) Für das chemische Potential gilt D .@F=@N /T;V , 3 V 3 .2 m/ 2 e N kB T ln C ln.kB T / C ln N 2 h3 3 3 .2 m/ 2 V C ln.kB T / C ln C1 D kB T ln N 2 h3 1 N kB T N 3 V .2 mkB T / 2 D kB T ln N h3 N h3 ; ) .T; V; N / D kB T ln V .2 mkB T / 23 @ D @N (11.17) bzw. aus G D N mit (11.16) h3 P .T; P; N / D kB T ln kB T .2 mkB T / 23 : (11.18) Aufgabe 4 Werden N1 Teilchen absorbiert, dann ist die Energie E D N1 "0 . Die Anzahl der Möglichkeiten N1 ununterscheidbare Teilchen auf N freie Plätze zu verteilen ist N! ; N1 !.N N1 /! (11.19) damit ZN1 D N! e ˇN1 "0 : N1 !.N N1 /! (11.20) Für die großkanonische Zustandssumme erhält man Y D N X N1 D0 ZN1 e ˇN1 D D N X N1 D0 N X N1 D0 N! e ˇN1 "0 CˇN1 N1 !.N N1 /! N! Œe ˇ."0C/ N1 1N N1 !.N N1 /! D Œ1 C e ˇ."0C/ N : N1 (11.21) 159 Die Wahrscheinlichkeit P .N1 /, das N1 Teilchen absorbiert werden, ist durch e ˇN1 ZN1 =Y gegeben. Damit ist der Mittelwert hN1 i der Anzahl der absorbierten Teilchen hN1 i D N X N1 D0 N 1 X N1 e ˇN1 ZN1 : N1 P .N1 / D Y N1 D0 Aus dem Logarithmus der großkanonischen Zustandssumme berechnet man N N 1 @Y 1 X ˇ X @ ˇN1 ln Y D D ZN1 ˇN1 e D N1 ZN1 e ˇN1 ; @ Y @ Y Y N1 D0 N1 D0 der Mittelwert ist somit hN1 i D @ ln Y ˇ@ (11.21) D N Œ1 C e ˇ."0C/ N 1 ˇe ˇ."0C/ D ˇ Œ1 C e ˇ."0C/ Œe N ˇ."0C/ C 1 : (11.22) Die Rate lautet demnach D hN1 i N (11.22) H) D 1 Œe ˇ."0C/ C 1 : (11.23) Mit dem chemischen Potential (11.18) für das ideale Gas folgt e ˇ kB T D p 2 mkB T h2 23 D a kB T : p Annahme: Das ideale Gas unterliege der Boltzmann-Statistik, P0 .T / D kB T 2 mkB T h2 32 e ˇ"0 ) e ˇ"0 folgt für die Rate D 1 akB T P0 P akB T C1 ) D P P0 C P Aufgabe 5 a) Nach (11.12) - Teilaufgabe 3a – gilt VN ZD N !h3N 2 mkB T h2 3N 2 160 D P0 .T / ; a kB T für die Zustandssumme des Gases im Volumen V . Die freie Energie ist durch (11.13) gegeben, 3 V .2 mkB T / 2 C1 : F.T; V; N / D N kB T ln N h2 (11.24) Für die zwei Teilvolumnia mit jeweils V =2 und N=2 gilt 3 N V .2 mkB T / 2 2F.T; V =2; N=2/ D 2 kB T ln C1 ; 2 N h2 (11.25) d.h. die beiden Ausdrücke (11.24) und (11.25) sind gleich, F 0 : b) Ohne den Faktor 1=N ! folgt aus der Zustandssumme (11.24) 3N 2 N 2 mkB T F .T; V; N / D kB T ln V h2 3 2 mkB T 2 D N kB T ln V h2 (11.26) für die freie Energie. Nach Unterteilung ergibt sich 3 V 2 mkB T 2 N 2F.T; V =2; N=2/ D 2 kB T ln 2 2 h2 3 V 2 mkB T 2 D N kB T ln 2 h2 D F .T; V; N / C N kB T ln.2/ ; (11.27) d.h. F D N kB T ln.2/ ¤ 0 : Thermodynamisch gilt für den Vorgang der Unterteilung d Q D d W D 0, d.h. E D 0. Der Prozess ist reversibel, also S D 0, damit F D E T S D 0 : Der Widerspruch zwischen dem Ergebnis aus Teilaufgabe a und b kann durch Einführung des Faktors 1=N ! in der Zustandssume Z aufgelöst werden. 161 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 12 1. Für das großkanonische Potential J D J.T; V; / eines idealen Quantengases gilt J.T; V; / D D 2 E.T; V; / 3 Z 1 3 x2 2 kB T a.T; V / ; dx x ˇ 3 e ˙1 0 P .T; / V D mit 3 Vg 2mkB T 2 1 a.T; V / D ; x D ˇ" ; ˇ D : 2 2 .2/ ~ kB T Fermi C Das Zeichen steht für ein Bose –Gas. Betrachtet werden sollen die ersten Korrekturen des idealen Quantengases gegenüber dem klassischen Grenzfall e ˇ 1. a) Zeigen Sie, dass E.T; V; N / N kB T a.T; V / gilt. Nutzen Sie ggf. Z 1 dx x ˛ 1 e .˛/ D x e ˇ 5 ˇ 1 5 e 2 22 : 0 b) Die Energie hat als natürliche Variable die Teilchenzahl N . Stellen Sie den Faktor e ˇ durch N dar. Verwenden Sie ein iteratives Verfahren und bestätigen Sie, dass in erster Ordnung e ˇ.1/ N 3 N 1 3 N N 1˙ 3 D NN 1 ˙ 3 5 2 a.T; V / . 52 / 2 2 2 a.T; V / . 2 / 22 gilt. c) Geben Sie, vermittelst Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe b, die Energie E.T; V; N / aus Teilaufgabe a bis zur Ordnung O.N 2 / an. Diskutieren Sie die Effekte der Quantenstatistik auf die Zustandsgleichung. 162 2. Betrachten Sie ein Kristall aus N -Atomen, wie es die nebenstehende Abbildung zeigt. Punktdefekte können z. B. dadurch enstehen, dass Atome aus ihren regulären Gitterplätzen in die Räume zwischen die Atome verschoben werden. Das Atom auf dem Zwischengitterplatz und die enstandene Lücke werden als Frenkel-Paar bezeichnet. Ein Gitter habe n, 1 n N , Frenkel-Paare. Die Energie zur Erzeugung eines Frenkel-Paares sei "0 . N 0 ist die Anzahl der Zwischengitterplätze. Das System sei für die Temperatur T im thermischen Gleichgewicht. Zeigen Sie, dass für "0 kB T .N n2 n/.N 0 n/ De "0 =.kB T / bzw. n p NN 0 e "0 =.2kB T / gilt. 3. The energy level of an oscillator with frequency ! is given by 1 3 1 " D ~! ; ~! ; : : : ; n C ~! ; : : : : 2 2 2 When a system consisting of N almost independent oscillators has the total energy ED N ~! C M ~! ; 2 with M D n1 C n2 C C nN . Find the thermodynamic weight Z.E/, and determine the relation between the temperature of this system and E. Hint: For the thermodynamic weight, find the number of ways of distributing M white balls among N labelled boxes. 4. When a particle with spin 21 is placed in a magnetic field B, its energy level split into ˙mB and it has a magnetic moment m or m along the direction of the magnetic field, respectively. Suppose a system consisting of N such particles is in a magnetic field B and is kept at temperature T . Find the entropy, the internal energy, the total magnetic moment M and the specific heat of this system with the help of the canonical distribution. Assume that the spins are independent of each other. 163 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Für die Energie folgt aus dem groSSkanonischen Potential E D kB T a.T; V / Z 1 3 dx 0 Mit e ˇ 1 gilt auch e ˇ .1 ˙ ˛/ 1 x x2 ex ˇ ˙1 D kB T a.T; V / Z 1 3 dx x 2 0 e ˇ x 1 ˙ e ˇ x : (12.1) 1, d.h. 1 ˛ C O.˛ 2 / ; und somit für (12.1) E kB T a.T; V / Z 1 3 dx x 2 e ˇ Z0 1 x 1 e ˇ x C ::: 3 dx x 2 e ˇ x e 2.ˇ x/ C : : : 0 Z 1 Z 1 3 3 ˇ x 2ˇ 2 D kB T a.T; V / e dx x e e dx x 2 e D kB T a.T; V / 0 0 Für das erste Integral erhält man mit der Darstellung der Z 1 Z 1 5 5 3 1 x x dx x 2 e D dx x 2 e D : 2 0 0 Das zweite Integral von (12.2) ist mit 2x D , 3 Z Z 1 1 1 1 2 1 3 5 2x D dx x 2 e d 2 1 e D 5 2 2 0 0 22 Die Energie ist e ˇ 5 ˇ 1 5 E kB T a.T; V / e : 2 22 b) Es gilt N D @J =@, Z 1 2 1 3 @ N D kB T a.T; V / dx x 2 3 @ e x ˇ ˙ 1 0 Z 1 2 ˇe x ˇ 3 D kB T a.T; V / dx x 2 x ˇ 3 Œe ˙ 12 0 164 2x C ::: : (12.2) -Funktion 5 : 2 (12.3) (12.4) (12.5) Für den Integranden gilt e x ˇ e 2.