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Übungen zu Quantenmechanik II, Sommersemester 2015
In den ersten beiden Beispielen soll die Formel
r
Z+∞
π
2
exp(b2 /4a),
I(a, b) =
dx exp(−ax + bx) =
a
a, b ∈ C, Re a > 0
−∞
√
√
(Gaußsches
Integral) bewiesen werden. Die Wurzel a ist dabei als a :=
p
|a|eiθ/2 zu verstehen, wobei a = |a|eiθ , −π/2 < θ < π/2.
1. Berechnen Sie zunächst das Integral I(a, 0). Sein Quadrat,
Z+∞
Z+∞
Z
2
2
−ax2
−ay 2
I(a, 0) =
dx e
dy e
= dx dy e−a(x +y ) ,
2
−∞
R2
−∞
kann leicht durch Einführen von Polarkoordinaten berechnet werden. Den
ursprünglichen Ausdruck I(a, 0) erhält man dann durch Ziehen der Wurzel,
wobei die damit verbundene Mehrdeutigkeit durch ein Stetigkeitsargument
behoben werden kann.
2. Stellen Sie nun mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes eine Beziehung
zwischen dem Integral
Z+∞
dx exp −a(x − c)2 ,
c∈C
−∞
und I(a, 0) her. Das erzielte Resultat gestattet Ihnen schließlich die Berechnung von I(a, b).
3. Bestimmen Sie
Z+∞
Z+∞
2
−ax2 2n
dx e
x und
dx e−ax x2n+1 ,
−∞
a ∈ C, Re a > 0, n ∈ N.
−∞
Den Wert des ersten Integrals erhalten Sie, indem Sie I(a, 0) n-mal nach a
differenzieren. Für die Bestimmung des zweiten Integrals ist keine Rechnung
notwendig!
4. Die Fresnelschen Integrale sind durch
Zt
C(t) =
2
dx cos x ,
Zt
S(t) =
0
dx sin x2
0
definiert, wobei
Zt
2
dx eix = C(t) + iS(t)
0
gilt.
(a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen C(−t) und C(t) beziehungsweise zwischen S(−t) und S(t)?
(b) HAus dem Cauchyschen Integralsatz folgt, dass das Kurvenintegral
dz exp(iz 2 ) für eine beliebige geschlossene Kurve Γ verschwinΓ
det (warum?). Finden Sie eine geeignete Kurve Γ, sodass Sie
R∞
R∞
dx exp(−x2 ) mit dx exp(ix2 ) in Beziehung setzen können.
0
0
(c) Welche Werte erhalten Sie für C(±∞) und S(±∞)?
5. Verwenden Sie die Resultate der vorigen Aufgabe um
Z∞
dx e±ix
2
−∞
zu bestimmen. Verallgemeinern Sie Ihr Ergebnis auf die Berechnung von
Z∞
2
dx eiαx ,
α ∈ R, α 6= 0,
−∞
wobei Sie zunächst die Fälle α > 0 und α < 0 unterscheiden. Finden Sie
sodann eine kompakte Notation, um Ihr Resultat für beide Fälle gleichzeitig anzugeben. Zeigen Sie schließlich, dass Sie das Fresnelintegral auch als
Limes unseres Gaußschen Standardintegrals erhalten können:
Z∞
lim I(δ − iα, 0) =
δ↓0
−∞
2
dx eiαx .
6. Überprüfen Sie die Faltungseigenschaft
Z+∞
dx K0 (xf , tf ; x, t)K0 (x, t; xi , ti ) = K0 (xf , tf ; xi , ti ),
ti < t < tf ,
−∞
des freien Ausbreitungskerns
r
K0 (xf , tf ; xi , ti ) =
m
exp
2πih̄(tf − ti )
im(xf − xi )2
2h̄(tf − ti )
durch eine explizite Rechnung.
7. Bestimmen Sie den Ausbreitungskern K0 (~xf , tf ; ~xi , ti ) ≡ h~xf , tf |~xi , ti i für
ein freies Teilchen in drei Raumdimensionen auf konventionelle“ Art, also
”
ohne Verwendung von Pfadintegralmethoden.
8. Die retardierte (kausale) Greenfunktion Gr (t, ~x) der Schrödingergleichung
für ein freies Teilchen mit Masse m in drei Raumdimensionen ist durch
h̄2
∂
∆ Gr (t, ~x) = ih̄ δ(t)δ (3) (~x),
ih̄ +
∂t 2m
Gr (t, ~x) = 0 für t < 0
e ω, ~k der Greenfunkbestimmt. Ermitteln Sie die Fouriertransformierte G
tion. Aus dieser kann Gr (t, ~x) sodann berechnet werden, wobei Sie für die
notwendige Integration über ω den Residuensatz verwenden.
