Elektrodynamik Sommersemester 2014 Aufgabenblatt 9

Elektrodynamik
Sommersemester 2014
Aufgabenblatt 9
Abgabetermin: Freitag 20.06.2014 um 12.00 Uhr
ED 9.1: (8 Punkte)
Die Bewegungsgleichung für ein Punktteilchen im elektromagnetischen
Feld lautet in kovarianter Form
m
duµ
= qF µν uν .
dτ
µ
die Vierer-Geschwindigkeit und dτ =
Dabei ist uµ = dx
dτ
zeitintervall. Setzen Sie in dieser Aufgabe c = 1.
(1)
dt
γ
das Eigen-
(a) Zeigen Sie explizit, dass sowohl die linke als auch die rechte Seite
von (1) verschwindet, wenn Sie mit uµ multipliziert wird.
(b) Leiten Sie aus (1) die Bewegungsgleichung in der gewöhnlichen, dreidimensionalen Vektorschreibweise her.
(c) Zu welcher Beziehung ist Gleichung (1) für den zeitlichen Index
µ = 0 äquivalent?
(d) Spezialisieren Sie das Resultat von c) nun auf den Fall der nichtrelativistischen Bewegung in einem konstanten Magnetfeld B(x, t) =
B, E = 0. Wie lautet jetzt die Bewegungsgleichung? Zeigen Sie,
dass die kinetische Energie des Teilchens bei der Bewegung zeitlich
konstant ist.
(e) Das Magnetfeld habe die Komponenten B1 = B2 = 0 und B3 =
−B. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der nichtrelativischen
Bewegungsgleichung für v(t). Verwenden Sie die Abkürzung ω =
qB
.
m
(f) Spezialisieren Sie auf die Anfangsbedingungen


 
0
a
v(0) =  aω 
x(0) =  0 
0
0
(2)
und berechnen Sie die Teilchenbahn x(t). Beschreiben Sie die Bahnkurve in Worten.
1
ED 9.2: (6 Punkte)
Leiten Sie aus dem Wirkungsfunktional
Z
1
4
µν
µ
S[A] =
d x − Fµν F + Aµ j
(3)
4
M4
die inhomogenen Maxwell-Gleichungen her, indem Sie nach den Potentialen variieren. Als Ergebnis sollten Sie finden:
∂µ F µν = −j ν ,
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(4)
(a) Zeigen Sie, dass (4) äquivalent ist zu
divE = %,
rotB − ∂t E = j
(5)
(b) Zeigen Sie explizit, dass das elektrische Feld E(x) und das magnetische Feld B(x) Observablen sind, d.h., dass diese Felder invariant
sind unter den Eichtransformationen
µ
Aµ (x) → A0 (x) = Aµ (x) + ∂ µ Λ(x)
(6)
wobei Λ(x) eine beliebige zweifach stetig differenzierbare Funktion
ist.
(c) Leiten Sie direkt aus (4) die Kontinuitätsgleichung in kovarianter
Form her.
(d) Schreiben Sie (4) als kovariante Wellengleichung für das Viererpotential Aν . Fixiert die Lorenz-Bedingung ∂µ Aµ = 0 die Eichung
vollständig? Falls nicht, geben Sie die Bedingung für Λ an, welche
die verbliebenen Eichtransformationen erfüllen müssen.
ED 9.3: (6 Punkte)
Gegeben sei die relativistische Lagrange-Funktion für ein Punktteilchen
das sich in einem externen elektromagnetischen Feld befindet
r
2
L = −mc
1−
v2 q
+ A · v − qΦ.
c2
c
(7)
(a) Leiten Sie die zugehörige Hamilton-Funktion her. Als Ergebnis sollten Sie
r
2
q
π(t, x) − A(t, x) + m2 c2 + qΦ
(8)
H=c
c
erhalten, wobei π der kanonische Impuls ist.
(b) Was ergibt sich im nichtrelativistischen Grenzfall v c für die
Lagrange-Funktion?
(c) Bringen Sie die Lagrange-Funktion (7) in eine explizit Lorentzkovariante Form.
(d) Leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen für das Punktteilchen
im externen Feld her und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Gleichung
(1).
2