VL 11 und 12

6 Woche.doc, 23.11.10
2.5
"Rezept" zur Lösung von Bewegungsproblemen mit Hilfe der LagrangeGleichungen II. Art. Beispiele
1. Wähle geeignete (→ Zwangbedingungen, Symmetrie) verallgemeinerte Koordinaten q =
(q1, q2, ... , qf)
x n = x n ( q, t )
2. Drücke die kinetische und die potenzielle Energie durch q und q& aus und bestimme die
Lagrange-Funktion
L(q, q& , t ) = T(q, q& , t ) − U(q, t )
Enthält L(q, q& , t ) zyklische Koordinaten oder Terme der Form
3. Leite die Bewegungsgleichung
d
F(q, t ) ?
dt
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎟−
⎜
= 0 , i = 1, … , f ab.
dt ⎜⎝ ∂ q& i ⎟⎠ ∂ q i
4. Löse die Bewegungsgleichung (unter Berücksichtigung der Integrale der Bewegung),
bestimme die Integrationskonstanten und diskutiere die Lösung.
■
(nichtrelativistische)Bewegung eines geladenen Teilchens (→ m, q) im
elektromagnetischen Feld
1. Wir wählen r ( t ) und r& ( t ) , da keine Zwangbedingungen/Bewegungsbeschränkungen oder
Symmetrien erkennbar
2. Behauptung:
L(r, r&, t ) =
m 2
r& − q φ(r, t ) + q r& ⋅ A(r, t )
2
1
Einschub: Maxwell´sche Gleichungen des elektromagnetischen Feldes
div B(r, t ) = 0
rot E(r, t ) = −
div D(r, t ) = ρ(r, t )
∂ B(r, t )
∂t
rot H(r, t ) = j(r, t ) +
D = ε0ε r E
∂ D( r , t )
∂t
B = μ 0μ r H
Die beiden linken Gleichungen enthalten weder die Ladungsdichte (Quellen des elektrischen
Feldes), noch die Stromdichte (Quelle des magnetischen Feldes). Die erste bedeutet, dass es
keine magnetischen Ladungen gibt. Sie kann durch den Lösungsansatz
rot A(r,t) = B(r,t)
→
Definition des Vektorpotenzials A(r,t)
identisch erfüllt werden. Aus der zweiten Gleichung, dem Faraday´schen Induktionsgesetz
folgt dann
0 = rot E(r, t ) +
⎛
∂ B(r, t )
∂ A(r, t ) ⎞
⎟.
= rot ⎜⎜ E(r, t ) +
∂t
∂ t ⎟⎠
⎝
Da sich ein wirbelfreies Feld als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lässt, kann diese
Maxwell´sche Gleichung durch den Ansatz
E(r, t ) +
∂ A(r, t )
= − grad φ(r, t )
∂t
→ Definition des skalaren Potentials φ(r,t)
erfüllt werden.
Ableitung der Bewegungsgleichung (keine zyklischen Variablen oder
komponentenweise:
∂L
= m x& + q A x ,
∂ x&
∂A y
⎛ ∂A x
∂A z
∂L
∂φ
+ y&
+ z&
= −q
+ q ⎜⎜ x&
∂x
∂x
∂x
∂x
⎝ ∂x
d F(r, t )
Anteile)
dt
d ⎛ ∂L ⎞
dAx
⎜⎜
⎟⎟ = m &x& + q
d t ⎝ ∂ x& ⎠
dt
⎞ ⇓
⎟⎟ =
⎠
2
Addiere "nahrhafte Null"
⇓
=−q
0 = y&
∂A x
∂A x
∂A x
∂A x
+ z&
− y&
− z&
∂y
∂z
∂y
∂z
⎛ ∂A x
∂φ
∂A x
∂A x
+ q ⎜⎜ x&
+ y&
+ z&
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
∂Ay
⎛ ∂Ax
⎞
⎟⎟ − q ⎜⎜ y&
− y&
∂x
⎝ ∂y
⎠
⎛ ∂A x
⎞
∂Az
⎟⎟ − q ⎜⎜ z&
− z&
∂x
⎝ ∂z
⎠
⎞ ⇓⇓
⎟⎟ =
⎠
Nutze
dA x ∂A x ∂A x
∂Ax
∂Ax
∂Ax
∂A x dA x
+
= (r& ⋅ ∇) A x
=
x& +
+
y& +
z& =
+ (r& ⋅ ∇) A x d.h. −
∂t
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
dt
= −q
⎤
⎡
⎛ dA x ∂A x
∂φ
∂φ
+ q ⎜⎜
−
+ q (r& ⋅ ∇) A x + ⎢ r& × (∇ × A) ⎥ x = − q
23 ⎥
∂
∂t
x
d
t
∂x
⎢ 1
⎝
rot A = B ⎦
⎣
Aus
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎜
⎟−
= 0 folgt
d t ⎜⎝ ∂ x& ⎟⎠ ∂ x
⇓⇓
⎛
⎜
⎜
∂φ ∂ A x
dA x
dA x
=q ⎜ −
−
+
+ (r& × B) x
m &x& + q
∂t
dt
x
dt
⎜ 14∂4
2443
________
⎜⎜ E wegen E = − gradφ − ∂A ________
∂t
⎝ x
⎞
⎟⎟ + q (r& × B) x
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟ = q ( E + r& × B) x .
⎟
⎟⎟
⎠
Analoge Vorgehensweise für die y- und die z-Komponente führt schließlich auf
m &r& = q ( E + r& × B)
→ Lorentz-Kraft
Wir erhalten also die richtige Bewegungsgleichung, d.h. wir sind von der richtigen LagrangeFunktion ausgegangen.