9. Verifizieren Sie durch explizite Rechnung, dass K0 (~x, t; ~0, 0) die Schrödingergleichung
∂
h̄2
ih̄ +
∆ K0 (~x, t; ~0, 0) = 0
∂t 2m
erfüllt.
10. A, B seien nicht miteinander kommutierende Operatoren. Der Operator C
ist durch
2
eε(A+B) = eεA eεB eε C
definiert, wobei ε eine kleine Größe ist. Drücken Sie C in führender Ordnung
von ε durch A und B aus.
Hinweis: Entwickeln Sie beide Seiten der Gleichung bis zur notwendigen
Ordnung in ε.
11. Das Wirkungsintegral eines harmonischen Oszillators ist durch
m
S[x] =
2
Ztf
dt ẋ(t)2 − ω 2 x(t)2
ti
gegeben. Sei xkl (t) die Lösung der klassischen Bewegungsgleichung
ẍkl (t) + ω 2 xkl (t) = 0
mit den Randbedingungen xkl (ti ) = xi , xkl (tf ) = xf . Zeigen Sie, dass die
klassische Wirkung S[xkl ] durch die Randterme xi,f und ẋkl (ti,f ) ausgedrückt werden kann:
m
S[xkl ] =
[xf ẋkl (tf ) − xi ẋkl (ti )] .
2
12. Zeigen Sie, dass die klassische Lösung xkl (t) durch
xkl (t) = xi
sin ω(tf − t)
sin ω(t − ti )
+ xf
sin ω(tf − ti )
sin ω(tf − ti )
gegeben ist.
13. Überprüfen Sie die Formel für die klassische Wirkung des harmonischen
Oszillators:
2
mω
(xi + x2f ) cos ω(tf − ti ) − 2xi xf .
S[xkl ] =
2 sin ω(tf − ti )
14. Der Propagator des harmonischen Oszillators ist durch
r
i
mω
e h̄ S[xkl ]
K(xf , tf ; xi , ti ) =
2πih̄ sin ω(tf − ti )
gegeben. Überprüfen Sie, dass K(x, t; 0, 0)
(a) die Schrödingergleichung
∂
ih̄ K(x, t; 0, 0) =
∂t
h̄2 ∂ 2
mω 2 2
−
+
x K(x, t; 0, 0),
2m ∂x2
2
(b) die Normierungsbedingung K(x, 0; 0, 0) = δ(x) erfüllt, und
(c) sich im Limes ω → 0 der Ausbreitungskern eines freien Teilchens ergibt.
15. Bestimmen Sie die ersten drei Energieeigenwerte E0 , E1 , E2 des harmonischen Oszillators und die dazugehörigen Energieeigenfunktionen φ0 (x),
φ1 (x) und φ2 (x) durch Vergleich des Propagators mit
K(xf , tf ; xi , ti ) =
∞
X
e−iEn T /h̄ φn (xf )φn (xi )∗ ,
T := tf − ti .
n=0
Hinweis: Siehe VO, P30.
16. Zeigen Sie die physikalische Äquivalenz der Lagrangefunktionen
L =
m 2 c(t) 2
ẋ −
x − e(t)x,
2
2
C(t) 2
m 2
ẋ + B(t)xẋ −
x + D(t)ẋ − E(t)x
2
2
(a) mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung,
L0 =
(b) durch partielle Integration im Wirkungsintegral.
17. Vereinfachen Sie die klassische Wirkung
Ztf
S[xkl ] =
dt
m
c(t)
2
2
ẋkl (t) −
xkl (t) − e(t)xkl (t)
2
2
ti
durch partielle Integration und Verwendung der Bewegungsgleichung.
18. Die führende Bornsche Näherung für die Wellenfunktion eines Teilchens,
das an einem Potential V (x) gestreut wird, lautet
i
ψ(xf , tf ) = φ(xf , tf ) −
h̄
Ztf
Z
dt
dx K0 (xf , tf ; x, t) V (x) φ(x, t) + . . . ,
ti
wobei φ(x, t) die freie Zeitentwicklung des Anfangszustands beschreibt. Untersuchen Sie Reflexion und Transmission des Teilchens mit
φ(x, t) = exp(ikx) exp(−ih̄k 2 t/2m),
k > 0,
an dem Deltapotential V (x) = λδ(x) zur Ordnung λ. Vergleichen Sie Ihr
Resultat für die Reflexionsamplitude R(k) und die Transmissionsamplitude
T (k) mit den exakten Ergebnissen (siehe T2-Skriptum, S. 63).