ˇ x/ e ˇ x D ˇ ˙ 12 Œ1 ˙ e ˇ x 2 Œ1 ˙ e ˇ x 2 e ˇ x 1 2e ˇ x C : : : ; ex Œe x ˇ D somit Z 1 2 3 N a.T; V / dx x 2 e ˇ x 1 2e ˇ x C : : : 3 0 Z 1 Z 1 2 3 3 x 2ˇ ˇ dx x 2 e D a.T; V / e dx x 2 e 2e 3 0 0 23 2 5 2ˇ 5 1 1 ˇ D a.T; V / e 2 e 2 2 3 2 2 5 e ˇ 2 ˇ 1 3=2 : D a.T; V / e 3 2 2 In nullter Ordnung erhält man aus (12.6) 5 3 N 2 ˇ.0/ ) e ˇ.0/ D N D a.T; V / e 3 2 2 a.T; V / 2x . 52 / C ::: (12.6) ; eingesetzt in (12.6) ergibt 2 5 1 3 N 2 ˇ e 3=2 N D a.T; V / 3 2 2 2 a.T; V / . 25 / 2 3 1 3 N N ˇ.1/ ) e D ˙ 2 a.T; V / . 25 / 23=2 2 a.T; V / . 25 / N N ˇ.1/ ) e D NN 1 ˙ 3=2 : 2 (12.7) c) Mit dem Ergebnis (12.5) aus Teilaufgabe a und (12.7) aus Teilaufgabe b lautet die Energie bis zur Ordnung O.N 2 /, N 2 N 2 1 N N 5 NN ˙ 3=2 1 5=2 NN ˙ 3=2 : E kB T a.T; V / 2 2 2 2 2 2 N N 5 N N kB T a.T; V / NN 5=2 ˙ 3=2 2 2 2 NN 5 N N 1 ˙ 5=2 DkB T a.T; V / 2 2 165 5 3 1 3 N N 1 ˙ 5=2 DkB T 5 2 2 2 2 a.T; V / V / a.T; .2/ N 3 .2/2 ~3 1 3 : D N kB T 1 ˙ 5=2 2 2 2 Vg .2mkB T /3=2 . 52 / V / a.T; Mit 1 nC 2 1 3 .2n D 2n 1/ p ) 5 D 2 1 2C 2 . 25 / D 3p 4 folgt schlieSSlich 4 2 N 3 22 2 ~3 3 E D N kB T 1 ˙ 5=2 2 Vg 3=2 2 2 2 .mkB T /3=2 3 1=2 32 N ~3 3 ) E D N kB T 1 ˙ 2 2Vg mkB T Aus J folgt die Zustandsgleichung 23 2 N ~3 : pV D E ) pV D N kB T 1 ˙ 3 2Vg mkB T Daraus liest man ab, Fermistatistik: Zunahme des Drucks gegenüber dem klassischen Wert; Austauscheffekte bewirken eine zusätzliche AbstoSSung zwischen den Teilchen. Bosestatistik: Effektive Anziehung der Teilchen und damit Druckerniedrigung. Aufgabe 2 Die Anzahl der Möglichkeiten n Atome auf N Gitterplätze zu verteilen ist N! ; n!.N n/! entsprechend ist die Anzahl der Möglichkeiten n Atome auf N 0 Zwischengitterplätze zu verteilen, N 0! : n!.N 0 n/! Die mikrokanonische Zustandssumme lautet somt ˝.E/ D N 0! N! : n!.N n/! n!.N 0 n/! (12.8) 166 Im thermischen Gleichgewicht ist die freie Energie F D E T S minimal. Zunächst berechne man aus die Entropie S D kB ln ˝.E/. Mit 1 n N; N 0 , erhält man vermittelst der Sterlingschen Formel, n/! C ln N 0 ! ln n! ln.N 0 n/! n ln n C DN ln N N n .N n/ ln.N n/ C . N n/ 0 0 0 0 0 0 N n/ N n ln n C n .N n/ ln.N n/ C . C N ln N 0 0 0 DN ln N C N ln N 2n ln n .N n/ ln.N n/ .N n/ ln.N 0 ln ˝.E/ D ln N ! ln n! ln.N n/ : Die freie Energie des Kristalls ist F D Delt aE T S D E kB T ln ˝. Der Energieunterschied E ist der Unterschied zwischen der Energie des perfekten Kristalls und des defekten Kristalls, dieser ist gerade E.n/ D n"0 : Die freie Energie soll minimal sein, d.h dF D 0 D"0 kB T 2 ln n 2 C ln.N n/ C 1 C ln.N 0 dn n2 D"0 C kB T ln .N n/.N 0 n/ n2 ) ˇ"0 D ln .N n/.N 0 n/ ) e ˇ"0 D .N n2 n/.N 0 n/ n/ C 1 : Mit der Näherung n N , n N 0 folgt n2 n2 e D .N n/.N 0 n/ NN 0 1 p n N N 0 e "0 =.2kB T / : ) ˇ"0 n N n2 NN 0 Exercise 3 Quantum number of the i-th oscillator ist denoted by ni , the statemetn that the total energy of the system is equal to 12 N ~! C M ~! implies that M D n1 C n2 C C nN . Therefore, the thermodynamic weight Z.E/ of a macroscopic state with the total Energie E is equal to the number of ways of distributing M white balls among N labelled boxes. 167 1 2 M CN 3 4 5 6 1 A box may be emtpy, since ni D 0 is possible. As is evident from the picture above, one can get this number by finding the number of permutations of placing in a row all the withe balls together with .N 1/ red balls that designate the dividing walls. If one labels all the balls with the the running numbers, 1; 2; : : : ; M C N 1, the number of permutations is .M C N 1/!. When one erases these numbers there appear indistinguishable distributions, the number of which is equal to the number of permutations among the (numbered) balls with the same color, M !.N 1/!. Therefore Z.E/ D .M C N 1/! M !.N 1/! (12.9) The temperature of the system is given by the relation @ log Z.E/ @S 1 D D kB : T @E @E (12.10) Using Sterling formulae under the assumption, N 1, M 1, one has for the entropie C log M C M / M M N ln N C N N S DkB .M C N / ln.M C N / . DkB .M C n/ ln.M C n/ M ln M N ln N : Insert ED N ~! C ~! M 2 ) dE D ~! dM (12.11) into Eq. (12.10) kB @ ln Z.E/ kB 1 D D ln.M C N / C 1 T ~! @M ~! M CN kB ln D ~! M M C 12 N C 21 N kB D ln ~! M 12 N C 21 N ln M 168 1 kB D ln ~! (12.11) E ~! E ~! ~! ) D ln kB T 1 N 2 1 N 2 E N E N C 12 N C 12 N 1 N 2 C 21 ~! 1 ~! 2 C 21 N E C 21 ~! kB N ln E D 1 ~! ~! N 2 ) e ˇ~! D E C 12 N ~! 1 N ~! 2 E : (12.12) Solving this for E, one gets 1 1 N ~! e ˇ~! D E C N ~! E e ˇ~! 2 2 1 )E e ˇ~! 1 D N ~! 1 C e ˇ~! 2 e ˇ~! C 1 1 e ˇ~! 1 C 2 1 D N ~! )E D N ~! ˇ~! 2 e 1 2 e ˇ~! 1 ~! 1 ) E D N ~! C ˇ~! : 2 e 1 (12.13) Note From Eq. (12.13) one gets the dimensionsless equation E 1 1 D C ˇ~! N ~! 2 e 1 D 1 1 C 1 ; 2 ex 1 where kB T : xD ~! In the picture below E=N ~! is plotted against x. E=.N ~!/ 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 169 1.0 1.2 1.4 Exercise 4 Since the spins are independent of each other, the partition function of the total system ZN is equal to the N th power of the partition function for the individual spin Z1 D e ˇmB C e ˇmB D 2 cosh.ˇmB/ : Hence ZN D Z1N D Œ2 cosh.ˇmB/N : The free energy is F D kB T ln ZN D D With ˇD N kB T lnŒ2 cosh.ˇmB/ N ln e ˇmB C e ˇmB : ˇ (12.14) 1 1 ! dT D dˇ kB T kB ˇ 2 one gets SD @F @F D kB ˇ 2 @T @ˇ N mBe ˇmB mBe ˇmB 2 N D kB ˇ lnŒ2 cosh.ˇmB/ ˇ2 ˇ e ˇmB C e ˇmB e ˇmB e ˇmB D N kB lnŒ2 cosh.ˇmB/ mBˇ ˇmB e C e ˇmB ) S D N kB lnŒ2 cosh.ˇmB/ mBˇ tanh.ˇmB/ : From the relation E D F C T S one finds for the internal energy, E D F C TS D N kB T lnŒ2 cosh.ˇmB/ C N kB T lnŒ2 cosh.ˇmB/ ) ED mBˇ tanh.ˇmB/ N mB tanh.ˇmB/ : The magnetic moment is M D @F D @B N 1 2 ˇm sinh.ˇmB/ ˇ cosh.ˇmB/ 2 ) M D N m tanh.ˇmB/ ; 170 and the specific heat is @E 2 @E D kB ˇ C D @T B @ˇ B @ N mB tanh.ˇmB/ D kB ˇ 2 @ˇ D kB ˇ 2 N mB N kB .ˇmB/2 1 C D : mB ) cosh2 .ˇmB/ cosh2 .