¨Ubungen zur Mechanik (2) – Sommersemester 2011

Übungen zur Mechanik (2) – Sommersemester 2011
Abgabe bis Montag, 9.5.2011
Aufgabe 1 Perle auf gebogenem, rotierendem Draht (6)
Eine Perle befinde sich auf einem parabelförmig gebogenen Draht, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im homogenen Schwerefeld der Erde um die z-Achse
rotiert. Die erste Zwangsbedingung folgt aus der Form des Drahtes, in Zylinderkoordinaten lautet sie h − aρ2 = 0. Die zweite Zwangsbedingung folgt aus der Rotation
des Drahtes, sie lautet φ − ωt = 0. Daher gilt φ̇ = ω. Wählen Sie ρ als unabhängige
Variable.
z
ω
m
F
x
y
a) Wie lautet die Lagrange-Funktion?
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
Kontrolle: (1 + 4a2 ρ2 )ρ̈ + 4a2 ρρ̇2 − (ω 2 − 2ag)ρ = 0
c) Zeigen Sie, dass für ω 2 = 2ag die konstante Funktion ρ(t) = ρ0 = const. eine
Lösung der Bewegungsgleichung darstellt.
d) Berechnen Sie aus der Lagrange-Funktion die Hamilton-Funktion. Stellt diese
Größe eine Erhaltungsgröße dar? (Begründung!)
e) Wie lautet die Gesamtenergie? Stellt diese Größe eine Erhaltungsgröße dar?
(Begründung!)
Aufgabe 2 Atwoodsche Fallmaschine (4)
Über einer Rolle hänge ein Seil, an dessen einem Ende sich ein Körper der Masse
M und am anderen Ende eine zweite Rolle befinde. Über der zweiten Rolle hänge
wieder ein Seil mit den Massen m1 und m2 (siehe Skizze). Es sei M = m1 + m2 .
Die Massen der Rollen und Seile werden vernachlässigt und die Drehung der Rollen
wird als reibungsfrei angenommen.
M
m2
m1
a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
b) Wählen sie geeignete verallgemeinerte Koordinaten und stellen Sie die Zwangsbedingungen auf.
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für dieses System auf.
Aufgabe 3 Sphärisches Pendel (3)
Im homogenen Schwerefeld der Erde befinde sich eine Masse m an einem Faden
der Länge l, der im Ursprung befestigt ist. Wählen Sie die Winkel θ und φ als
unabhängige, verallgemeinerte Koordinaten.
z
φ
x
y
θ
m
a) Wie lautet die Lagrange-Funktion des Systems?
b) Berechnen Sie die kanonischen Impulse.
c) Bei welchem Impuls handelt es sich um eine Erhaltungsgröße? Was ist die
physikalische Bedeutung dieser Größe?
Aufgabe 4 Ebenes Pendel mit Reibung (3)
Wir betrachten das Fadenpendel mit Fadenlänge l aus dem letzten Aufgabenblatt.
Wir nehmen an, dass die Reibung des Pendels in der Luft proportional zum Quadrat
der Geschwindigkeit der Masse m ist:
~ = −αv 2 ~v .
R
v
a) Berechnen Sie die die Dissipationsfunktion.
b) Verwenden Sie den Lagrange-Formalismus mit Reibung, um die Bewegungsgleichung aufzustellen.