Hinweis: Verwenden Sie die Methode der stationären Phase zur
Durchführung der Zeitintegration. Geben Sie eine physikalische Interpretation jener Zeit ts , für welche die Phase stationär wird.
• Die Bewegungsgleichung eines Operators O(t) im Heisenbergbild lautet:
dO(t)
∂O(t)
i
=
+ [H, O(t)].
dt
∂t
h̄
• Der Hamiltonoperator eines Teilchens mit Masse m, Ladung q und
Spin s, das sich in einem äußeren elektromagnetischen Feld befindet,
lautet:
1 h ~ q ~ ~ i2
~ − γS
~ · B(t,
~ X),
~
~ = rot A.
~
P − A(t, X) + qφ(t, X)
H=
B
2m
c
~
19. Berechnen Sie V~ (t) = dX(t)/dt.
20. Berechnen Sie m dV~ (t)/dt.
~
21. Berechnen Sie dS(t)/dt.
~ = B~ez
22. Bei der Bewegung eines Teilchens in einem homogenen Magnetfeld B
ist die Zeitabhängigkeit der Operatoren X(t) und Y (t) durch
i
1h
Ẋ(0) sin ωt − Ẏ (0) cos ωt ,
X(t) = X̄ +
ω
i
1h
Y (t) = Ȳ +
Ẋ(0) cos ωt + Ẏ (0) sin ωt
ω
gegeben (siehe VO). Berechnen Sie die Kommutatoren
[Ẋ(t), Ẏ (t)], [X̄, Ȳ ], [X̄, Ẋ(t)], [X̄, Ẏ (t)], [Ȳ , Ẋ(t)], [Ȳ , Ẏ (t)].
23. Ein spinloses Teilchen bewege sich in dem homogenen Magnetfeld des vorigen Beispiels. Der Operator der z-Komponente des physikalischen Bahndrehimpulses (bezüglich des Kreismittelpunktes (X̄, Ȳ )) ist durch
h
i
Lz (t) = m X(t) − X̄ Ẏ (t) − Y (t) − Ȳ Ẋ(t)
definiert. Zeigen Sie, dass der Operator Lz zeitlich konstant ist und drücken
Sie ihn durch H aus.
24. Ladungs- und Stromdichte eines geladenenen Teilchens mit magnetischem
Moment µ
~ , das sich in einem äußeren elektromagnetischen Feld bewegt,
sind durch
†
q
†
~
ρ = qψ ψ, j =
ψ † V~ ψ + V~ ψ ψ + c rot ψ † µ
~ψ
2
gegeben, wobei der Geschwindigkeitsoperator die Form
1 ~ − qA
~
−ih̄∇
V~ =
m
c
besitzt. Zeigen Sie, dass die Kontinuitätsgleichung ∂ρ/∂t + div ~j = 0 erfüllt
ist.
25. Wir betrachten das freie elektromagnetische Feld mit periodischen Randbedingungen in einer Schachtel Ω = [0, L1 ] × [0, L2 ] × [0, L3 ] mit dem Volumen
V = L1 L2 L3 . Die allgemeine Lösung für das Vektorpotential in der Coulombeichung hat dann die Form
−i~k·~
x
X ei~k·~x
e
−iω
t
∗
+iω
t
∗
~
~
~ ~x) =
√ ~ε~k,λ e k b~k,λ + √ ~ε~k,λ e k b~k,λ
A(t,
V
~k,λ
| V{z } | b {z(t) }
~
u~k,λ (~
x)
~
k,λ
2πni
∗
, ni ∈ Z; ω~k = c~k ; ~ε~k,λ
· ~ε~k,λ0 = δλ,λ0
Li
Geben Sie die explizite Form des elektrischen und magnetischen Feldes an!
ki =
26. Zeigen Sie, dass sich mit der Konvention ~ε−~k,1 = −~ε~k,1 , ~ε−~k,2 = ~ε~k,2 für
die linearen Polarisationsvektoren die Beziehungen ~ε−∗ ~k,± = −~ε~k,± für die
zirkularen Polarisationsvektoren ergeben.