ˇmB/ 171 Übungen zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Blatt 13 1. Befindet sich ein magnetisches Moment in einem magnetischen Feld B, dann nimmt es die diskreten Werte gB m, m D J; J 1; : : : ; J C 1; J , an. g ist der LandéFaktor und B das Bohrsche Magneton. Ein Körper enthalte n nicht-wechselwirkende magnetische Momente pro Einheitsvolumen. a) Zeigen Sie, dass die Zustandssumme durch n 2J C 1 1 Z D sinh ˇgB B sinh ˇgB B ; 2 2 ˇD 1 ; kB T gegeben ist. Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Relation n X kD n x ˛k Dx ˛n 2n X l D0 ˛ x ˛l .x ˛.2nC1/ 1/ x 2 .2nC1/ D ˛n ˛ D ˛ x .x 1/ x2 x x b) Bestätigen Sie, dass die Magnetisieriung des Körpers durch 1 1 2J C 1 M D ngB J BJ mit BJ WD JC coth J 2 2 ˛ 2 .2nC1/ ˛ 2 : 1 coth ; 2 2 D ˇgB B, gegeben ist. Die Funktion BJ wird als Brillouin-Funktion bezeichnet. c) Bestimmen Sie die magnetische Suszeptibilität D @M=@B für ein schwaches Feld bei hoher Temperatur .gB J B kB T / an. Diskutieren Sie den Grenzfall J D 21 und J ! 1 .B ! 0 und gB J ! 0 /). 2. Atoms in a solid state vibrate about their respective equilibrium positions with small amplitudes. Debye approximated the normal vibrations with the elastic vibrations of an isotropic continous body and assumed that the number of vibrational modes g.!/ d! having angular frequencies between ! and ! C d! is given by ( V 1 2 ! 2 9N C ! 2 .! < !D / 2 3 ct3 !D3 D g.!/ D 2 cl : 0 .! > !D / Here, cl and c t denote the velocities of longitudinal and transverse waves, respectively. The Debye frequency !D is determined by Z !D d! g.!/ D 3N 0 where N is the number of atoms and hence 3N is the number of degrees of freedom. 172 a) Calculate the partition function of a quantum mechanical oscillator with mass m and angular frequency !. b) Calculate the heat capacity of a solid at constant volume with this model. Use the notations D D ~!D =kB and D ˇ~!. Examine its temperature dependence at high .T D / as well as at low .T D / temperatures. In the low temperature regime, the upper limit of the resulting integral is very large and my be replaced by infinity, use the formula for Riemann -functions Z 1 0 1 X 1 s e D s! D s!.s/ ; d .e 1/2 ns nD1 where .2/ D 61 2 ; .3/ D 1:202; .4/ D 4 =90. 3. Betrachten Sie ein ideales Bose Gas im Volumen V , das aus N Teilchen besteht. N0 ist E und N 0 ist die die Anzahl der Teilchen im niedrigsten energetischen Zustand .pE D 0/ E Zeigen Sie, fällt die Anzahl der Teilchen in den angeregten Energiezuständen .pE ¤ 0/. Temperatur T unterhalb eine bestimmte Temperatur Tc , dann gilt N0 N 0 und das chemische Potential verschwindet. Verwenden Sie an geigneter Stelle die Zustandsdichte D.E/ D 2 V 3 p 2 E .2m/ h3 für ein freies Teilchen und Z 1 1 1 X 2 x2 e n˛ F 3 .˛/ D p ; dx xC˛ D 3 2 e 0 n2 nD1 F 3 .0/ D 2 3 2 D 2; 612. 4. Berechnen Sie die mittlere Zahl von Photonen in einem Strahlungshohlraum mit dem Volumen V bei gegebener Temperatur T . Verwenden Sie an geeigneter Stelle Z 1 x˛ 1 dx x D .˛/ .˛/ : e 1 0 5. Berechnen Sie das chemische Potential eines entarteten idealen Fermiegases, das aus Spin 12 -Teilchen zusammengesetzt ist bis zur Ordnung T 4 . Die Gesamtzahl der Teilchen ist N . Der Wert des chemischen Potentials bei T D 0 ist "F D 0 . Beachten Sie, ist g."/ eine stetige, an der Stelle " D beliebig oft differenzierbare Funktion, die im Intervall j" j kB T nur langsam varriert, dann ist ˇ ˇ Z 1 Z 7 4 d 3 g."/ ˇˇ 2 dg."/ ˇˇ C C ::: ; d" g."/f ."/ D d" g."/ C 2 6ˇ d" ˇ"D 360ˇ 4 d"3 ˇ"D "0 "0 173 mit f ."/ D Œexpfˇ." /g C 1 1 . Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Näherung 2 2 .1 C x/n=m 1 C mn x C n 2mmn 2 x : : : für x 1. 4 2 4 kB T 2 kB T C ::: Ergebnis: D 0 1 12 0 80 0 174 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 a) Ist M das gesamte magnetische Moment des Körpers, so ist die Energie im Magnetfeld B, E D MB D gB B n X iD1 mi D n X gB B : mi ; iD1 (13.1) Die kanonische Zustandssumme ist dann ZD D D J X m1 D J J X e J X mn D J ˇm1 m1 D J n Y e 2 .2J C1/ ) ZD J X D e e 2 .2J m1 D J ˇmn C1/ 2 sinh 2 .2J C 1/ sinh 2 b) Die Magnetisierung ist M D Magnetisierung M D kB T J X mn D J e e2 j D1 ˇE e D n D J X e ˇ mn D J n Y J X P mi e ˇmj j D1 mj D J sinh 2 .2J C 1/ sinh i 2 n : (13.2) @F . @B Mit der freien Energie F D kB T ln Z folgt für die @ ln Z : @B Aus (13.1) erhält man d D ˇgB dB, und somit ˇg @ ln Z D g @ ln Z : M D kBT B B @ @ Vermittelst (13.2) berechnet man sinh 2 .2J C 1/ @ ln @ sinh 2 D sinh 2 sinh 2 .2J C 1/ D JC 2J C1 2 (13.3) cosh 2 .2J C 1/ sinh 2 1 coth .2J C 1/ 2 2 sinh2 1 coth ; 2 2 175 2 sinh 2 .2J C 1/ 12 cosh 2 eingesetzt in (13.3) 1 1 JC coth .2J C 1/ M D ngBJ J 2 2 ) 1 coth 2 2 M D ngB J BJ c) Für die magnetische Suszeptibiltität gilt D @M @M D ˇg @B @ Mit der Näherung gB J B kB T ! J 1 erhält man mit coth x D 1 x C C O.x 3 / x 3 für die Brillouin-Funktion .J C 12 / 1 1 1 JC C B.J / ' J 2 .J C 21 / 3 1 1 1 .2J C 1/2 D C J 12 12 2 1 4J C 4J C 1 1 J C1 D D ; J 12 3 1 2 C C ::: 2 32 und damit J C1 .gBBJ kB T / 3 J C1 nJ.J C 1/g 22B 2 2 ) D nˇg B J ) D : 3 3kB T M ' ngBJ (13.4) Für den spezialfall J D 21 , 1 D n 2 13 2 2 g B 22 3kB T Dn g 2 2B : 4kB T Für J ! 1 mit gB J ! 0 und ! 0 ist die Brillouinfunktion 0 1 1C B1 ./ D lim J !1 2J 1 D coth J C ::: J 1 coth J C 2 176 > 1 coth 2J 2 2 C ::: Damit lautet die Magnetisierung 1 M D n0 coth J J Aus (13.4) berechnet man für ein schwaches Feld D lim J !1 ) 2 2 2B 2 nJ g 3kB T 1 D C 2B nJg 3kB T D lim J !1 0 > n20 n20 C 3kB T 3J kB T n20 : 3kB T Exercise 2 a) The energy level of a quantum mechanic oscillator is "n D .n C 12 ~!/. The partition function is given by Zj D D 1 X e ˇ"n nD0 e 1 D 1 2 ~! e ˇ~! 1 X e ˇ.nC 21 /~! nD0 D e De 1 ~! 2kB T e ~! 2kB T 1 2 ~! 1 X e nˇ~!j nD0 ˇ~! D 2 sinh 2 1 : b) The partition function for a harmonic oscillator having an angular frequency !j is given by 1 Y Y ˇ~! ZD Zj D 2 sinh 2 j j The heat capacity at constant volume is given by @E : CV D @V V;N (13.5) The internal energy E can be calculated from the free energy dF D dE C SdT ) @F D @T S; and F D E C TS ) EDF @F TS D F C T @T 177 : (13.6) With @ F D @T T F 1 C 2 T T @F @T ; (13.7) one find (13.6) E D (13.7) T 2 @ @T F T (13.8) V;N The free energy is given by 1 ˇ~!j F D kB T ln Z D kB T ln 2 sinh 2 j 1 X X ˇ~!j ˇ~!j D kB T ln 2 sinh : D kB T ln 2 sinh 2 2 j j Y Let the number of oscillators whose angular frequencies lie between ! and ! C d! be denoted by g.!