Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik IIa SS 2009 G. Mahler

Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik IIa
G. Mahler
SS 2009
Blatt 8
Aufgabe 28. Entropie eines mikrokanonischen Ensembles von
2-Niveau-Systemem
Betrachten Sie ein System von N Teilchen, die sich jeweils entweder im Energiezustand E1 (Anzahl N1 ) oder in E2 (Anzahl N2 ) befinden. Es sei E1 = ∆ǫ und E2 = 0.
Die Gesamtenergie ist also E(N1 , N2 ) = N1 ∆ǫ.
a) Berechnen Sie die Anzahl der Zustände g(E) zu gegebenem E, d.h. auf wieviele
Arten g̃(N1 ) kann man aus N Teilchen Gruppen zu N1 bzw. N2 Teilchen bilden?
Stellen Sie g̃(N1 ) für N1 + N2 = N = 8 graphisch dar.
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie S(E) = kB ln g(E), indem Sie N1 , N2 durch E ausdrücken. Benutzen Sie dabei die Stirling-Näherung N! ≈
N
N
e
.
(2 Punkte)
c) Berechnen Sie die Temperatur T =
∂S
∂E
−1
und damit E(T ).
(2 Punkte)
Aufgabe 29. Energie-Mittelwert und -Fluktuation
Betrachten Sie Mittelwert und Fluktuation der Energie eines allgemeinen Systems
in Kontakt mit einem Wärmebad mit der absoluten Temperatur T = 1/kB β.
ln z
gegeben ist,
a) Zeigen Sie, dass die mittlere Energie des Systems E durch E = − ∂∂β
P
wobei z = exp(−βEn ) die Summe über alle Zustände des Systems ist. Berechnen
n
Sie E 2 als Funktion von Ableitungen von ln z.
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie die Varianz (∆E)2 der Energie (∆E = E −E). Zeigen Sie, dass die
1
g = (∆E)2 2 als Funktion der Wärmekapazität des Systems
Standard-Abweichung ∆E
und der absoluten Temperatur des Bades geschrieben werden kann.
(2 Punkte)
f
für ein
c) Machen Sie von diesem Ergebnis Gebrauch, um einen Ausdruck für ∆E
E
3
(1 Punkt)
ideales einatomiges Gas (E = 2 kB T ) herzuleiten.
Aufgabe 30. Negative Temperaturen
(schriftlich)
Betrachten Sie ein System von N räumlich fixierten Teilchen mit magnetischem Moment µ0 im Magnetfeld B. Jedes Teilchen befinde sich in einem der beiden Zustände
E1 = 0, E2 = 2µ0 B. Die Zahl der Teilchen im Zustand E2 sei n2 . Die Teilchen seien
unterscheidbar.
a) Berechnen Sie die mikrokanonische Entropie S(n2 ). Approximieren Sie S(n2 ) für
n2 ≫ 1 unter der Verwendung der Stirling-Formel ln n! ≈ n ln n − n. Für welches n2
ist S(n2 ) maximal?
(2 Punkte)
b) Welches ist der Wertebereich der Gesamtenergie E? Behandeln Sie E und S als
kontinuierlich und zeigen Sie, dass negative Temperaturen auftreten können. Woher
kommt das?
(2 Punkte)
c) Definieren Sie den 3. Hauptsatz. Wird dieser durch negative Temperaturen verletzt? Warum?
(1 Punkt)