27. Zeigen Sie (λ = ±):
Z
d3 x ~u~∗k0 ,λ0 (~x) · ~u~k,λ (~x) = δ~k0~k δλ0 λ ,
Ω
Z
d3 x ~u~k0 ,λ0 (~x) · ~u~k,λ (~x) = −δ~k0 ,−~k δλλ0 .
Ω
28. Zeigen Sie:
Z
Ω
Z
2
1
~·A
~¨
~
d x rot A = − 2 d3 x A
c
3
Ω
~ = 0 und
Hinweis: Verwenden Sie partielle Integration, die Feldgleichung 2A
~ = 0.
die Eichbedingung div A
29. Drücken Sie die Energie des elektromagnetischen Feldes
Z
Z
2 1
1
1
˙
3
3
2
2
2
~ +B
~ =
~ + rot A
~
EFeld =
dx E
d x 2A
8π
8π
c
Ω
Ω
durch die Fourierkoeffizienten b~k,λ aus.
Hinweis: Verwenden Sie das Resultat des vorigen Beispiels.
30. Drücken Sie den Impuls des elektromagnetischen Feldes
Z
1
~ ×B
~
d3 x E
P~Feld =
4πc
Ω
durch die Fourierkoeffizienten b~k,λ aus.
Hinweis: Zeigen Sie, dass man mit Hilfe von partieller Integration und der
Eichbedingung den Feldimpuls in der Form
Z
1
Pi = −
d3 x Ȧj ∇i Aj
4πc2
Ω
schreiben kann.
31. Ausgedrückt durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lautet der
Feldoperator des freien elektromagnetischen Feldes:
s
X 2πh̄c2 −ik·x
~
A(t, ~x) =
e
~ε~k,λ a~k,λ + h.k. , k · x = ω~k t − ~k · ~x.
V ω~k
~k,λ
Verifizieren Sie, dass seine zeitliche Änderung tatsächlich durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung
i
~ ~x)
∂ A(t,
ih ~
=
H, A(t, ~x)
∂t
h̄
bestimmt ist.
32. Zeigen Sie, dass die räumliche Änderung des Feldoperators durch die Gleichung
i
∇j Ak (t, ~x) = − [Pj , Ak (t, ~x)]
h̄
beschrieben wird, wobei P~ der Impulsoperator des elektromagnetischen Feldes ist.
33. Überzeugen Sie sich davon, dass die in den beiden vorangegangenen Beispielen angegebenen Beziehungen der infinitesimalen Version der RaumZeit-Translation des Feldoperators
~ + a) = eiP ·a/h̄ A(x)
~
A(x
e−iP ·a/h̄
entsprechen, wobei P µ = H/c, P~ und xµ = (ct, ~x).
34. ϕ1 , . . . , ϕn und ψ1 , . . . , ψn seien beliebige Vektoren eines Einteilchenhilbertraums H(1) . Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt hϕ1 , . . . , ϕn |ψ1 , . . . , ψn i
der in der Vorlesung definierten Vektoren |ϕ1 , . . . , ϕn i ∈ H(n) und
|ψ1 , . . . , ψn i ∈ H(n) durch die Permanente (für Bosonen) bzw. die Determinante (für Fermionen) der n × n-Matrix mit den Elementen hϕi |ψj i gegeben
ist.
(1)
35. {|αi}∞
α=1 sei ein vollständiges Orthonormalsystem von H . Beweisen Sie
die im Fall von Bosonen und Fermionen geltende Vollständigkeitsrelation
∞
∞
X
1 X
...
|α1 , . . . , αn ihα1 , . . . , αn | = 1(n) .
n! α =1 α =1
1
n
Hinweis: Wenden Sie die linke Seite des obigen Ausdrucks auf den Vektor
|β1 , . . . , βn i an.
36. Zwischen zwei identischen, spinlosen Teilchen wirke eine Kraft, welche durch
das Zweiteilchenpotential
V (2) (~x, ~y ) ≡ V (2) (|~x − ~y |)
beschrieben werde. Der entsprechende in H(2) wirkende Operator ist dann
durch
Z
1
(2)
d3 x d3 y |~x, ~y iV (2) (~x, ~y )h~x, ~y |
V =
2
gegeben. Verifizieren Sie diese Behauptung durch Anwendung von V (2) auf
den Zweiteilchenzustand |~x1 , ~x2 i.