/ d!. Then, Z 1 ˇ~! F.T; V; N / D kB T d! ln 2 sinh g.!/ (13.9) 2 0 where V ist the volume; N is the number ov atoms. The internal energy is (13.8) Z 1 ˇ~! @ 2 kB d! ln 2 sinh g.!/ ED T @T 2 0 Z 1 @ ˇ~! 2 d! D kB T g.!/ ln 2 sinh @T 2 0 „ ƒ‚ … D kB T 2 Z 1 D ".!/ d! ".!/ g.!/ : (13.10) 0 where ".!/ is the mean energy of harmonic oscillators, 1 @ ˇ~! 1 ".!/ D ln 2 sinh dT ; dˇ D 2 kB T @ˇ 2 kB T 2 ˇ~! 1 ~! 1 2 cosh D ˇ~! kB T 2 2 sinh. 2 2 / 2 ˇ~! ~! coth D 2kB T 2 2 178 With ex C e x e 2x C 1 e 2x C 1 C 1 D D sinh x ex e x e 2x 1 e 2x 1 2x e 1 2 2 D 2x C 2x D 1 C 2x e 1 e 1 e 1 coth x D cosh x D the mean energy is given by ~! ˇ~! ".!/ D coth D 2kB T 2 2 1 1 ~! ~! C ˇ~! ; kB T 2 2 e 1 and the internal energy Z 1 ~! ~! 1 2 C ˇ~! g.!/ d! ED kBT 2 2 e 1 0 k T B Z 1 ~! ~! C ˇ~! g.!/ : d! D 2 e 1 0 The heat capacity (13.5) is Z 1 Z 1 1 @".!/ @ d! ".!/g.!/ D d! g.!/ ; C D @T 0 kB T 0 @ˇ and with the derivative @".!/ @ ~! ~! D C ˇ~! D @ˇ @ˇ 2 e 1 .~!/2e ˇ~! .e ˇ~! 1/2 one has Z 1 1 e ˇ~! C D d! .~!/2 g.!/ kB T 2 0 .e ˇ~! 1/2 Z e ˇ~! 9N kB !D d! D .ˇ~!/2 ! 2 3 ˇ~! 2 .e 1/ !D 0 Notations: D ˇ~!, D D ~!D=kB ) D T Z 9N kB D =T d e 2 2 C D ˇ~ .e 1/2 .ˇ~/2 !D3 0 Z 4e T 3 D =T : d D 9N kB D .e 1/2 0 179 D ˇ~!D . (13.11) In particular, if T D , D =T 1 and 1. Therefore, the integrand in (13.11) can be approximated by 2 , 3 Z D =T 3 3 T 1 D T 2 d D 9N kB CV 9N kB D D 3 T 0 ) CV 3N kB .D T / : (13.12) At low temperatures, T D . The upper limit of the integral (13.11) is very large and my be replaced by infinity, 3 Z D =T 4e T d CV D 9N kB D .e 1/2 0 3 3 T T 4 D 9N kB 4!.4/ D 9N kB 4! D D 90 3 4 T 4 D 3N kB D 5 4 4 T 3 (13.13) ) CV D 3N kB .D T / : 5 D Aufgabe 3 Für das ideale Bose Gas gilt X 1 1 N D D e ˇ."i / 1 e ˇ i 1 C X i¤0 1 e ˇ."i / 1 D N0 C N 0 ; mit "i als dem Ein-Teilchen Energiezustand. Mit der Zustandsdichte D.E/ folgt p 3 Z " 2m 2 1 0 d" ˇ." / : N D 2V 2 h e 1 0 Die Substitution x D ˇ" ! dx D ˇ d" folgt 3 Z 1 1 2m 2 1 dx x 2 ˇ 2 0 N D 2V h2 ˇ e ˇ." / 1 0 32 Z 1 1 x2 2m dx ˇ." / D 2V ˇh2 e 1 0 32 Z 1 1 2 m 2 x2 DV dx p ˇh2 e ˇ." / 1 0 3 2 m 2 F 3 .˛/ .˛ D ˇ/ : DV 2 ˇh2 180 (13.14) Die Funktion F 3 .˛/ ist nur im Bereich ˛ D 2 Funktion F 3 .˛/ liest man ˇ > 0 definiert. Aus der Darstellung für die 2 F 3 .˛/ F 3 .0/ D 2 2 1 X 1 3 2 nD1 n D 2; 612 . D 0/ ; ab. Mit (13.14) folgt 3 2 m 2 0 0 N <V 2; 612 D Nmax .T / ; ˇh2 d.h. es existiert eine obere Grenze für die Anzahl der Teilchen in einem höheren Energiezu0 stand, diese obere Grenze ist temperaturabhängig.. Wenn Nmax .T / kleiner als die Gesamtzahl 0 N wird, müssen N Nmax .T /-Teilchen müssen in den Grundzustand " D 0 gehen. Die kritische Temperatur Tc ist damit 3 N 2 mkB Tc 2 : D 2; 612 V h2 Aufgabe 4 Photonen sind Bosonen; wg. der Polarisation ist ein Faktor 2 zu berücksitigen. Die mittlere Zahl ist im gegebenen Volumen V ist Z 1 d 3 kE N ; " D ~! : N D 2V 3 ˇ~! .2/ e 1 E ) d! D c dk, folgt Mit ! D cjkj Z 1 Z 1 2 V V d! k2 N N D 4 D 2 dk ˇ~! 3 .2/ e 1 0 c3 0 Z 1 !2 V d! ˇ~! : D 2 3 c 0 e 1 mit der Substitution x D ˇ~! ! dx D ˇ~ d! folgt Z 1 V dx 1 x2 N N D 2 3 c 0 ˇ~ .ˇ~/2 e x 1 Z 1 x2 V V dx D 2 3 D .3/.3/ c .ˇ~/3 0 ex 1 2 c3 .ˇ~/3 V D 2 1; 202 2 3 c .ˇ~/3 2; 404 V .kB T /3 : ) NN D 2 c3 ~3 181 Aufgabe 5 Mit der Zustandsdichte aus Aufgabe 3, D.E/ D 2 2 V 3p 2 .2m/ E; h3 unter Berücksichtigung eines Faktors 2 für den Spin folgt für die Gesamtzahl N der Teilchen Z 1 N D d" f ."/D."/ ; f ."/ D ˇ." / : (13.15) e C1 Für T D 0 ist f ."/ D 1 und D 0 , Z 0 4V 3 N D d" D."/ D 3 .2m/ 2 h 0 3 3 3 N 2m 2 2 ) ) 0 D 2 4V h2 Z 0 2m d" " D 4V h2 0 2 h2 3N 3 0 D : 2m 8V 1 2 23 3 02 (13.16) Für T > 0 lautet die Zustandsdichte mit (13.16), 2 23 23 p 3N p h N 3 2m D."/0 D " D E 4V 2 2m h2 2 4V 3N p "; ) D."/ D 20 und damit Z 1 Z 1 p 3N N D d" D."/f ."/ D d" " f ."/ : 3 0 202 0 (13.17) Mit 1 g 0."/ D g 2 1 g."/ D " 2 ; 1 2 g 00."/ D ; 1 " 4 3 2 ; 3 g 000."/ D " 8 erhält man N D D 3N 3 202 3N 3 202 Z 0 2 3 2 1 d" e C 6ˇ 2 1 2 3 2 2 C 2 6ˇ 1 2 1 2 7 4 C 360ˇ 4 3 7 4 C 8 360ˇ 4 5 2 182 5 2 C ::: C ::: 5 2 3 2 7 4 2 2 4 1 C 2 C DN C ::: 0 8ˇ 640ˇ 4 23 2 7 4 2 4 1 C 2 C ) 1D C ::: 0 8ˇ 640ˇ 4 23 4 7 2 4 C ::: ) D 0 1 C 2 2 C : 8ˇ 640ˇ 4 Mit der angegebenen Näherung ' 0 1 D 0 1 D 0 1 2 5 1 2 7 4 7 4 2 1 2 C ::: C C C 3 8 640 9 8 640 1 2 7 4 5 4 C C ::: 12 960 576 4 2 2 4 .ˇ/ C .ˇ/ C : : : ; 12 720 in erster Näherung 2 .ˇ0 / D 0 1 12 2 ::: (13.18) und in zweiter Näherung mit dem Ansatz 2 4 D 0 1 C a Cb C : : : D 0 1 C ax 2 C bx 4 C : : : ˇ0 ˇ0 2 ) .ˇ/ 2 D .ˇ0 / 2 1 C ax 2 C bx 4 C : : : ' .ˇ0 / 2 1 2ax 2 C : : : : Eingesetzt in den Ansatz ergibt 1 C ax 2 C bx 4 D 1 C a x 2 2ax 4 C bx 4 D 1 C ax 2 C b 1 folgt schließlich mit a D 121 und b D 720 1 2 1 1 4 D 0 1 x C x C ::: 12 720 72 2 kB T 2 4 kB T 4 C ::: ) D 0 1 12 0 80 0 183 2a2 x 4 ; 1. Klausur zur Theoretischen Physik FII - SS 09 1. Die Zustandsgleichung für ein Gas sei p D p.T; V /, d.h. der Druck p ist Funktion der Temperatur T und des Volumens V . Diese Zustandsgleichung lasse sich eindeutig nach V auflösen. @p a) Zeigen Sie, dass für den isochoren Spannungskoeffizienten D p1 @T , den V @V und den isothermen Kompressiisobaren Ausdehnungskoeffizienten ˇ D V1 @T p onskoffezienten D V1 @V die Relation ˇ D p gilt. @p T b) Verifizieren Sie diese Relation für ein ideales Gas. c) Verifizieren Sie, dass die oben definierten Größen die Konsistenzbedingung @ @ ŒV ˇ D ŒV @p @T T p erfüllen müssen. d) Für ein System seien 1 3a ˇD 1C T VT2 und a 1 1C D p VT2 gegeben. Dabei ist a eine beliebige Konstante. Verifizieren Sie, dass dieses System die Konsistenzbedingung c) erfüllt und bestimmen Sie die Zustandsgleichung in der Form V D V .p; T /. (7 BE) 2. Ein ideales Gas .pV D nRT , E D CV T / durchlaufe den folgenden Kreisprozess a) Skizzieren Sie den Kreisprozess in den .p; V /, .T; V / und .p; T / Diagrammen. b) Berechnen Sie für jedenTeilschritt die geleistete Arbeit und die ausgetauschte Wärme und bestimmen Sie den Wirkungsgrad. (5 BE) 3. Die thermische Zustandsgleichung eines thermodynamischen Systems lautet p.T; V / D T f .V / C g.V /, d.h. die unbekannten Funktionen hängen nur vom Volumen V ab. Zeigen Sie, dass die Wärmekapazität bei konstantem Volumen .CV / nur vom Volumen abhängt und verifizieren Sie, dass die innere Energie von der Form E.T; V / D R dT 0 CV .T 0 / C G.V / ist. Geben Sie den Zusammenhang zwischen G.V / und g.V / an. (4 BE) 4. Eine paramagnetische Substanz werde durch das Curie-Gesetz M D C H=T und die innere Energie E D a T 4 beschrieben. Dabei sind a und C Materialkonstanten. 