Beachte: Für den verallgemeinerten Impuls finden wir
∂L
=: p = m r& + q A , wobei der Term
∂ r&
q A den Impulsübertrag vom elektromagnetischen Feld auf das geladene Teilchen beschreibt.
Für die Energie ergibt sich dann
3
∂L
⎤ m 2
⎡m 2
⋅ r& − L = (m r& + q A) ⋅ r& − ⎢ r& − q φ(r, t ) + q r& ⋅ A(r, t ) ⎥ = r& + q φ(r, t ) =: E .
∂ r&
⎦ 2
⎣ 2
q φ(r, t ) ist die potenzielle Energie des Teilchens in Übereinstimmung mit der Tatsache, dass
das Magnetfeld keine Arbeit am Teilchen verrichtet. Der Zusatzterm q A im Teilchenimpuls
muss berücksichtigt werden, wenn die Lagrange-Funktion nach der "Regel" L = T – U
bestimmt wird.
•
Eichtransformation und Eichinvarianz
Die Transformation
A(r, t ) → A' (r, t ) = A(r, t ) + grad χ(r, t ) ,
φ(r, t ) → φ' (r, t ) = φ(r, t ) −
∂ χ( r , t )
∂t
wobei χ(r, t ) beliebig, heißt Eichtransformation. Unter der Eichtransformation ändern sich
die Felder E und B nicht, wie man leicht überprüfen kann. Diese Invarianz der Felder heißt
Eichinvarianz.
Unter der Eichtransformation A' = A + grad χ , φ' = φ − ∂ χ / ∂ t transformiert sich die
Lagrange-Funktion L(r, r&, t ) =
L' (r, r&, t ) =
⎛
m 2
∂χ
r& − q ⎜⎜ φ −
2
∂t
⎝
m 2
r& − q φ(r, t ) + q r& ⋅ A(r, t ) wie folgt:
2
⎞
⎛ ∂χ
⎞
m
⎟⎟ + q r& ⋅ ( A + grad χ ) = r& 2 − q φ + q r& ⋅ A + q ⎜⎜
+ grad χ ⋅ r& ⎟⎟
2 44
t
⎝1∂4
⎠
1
42444
3
42443⎠
L ( r ,r& ,t )
also
L' (r, r&, t ) = L(r, r&, t ) +
d χ ( r ,t )
dt
d χ( r , t )
dt
4
→ die transformierte Lagrange-Funktion enthält einen einzigen Zusatzterm, nämlich die
vollständige Ableitung nach der Zeit der Funktion χ(r, t ) . Dieser Term spielt keine Rolle bei
der Ableitung der Bewegungsgleichung: m &r& = q ( E + r& × B) ist eichinvariant.
■
Bewegung eines relativistischen Teilchens (→ Ruhemasse m0, Ladung q) im
elektromagnetischen Feld (Übungsblatt).
2
r&
L(r, r&, t ) = − 1 − 2 m 0 c 2 − q φ(r, t ) + q r& ⋅ A(r, t )
c
Im nichtrelativistischen Grenzfall
r&
<< 1
c
folgt die Lagrange-Funktion für die
nichtrelativistische Bewegung im elektromagnetischen Feld
L(r, r&, t ) =
m 2
r& − q φ(r, t ) + q r& ⋅ A(r, t ) .
2
Bei der Ableitung der Bewegungsgleichung ergibt sich völlig analog zur Vorgehensweise im
nichtrelativistischen Fall das erwartete Resultat
d
(m r& ) = q ( E + r& × B)
dt
Die Energie des Teilchens ist
mit
m :=
∂L
⋅ r& − L =
∂ r&
m0
2
r&
1− 2
c
m0
2
1−
r&
c2
→ relativistische Masse
c2 + q φ = m c2 + q φ := E .
5
potenzielle Energie: U = mg z = mg r cos α
Lagrange-Funktion: L =
m 2 2 2 2
(r& + r ϕ& sin α) − mg r cosα = L(r, r&, ϕ& )
2
ϕ ist zyklische Koordinate, also ist
pϕ =
∂L
= m r 2 ϕ& sin 2 α =: L z = const (H1)
∂ ϕ&
Integral der Bewegung → Drehimpulserhaltung. Grund: Rotationssymmetrie - Potenzial und
Zwangbedingung sind rotationsinvariant.
L ist nicht explizit zeitabhängig → Energieerhaltung
T+U =
m 2 2 2 2
(r& + r ϕ& sin α ) + mg r cosα =: E = const (H2)
2
3. Lagrange-Gleichungen
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
d
⎜⎜ ⎟⎟ −
=0 →
(m r 2 ϕ& sin 2 α ) = 0
dt ⎝ ∂ ϕ& ⎠ ∂ ϕ
dt
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎜⎜ ⎟⎟ −
= 0 → m &r& − m r ϕ& 2 sin 2 α + mg cosα = 0 (H3)
&
dt ⎝ ∂ r ⎠ ∂ r
4. Lösung der Lagrange-Gleichungen unter Berücksichtigung der Integrale der Bewegung,
Bestimmung der Integrationskonstanten, Diskussion der Lösung
Anstatt die DG 2. Ordnung (H3) zu integrieren, verwenden wir (H1) in (H2), da diese
Gleichungen nur Ableitungen erster Ordnung der gesuchten Funktionen r(t) und ϕ(t)
enthalten. Aus E =
m 2 m 2
Lz
sin 2 α + mg r cosα folgt
r& + r
2
2
2
2 (m r sin α )
2
7