37. Zeigen Sie, dass der im Fockraum wirkende Operator
Z
1
V =
d3 x d3 y a† (~x)a† (~y )V (2) (~x, ~y )a(~y )a(~x)
2
P (2)
die Eigenschaft V |~x1 , . . . , ~xn i =
V (~xi , ~xj )|~x1 , . . . , ~xn i hat.
i<j
38. Berechnen Sie die zeitliche Änderung des Vernichtungsoperators aσ (t, ~x)
gemäß der Heisenberggleichung ȧσ (t, ~x) = (i/h̄)[H, aσ (t, ~x)] für den Hamiltonoperator
XZ
h̄2
3
†
H(t) =
∆ + V (~x) aσ (t, ~x).
d x aσ (t, ~x) −
2m
σ
39. Wie lautet das Wirkungsintegral für eine nichtrelativistische Feldtheorie spinloser Teilchen zwischen denen eine durch das Zweikörperpotential
V (2) (~x, ~y ) ≡ V (2) (|~x−~y |) beschriebene Wechselwirkung herrscht? Ermitteln
Sie die daraus folgende Feldgleichung.
40. Die Fourierzerlegung des Feldoperators eines freien reellen Skalars lautet
Z
φ(x) = dµ(p) a(p)e−ip·x + a(p)† eip·x .
Zeigen Sie, dass man a(p) und a(p)† aus φ(x) durch die Relationen
Z
Z
↔
↔
3
ip·x
†
a(p) = i d x e
∂0 φ(x), a(p) = −i d3 x e−ip·x ∂0 φ(x)
erhalten kann.
41. Zeigen Sie mit Hilfe der eben angegebenen Formeln, dass man die Vertauschungsrelationen für a(p) und a(p)† aus den kanonischen Vertauschungsrelationen für φ und φ̇ herleiten kann.
42. Zeigen Sie, dass die aktive Drehung eines Vektors ~x ∈ R3 mit dem
Drehwinkel α um die Drehachse ~n (|~n| = 1, Rechte-Hand-Regel) durch
~x0 = R(~
α)~x = cos α ~x + (1 − cos α) ~n(~n · ~x) + sin α ~n × ~x, α
~ = α ~n, beschrieben wird. Geben Sie die Matrixdarstellung von R(~
α) bezüglich der
Standard-Orthonormalbasis {~e1 , ~e2 , ~e3 } an.
Hinweis: Zerlegen Sie den Vektor ~x in einen Anteil parallel bzw. normal zur
Drehachse und verwenden Sie die Linearität der Transformation R(~
α).
43. Zeigen Sie, dass jedes A ∈ SO(3, R) für eine geeignete Wahl des Drehvektors
α
~ stets in der Form A = R(~
α) geschrieben werden kann.
Hinweis: Fassen Sie A als Element von L(C3 ) auf. Was folgt für die Eigenwerte und Eigenvektoren von A aus den Bedingungen A∗ = A, AT A = 1
und det A = 1? Verwenden Sie den Spektralsatz für normale Operatoren,
um Ihr Endresultat zu erhalten.
44. Zeigen Sie
α
α
− i~n · ~σ sin
2
2
auf wenigstens zwei verschiedene Arten! In dieser Formel bezeichnen
U (~
α) := e−i~α·~σ/2 = cos
~σ = (σx , σy , σz )
die Paulischen Spinmatrizen, ~n ist ein Einheitsvektor in Richtung des Drehvektors α
~ = α ~n.
45. Zeigen Sie:
1
Tr σi U (~
α)σj U (~
α)† = (R(~
α))ij
2
46. Zeigen Sie, dass man U ∈ SU(2) aus dem dazugehörigen R ∈ SO(3) durch
die Formel
12 + Rij σi σj
U =± √
2 1 + Tr R
erhält.
47. Berechnen Sie Tr(σ̄ µ σ ν ) für σ µ = (1, ~σ ), σ̄ µ = (1, −~σ ).
48. Zeigen Sie:
e−~u·~σ/2 = cosh
u
u
− ~n · ~σ sinh ,
2
2
49. Die Formel
Lµν =
~u = u ~n, |~n| = 1, u ≥ 0.
1
Tr σ̄ µ Aσν A†
2
bildet A ∈ SL(2, C) auf L = (Lµν ) ∈ L↑+ ab. Bestimmen Sie L für
A = exp(−u σ 3 /2). Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen dem Parameter u und der Relativgeschwindigkeit V der beiden durch die Lorentztransformation L verbundenen Inertialsysteme.
50. Bestimmen Sie das zu A = exp(−~u ·~σ /2) gehörige L ∈ L↑+ (allgemeine Form
einer reinen Geschwindigkeitstransformation).