184 a) Berechnen Sie die von der Substanz abgegebene Wärmemenge Q, wenn das Magnetfeld bei konstanter Temperatur T1 von 0 auf H erhöht wird. b) Das Magnetfeld werde nun adiabatisch auf 0 abgesenkt. Berechnen Sie die Temperatur T2 , die die Substanz dann auweist. (4 BE) 5. Betrachten Sie ein Gas aus Molekülen, die drei Energiewerte 1 < 2 < 3 annehmen können, als ein Gemisch von drei idealen Gasen mit der Eigenschaft, dass die jeweiligen molaren inneren Energien durch ei D Li festgelegt seien. Alle Sorten haben identische Entropie pro Mol und das Gemisch befinde sich bei festem Druck p in einem konstanten Volumen V . Es seien Übergänge von 1 $ 2 und 2 $ 3 möglich. a) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingungen ausgehend von der freien Enthalpie auf. b) Bestimmen Sie die Verhältnisse der Molzahlen n2 =n1 und n3 =n1 als Funktion der Temperatur und der zugehörigen Differenzen i j . c) Was ändert sich, wenn auch Übergänge n2 $ n3 erlaubt sind? 185 (5 BE) Lösungsvorschlag bfAufgabe 1 a) Es gilt 1 @p 1 @V @p 1 @V D ; p D p V @p T p @T V V @p T @T V mit 1 1 @p @V @p @V @T @V D D 1 @V T @T p @p V @p T @T V @T p folgt 1 p D . 1/ V @V @T p ˇ b) Aus der Zustandsgleichung pV D nRT ! V D nRT p (1.1) des idealen Gases folgt 1 1 @V nR 1 nR D D D ; D nRT T p @T V p V 1 @V 1 1 nR ˇD D ; D V @T p V p T 1 1 nRT 1 @V D : D D 2 V @p T V p p Daraus berechnet man p D p 1 1 1 D Dˇ p T T c) Einsetzen von ˇ und und ausdifferenzieren ergibt @ 1 @V @2 V @ ŒV ˇ D V D @p @p @p@T V @T p T T 186 @ 1 @V @2 V @ ŒV D ; V D @T @T @T @p V @p T p p die Konsistenzbedingung ist damit erfüllt. alternativ: Es gilt @V @V Vˇ D ; V D : @T p @p T Aus V D V .T; p/ erhält man @V @V dT C dp D V ˇ dT dV D @T p @p T daraus folgt ˇ ˇ @ ŒV ˇˇˇ D @p T ˇ ˇ @ ŒV ˇˇ @T p V dp ; d) Für das System gilt 1 3a 1 @V ˇD 1C D T VT2 V @T p V 3a 3a V @V D 1C C ; D ) @T p T VT2 T T3 1 a 1 @V D 1C D p VT2 V @p T @V V a a 1 ) D 1C V C 2 : D @p T p VT2 p T Die Gleichung (1.3) kann durch Trennung der Variablen integriert werden, dp a dV D ) ln p D ln V C 2 C f .T / : V C Ta2 p T (1.2) (1.3) (1.4) Die Ableitung dieser Gleichung nach der Temperatur T für konstanten Druck p ergibt @V df .T / 1 2a C 0D a 3 V C T2 @T p T dT 3a 2a V df .T / 1 (1.2) C 3 C D a V C T2 T T T3 dT 187 1 a df .T / 1 1 df .T / a V D C 3 C D C V C a a 2 / .VC V C T2 T T dT T T2 dT T 1 df .T / C D T dT df .T / 1 ) D ) f .T / D ln T C const: D ln.RT / ; dT T eingesetz in (1.4) ergibt p a D ln p D ln V C 2 C ln.RT / ) ln T RT a ln V C 2 ; T und daraus erhält man V C a RT D T2 p ) V D RT p a : T2 bfAufgabe 2 a) Diagramme p T p T2 p1 B C A T1 D V1 V2 V V1 V2 p V 2 T1 T2 b) Für die einzelnen Prozesse berechnet man aus pV D nRT und E D CV T , Arbeit Wärme A!B dE D d Q d W D pdV D 0, W1 D 0 ) Q1 D CV .T2 T1 / B!C d Q D pdV D nRT2 dVV d W D dQ Q2 D nRT2 ln.V2 =V1 / D W2 C!D Q3 D CV .T1 T2 / W3 D 0 D!A Q4 D W4 D nRT1 ln.V1=V2 / Die aufgenommene Wärme ist Q1 C Q2 D CV .T2 T1 / C nRT2 ln V2 : V1 188 T Der Wirkungsgrad der Maschine ist nR.T2 T1 / ln VV12 W2 C W4 D D Q1 C Q2 CV .T2 T1 / C nRT2 ln VV21 < nR.T2 T1 / ln VV12 nRT2 ln V2 V1 D T2 T1 T2 D Carnot : bfAufgabe 3 Aus dem Differential für die innere Energie folgt dE D T dS C p dV ) dS D p 1 dE C dV ; T T somit ist @S 1 @2 E 1 @E @ @S @2 S D ; D ) D @T V T @T V @V @T V T @V @T T @V @T (1.5) und @S 1 @E p D C ; @V T T @V T T @ @S 1 @E 1 @2 E @.p=T / D 2 C C @T @V T V T @V T T @T @V @T V (1.5) 1 @E @.p=T / H) 0 D 2 C T @V T @T V @.p=T / @E ) D T2 : @V T @T V (1.6) Aus der thermischen Zustandsgleichung folgt g.V / p D f .V / C ) p D T f .V / C g.V / ) T T Die Gleichung (1.6) lautet damit @E D g.V / : @V T @.p=T / @T V D g.V / : T2 (1.7) Die Ableitung der Wärmekapazität @E CV WD @T V (1.8) 189 ergibt @ @E @ @E @ @CV (1.7) g.V / D0 D D D @V T @V @T V T @T @V T V @T V ) CV CV .T / : Aus (1.8) erhält man damit Z E.T; V / D dT 0 CV .T 0 / C G.V / undmit(1.7)gilt dG.V/ D g.V/ : dV bfAufgabe 4 Für das Differential der inneren Energie gilt mit der Magnetisierung M , dE D d Q C H dM : (1.9) Aus E D aT 4 folgt dE D 4aT 3 dT : (1.10) a) Das Magnetfeld wird bei konstanter Temperatur von 0 auf H erhöht, d.h. dT D 0 (1.10) H) dE D 0 (1.9) H) dQD H dM : Mit M D C H=T ) dM D C =T dH erhält man für die Wärme dQD H C dH T ) Q D C H2 : T1 b) Adiabatische Temperaturabsenkung, d.h. d Q D 0, aus (1.9) erhält man (1.10) dE D H dM H) 4aT 32 dT D T M dM ; C Integration ergibt für die Absenkung von H auf 0 1 3 1 C 2 H22 H12 2 3 2 4aC .T2 T1 / D .M2 M1 / D D 3 2 2 T2 T12 ) T22 T12 D 3C H 2 ) T23 D T13 2 8a T1 d.h. T2 < T1 , Abkühlung. 190 3CH 2 ; 8aT12 C2 H2 2T12 bfAufgabe 5 Für die freie Enthalpie eines mehrkomponentigen Systems gilt X ni GD ni i .T; p/ C RT ln n (1.11) i und für das chemische Potential i D ei T si C pv ; ei D Li : (1.12) a) Mit der Gleichgewichtsbedingung G D 0 folgt aus (1.11), X ni ıni i .T; p/ C RT ln 0: n i b) Für n2 =n1 ist ın3 D 0. Aus ın1 D .1 2 / C RT ln n1 n RT ln ın2 berechnet man vermittelst (1.13) n2 D .1 n 2 / C RT ln damit 1 2 L.2 1 / n2 D exp D exp ; n1 RT kB T die Boltzmann-Verteilung. Analog erhält man für n3 =n1 , L.3 1 n3 D exp : n1 kB T c) Nicht, da n3 L.3 2 D exp : n2 kB T 191 n1 0; n2 (1.13) 2. Klausur zur Theoretischen Physik FII - SS 09 Aufgabe 1 (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung) In einem Ofen der Temperatur T befindet sich ein Gas. Durch ein kleines Fenster an der Seite des Ofens werden mit einem Spektrometer die Spektrallinien der Gasmoleküle beobachtet, wie es die untenstehende Abbildung zeigt. Die Spektrallinien weisen eine Dopplerverschiebung auf, d.h. in Richtung des Spektrometers gilt für die Wellenlänge .E v/ vx .vx / D 0 1 C ; c mit c als der Lichtgeschwindigkeit und 0 als der Wellenlänge der Moleküle in Ruhe. Die Gasmoleküle unterliegen einer Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung, f .p/ E D m 2kB T 32 exp pE2 2mkB T : Die Dichte des Gases im Ofen werde mit n bezeichnet. T vE Mol vEx x Spektrometer Die Intensität J./ ist proportional zur Anzahl der Moleküle, welche Licht mit der Wellenlänge in Richtung des Spektrometers emittieren. Zeigen Sie, dass für die Intensität mc2 . 0 /2 J./ exp 220 kB T gilt. (4 BE) Aufgabe 2 (Lineare Kette) Eine eindimensionale Kette besteht aus n 1 Kettengliedern der Länge a. Anfangs- und Enpunkt der Kette haben den Abstand x. Die Anzahl der Glieder, welche nach rechts orientiert sind ist nC , vice versa die nach links n . 192 a) Bestimmen Sie die Entropie S der Kette als Funtktion von x. Verwenden Sie an geeigneter Stelle die Stirlingsche Formel. (2 BE) Zur Aufrechterhaltung der Länge x ist eine äußere Spannung notwendig. Die zum Parameter x gehörende verallgemeinerte Kraft ist die Spannung . b) Geben Sie die Spannung in Abhängigkeit von der Temperatur T der Kette an, wenn sich die Kettengelenke frei drehen können (dE D 0). (2 BE) Aufgabe 3 (Absorbierende Oberfläche) Betrachten Sie eine Oberfläche, welche N0 Moleküle binden kann. Die Wechselwirkungen zwischen den absorbierten Molekülen können Sie vernachlässigen. Zeigen Sie, dass das chemische Potential der Moleküle durch N ln a.T / ; D kB T ln N0 N mit a.t / als der Zustandsfunktion eines absorbierten Moleküls und N , 1 N N0 , als der Anzahl der absorbierten Moleküle, gegeben ist. Absorbtionszentren, welche ein Molekül binden, sind in einem Zustand mit der Energie "i . (4 BE) Aufgabe 4 (Äußeres Magnetfeld) Befindet sich ein Elektron in einem magnetiE so hat es die Energie ˙B B je schen Feld B nachdem ob sich der Spin parallel oder antiparallel zum Feld einstellt. Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität D @M=@B, mit M als dem totalen magentischen Moment, eines Systems freier Elektronen im Volumen V bei einer Temperatur von 0ı K, wenn das System total entartet ist und 0 B B gilt. (4 BE) ŒHinweis: Einteilchen-Zustandsdichte D.E/ D 3p V 2 2 h3 .2m/ E 193 " 0 B B Zustandsdichte: + Spin 0 B B Zustandsdichte: − Spin Aufgabe 5 (Zweitatomiges Molekül) Betrachten Sie die Rotation eines starren zweitamotigen Moleküls. Das Trägheitsmoment des Moleküls sei I . Die Rotation wird beschrieben durch die Winkel und ' mit den zugehörigen kanonisch konjugierten Impulsen p und p' . Die Rotationsenergie des Moleküls sei gegeben durch z y Z 1 1 d 3 pE "rot D 1 2 1 p C p'2 : 2 2I 2I sin ' x Zeigen Sie, dass die Zustandsfunktion durch zrot .T / D 2I kB T ~2 gegeben ist. Berechnen Sie sodann die Entropie und die Wärmekapazität (pro Molekül). (4 BE) 194 Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Die Teilchen unterliegen der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung, f .p/ E D m 2kB T 32 pE2 2mkB T exp : Für die Intensität gilt damit 23 Z 1 Z 1 m.vx2 C vy2 C vz2 / m dvy dvz exp Jn 2kB T 2kB T 1 1 23 Z 1 Z 1 mvy2 m mvx2 mvz2 Dn exp dvy exp dvz exp 2kB T 2kB T 2kB T 2kB T 1 1 s r m3 .2kB T /2 mvx2 exp Dn .2kB T /3 m2 2kB T r m mvx2 exp Dn ; 2kB T 2kB T „ ƒ‚ … D const: mit D 0 vx 1C c ) vx D c 0 folgt J exp mc2 . 0 /2 220 kB T 2 : Aufgabe 2 a) Für die Gesamtlänge x der Kette gilt, x D a.nC n /; n D nC C n : Die Anzahl der nach rechts, nC , und der nach links, n orientierten Kettenglieder ist x D a.nC x D a.n n C nC / D a.2nC n n / D a.n n/ ) 2n / ) 195 x C an ; 2 x C an n D : 2 nC D Die Anzahl der Möglichkeiten der Zustände mit gleicher Länge x ist W D n! ; nC !n ! die statistische Entropie lautet somit n! S D kB ln W D kB ln nC !n ! ˚ D kB n ln n n nC ln nC C nC n ln n C n ˚ D kB n ln n nC ln nC n ln n ˚ D kB .nC C n / ln n nC ln nC n ln n nC n D kB nC ln n ln n n an C x an C x an x an x ln D kB ln 2a 2an 2a 2an 1 x x 1 x D nkB 1C ln 1 C C 1C ln 2 2 an an 2 an x x 1 x 1 1 ln 1 C 1 ln 2 2 an an 2 an 1 x x 1 x ) S D nkB ln 2 1C ln 1 C 1 ln 1 2 an an 2 an x an : b) Äußere Kraft : d W D dx, dE D T dS C dx : (2.1) Kettenglieder sind frei drehbar, d.h. dE D 0. Legendré Transformation von (2.1) ergibt für die freie Energie @F dF D S dT C dx ) D : @x T Mit F D E T S folgt @S D T @x T x 1 1 x 1 1 ln 1 C C ln 1 C D nkB T 2an an 2an 2an an 2an x x 1 C an 1 C an . 1/ kB T D nkB T ) ln ln D x x 2an 1 an 2a 1 an 196 Aufgabe 3 Die Anzahl der Möglichkeiten N nicht unterscheidbare Teilchen auf N0 Plätze zu verteilen ist W D N0 ! : N !.N0 N /! Die Zustandsfunktion eines absorbierten Moleküls ist X aD e ˇ"i ; i damit ist die Zustandssumme ZD N0 ! aN : N !.N0 N /! (2.2) Für das chemische Potential gilt D @F=@N D ln Z kB T @@N , N0 ! aN N !.N0 N /! D N0 ln N0 N0 N ln N C N .N0 N / ln.N0 N / C .N0 N / C N ln a D N0 ln N0 N ln N .N0 N / ln.N0 N / C N ln a ˚ @F D D kB T ln N 1 C ln.N N0 / C 1 C ln a @N N N C ln a ) D kB T ln C ln a D kB T ln N0 N N0 N ln Z D ln Aufgabe 4 Die Zustandsdichte für ein freies Teilchen ist V 3 p D."/ D 2 3 .2m/ 2 " ; h für die Anzahl N˙ erhält man daraus Z " p p V V 3 3 2 d"0 " D 2 3 .2m/ 2 N˙ D 2 3 .2m/ 2 "3 h h 3 0 4V p3 4V 3 3 2 p D ) N˙ D .2m/ p : 2 3h 3h2 ˙ .2m/3 Für die Energie des Elektrons im Magnetfeld gilt " D ( p2 Œ0; B B für ", 2 "D 2m Œ0; C B B für #. 197 p2 2m ˙ B B. Der Skizze entnimmt man Die Teilchenzahl ist demnach 4V 3 p ; NC D 3h2 C 4V 3 p ; N D 3h2 2 pC D 0 B B ; 2m p2 D 0 C B B ; 2m Für das totale magnetische Moment erhält man somit 4V 3 B .NC N / D B pC p3 3 3h 32 32 4V 2m.0 C B B D B 2m.0 B B 3h3 3 3 B B 2 4V B B 2 3 .2m0 / 2 1 C 1 D B 3h3 0 0 3 B 4V 3 B 3 ' B .2m0 / 2 1 C 1C C ::: 3h3 2 0 2 0 M D 3 D 3B2B 4V .2m0 / 2 : 3h3 0 Die Ableitung nach B ergibt die Suszeptibilität, 3 @M 4V 2m0 / 2 D : D 32B @B 3h2 0 Mit N D 2 D 4V 3h2 3 .2m0 / 2 erhält man 3 2 N 3 2B N : B D 2 0 2 kB T0 Aufgabe 5 Für die Zustandsfunktion berechnet man Z 1 zrot D 2 d qE d pE e ˇ"rot h Z Z 2 Z 1 Z 1 1 2 1 1 2 d d' d pE d pE' exp ˇ p C p D 2 h 0 2I 2I sin2 ' 0 1 1 Z Z 1 Z 1 1 2 1 2 2 d d pE d pE' exp ˇ p C p' D 2 h 0 2I 2I sin2 1 1 198 2 D 2 h Z d Z 1 p2 ˇ 2I Z 1 p'2 dp exp dp' exp ˇ 2I sin2 1 s s Z Z 2 2I I 2I 2I sin2 D 2 d d sin D D h 0 ˇ ˇ ˇ~2 0 ˇ~2 0 ) zrot D 1 2I kB T : ~2 Die Entropie S wird aus der freien Energie 2I kB T F D kB T ln zrot D kB T ln ~2 berechnet. Es gilt 2I kB T 2I kB ~2 @F D kB ln C k T SD B 2 @T V ~ 2I kB T ~2 ) S D kB C kB ln 2I kB T : ~2 Daraus folgt die Wärmekapazität C D T .@S =@T /V , 2I kB ~2 ) CV D kB : CV D T kB 2I kB T ~2 199 Literaturverzeichnis [1] T. Fließbach. Lehrbuch zur Theoretischen Physik: Mechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV, Sprektrum Akademischer Verlag, 5. Auflage, 2006. [2] Baehr. Thermodynamik, Springer Lehrbuch, 9. Auflage, 1996. [3] F. Scheck. Theoretische Physik 5. Statistische Theorie der Wärme. Springer Lehrbuch, 2008. [4] J. Schmelzer et al. Aufgabensammlung zur klassischen theoretischen Physik. AULAVerlag Wiesbaden, 1. Auflage, 1994. [5] W. Nolting. Grundkurs Theoretische Physik 4. Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik. Springer Lehrbuch, 6. Auflage, 2005. [6] W. Nolting. Grundkurs Theoretische Physik 6. Statistische Physik. Springer Lehrbuch, 5. Auflage, 2005. [7] F. Schwabl. Statistische Mechanik. Springer Lehrbuch, 4. Auflage, 2006. [8] P. T. Landsberg et al. problems in thermodynamics and statistical physics. Pion Limited, 1971. [9] R. Kubo et al. Statistical Mechanics. Elsevier, 1974. 200 Sachregister A Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 28 Duhem-Gibbs-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ableitung partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 53 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 E Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Atomstrahlofen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Eigenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Ausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 122 Elektronenmasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Energie B Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . 10 freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 67, 76 Besetzungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Energie-Impuls Binominalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 110 nicht-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Bosekondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Energie-Impuls-Beziehung . . . . . . . . . . . 13, 15 Brillouin-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Energielücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 C Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 76 Carnot freie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 76, 88 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 26, 67 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 20, 34 f., 76, 122 chemische Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . 14 f., 17, 19 Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . 36 Eulersche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . 43 Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Expansionskoeffizient D thermischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Debye Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 F Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Debye Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Federwaage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Debye Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fermienergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Debye-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Ferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Freie Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 40, 109 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 30, 53 Freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 36, 151 Frenkel-Paar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Differentialgleichung partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Funktion partiell differenzierbare . . . . . . . . . . . . . . 53 Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Dirac-Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 201 G Kompressionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . 5 J Gas Bose– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 46, 173 Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 f. hochrelativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Gasgemisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Gefrierpunktserniedrigung . . . . . . . . . . . . . . . 36 Gesamtheit großkanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mikrokanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . 13 Gleichgewicht thermisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 163 H Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 141 Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 133 harmonischer Oszillator . . . . . 12, 40, 132, 163 ein-dimensionaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Hauptsatz erster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 hermitesche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Joule-Thomson Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . 27 Joule-Thomson Prozess . . . . . . . . . . . . . . 10, 23 K Kelvin-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 32 Kettenmolekül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Koeffizient stöchimetrischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Kohäsionsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Koheränzlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kompressibilität adiabatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kompressionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . 76 adiabatischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Koordinaten, kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kovolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7 f., 26, 31 f. L I Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 27, 31 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kreisprozess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 62 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Innere Energie . 7, 15, 20, 25, 29, 32, 34 f., 88 Integrierender Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Intensiät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Isobare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Ausdehnungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . 31 Isochore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Spannungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 31 Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lagrange–Multiplikator . . . . . . . . . . . . . . 18, 42 Landé-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 Leitungsband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 M Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . 163, 172 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 48, 172 Makrozustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Makrozustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Massendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 202 Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Mikrozustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 42 Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Molekül zweiatomiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Molenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Molvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 31, 61, 88 Molzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 N Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 110 O Ordnungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Oszillator harmonischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 f., 29 Ottomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 32 P Paramagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Phasenübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27, 29 Phasenraumverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phasenumwandlung 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30, 53 chemisches . . . . 19 f., 28, 35, 46, 152, 173 großkanonisches . . . . . . . . . . . . 17, 76, 162 thermodynamisches . . . . . . . . . . . 8, 25, 76 Punktdefekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Q Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Quantenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 R Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 S Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . 8, 35, 76 Schmelzwärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Schwankung relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 thermische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Schwankungsquadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Spannungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 23, 40 Stirilingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Stirlingsche Formel . . . . . 11, 39, 41, 132, 151 Strahlungsformel Planck– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 48 Strahlungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 172 T Teilchen Bose– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 27 Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 27 nicht-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ultra-relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Teilchendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Teilchenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 20, 25 absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 ideale Gasthermometer . . . . . . . . . . . . . . 61 kritische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 V Quantengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Valenzband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 203 thermische . . . . . . . . . . . . 34, 42, 67, 77, 88 van der Waals Gas . . . . . . . . . . . . 25, 35, 61, 77 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . 15, 23, 28, 172 großkanonische . . . . . . . . . . . . . 20, 42, 152 innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 kanonische . . 18, 27, 29, 40, 42 f., 48, 152 Verdampfungswärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 mikrokanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Verteilung Bose– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Zustandsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Fermi– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 151 Zwischengitterplatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Maxwell– . . . . . . . . . . . . . .11, 39, 142, 151 mikrokanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vibrationszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Virialentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 67 Virialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27, 31 Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Einheitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 n-dim Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 W Wärme -kapazität . . . . . . . . . 28, 40, 42, 62, 67, 77 spezifische 7, 14 f., 20, 26, 28 f., 34 f., 43, 48, 62, 89 Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 26 Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . 141 Wechselwirkung Zwei-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 f., 26, 67 Z -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 46, 173 Zustandsänderung adiabatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Zustandsdichte Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 25 Dieterici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 99 kalorische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 204
