4. ¨Ubungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16: Mechanik

4. Übungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16:
Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie
Lagrange-Formalismus II
Aufgabe 10
Fliehkraftregler
Als Modell eines Fliehkraftreglers betrachten wir zwei Punktmassen m am Ende zweier (als masselos angenommener) Stangen der Länge `. Die Massen befinden sich in einem homogenen Gravitationsfeld. Die
Anordnung rotiert mit einer konstanten Rotationsgeschwindigkeit ω um das Lot durch den Aufhängungspunkt der Stangen. Die Stangen seien so befestigt, dass sie immer in einer Ebene parallel zum Schwerefeld
liegen und den gleichen Winkel ϕ zum Lot haben.
ω
g
ϕ
ϕ
ℓ
ℓ
m
m
a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion des Systems.
b) Leiten Sie aus den Euler-Lagrange-Gleichungen die Bewegungsgleichung des Systems her.
c) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslagen ϕi des Systems.
d) Machen Sie den Ansatz ϕ(t) = ϕi +δ(t) für Bewegungen um die in c) gefundenen Gleichgewichtslagen
und entwickeln Sie die Bewegungsgleichung bis zur ersten Ordnung in δ. Lösen Sie diese genäherte
Bewegungsgleichung. Für welche Werte von ω sind die Gleichgewichtslagen stabil bzw. instabil?
Aufgabe 11
Verbundene Massen
Zwei Massen m1 und m2 seien durch einen Faden konstanter Länge ` verbunden, der durch ein Loch in
einer Tischplatte geführt ist. Die Masse m1 gleite reibungsfrei auf der Platte und m2 hänge senkrecht
nach unten.
a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systems auf. Als verallgemeinerte Koordinaten können r und
ϕ (siehe Abbildung) gewählt werden.
b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen aus den Lagrange-Gleichungen 2.Art her. Geben Sie die Erhaltungsgrößen des Systems an.
1
r
ϕ
m1
g
m2
c) Bei geeigneten Anfangsbedingungen beschreibt m1 eine Kreisbahn. Zeigen Sie, dass in diesem Fall
die Winkelgeschwindigkeit ω des Umlaufs konstant ist und bestimmen Sie den Bahnradius r0 als
Funktion der Winkelgeschwindigkeit.
d) Ist die in c) gefundene Kreisbahn stabil? Betrachten Sie dazu kleine Abweichungen in der Winkelgeschwindigkeit ϕ̇(t) = ω + δω(t) und des Radius, r(t) = r0 + δr(t). Bestimmen Sie zunächst δω(t)
als Funktion von δr(t) und verwenden Sie die Ergebnisse in der Bewegungsgleichung für r.
Aufgabe 12
Brachystochrone
Es gleite ein anfänglich in Ruhe befindlicher Massenpunkt mit Masse m reibungsfrei auf der durch y = f (x)
beschriebenen Kurve im homogenen Schwerefeld der Erde. Gesucht ist diejenige Kurve f (x), die bei
festem Anfangspunkt (x0 , y0 ) = (0, b) und festem Endpunkt (x1 , y1 ) = (a, 0) zu der kürzesten Fallzeit
des Massenpunkts führt.
y
b
g
m
a
x
Rx
a) Leiten Sie das Wirkungsfunktional T [f ] = x01 dx F (f, f 0 ) für die Fallzeit T ab, wobei sie F (f, f 0 ) als
Lagrange-Funktion der generalisierten Koordinate f mit zugehöriger generalisierter Geschwindigkeit
f 0 = df
dx und “generalisierter Zeit” x. auffassen.
Hinweis: Nutzen Sie Energieerhaltung um die Geschwindigkeit v = ds
dt durch f auszudrücken. Das
dy
infinitesimale Wegelement ds ist durch ds2 = dx2 + dy 2 definiert und dy = dx
dx.
b) Variieren Sie das Funktional T [f ] für die allgemeine Funktion F (f, f 0 , x) bei festgehaltenem Anfangsund Endpunkt um die optimale Kurve f (x) zu ermitteln. Als Ergebnis dieser Variation mit allgemeiner Funktion F (f, f 0 , x) sollten Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für f erhalten.
c) Zeigen Sie allgemein, unter Ausnutzung der in b.) abgeleiteten Euler-Lagrange-Gleichungen, dass
∂F (f, f 0 ) 0
f − F (f, f 0 ) = k ,
∂f 0
2
(1)
folgt, falls die Lagrange-Funktion F (f, f 0 ) nicht explizit von der “Zeit” x abhängt. Hier ist k = const.
eine beliebige Konstante.
d) Nutzen Sie nun die in c.) abgeleitete allgemeine Identität für die in a.) explizit bestimmte Funktion
F (f, f 0 ) um die Lösungskurve f (x) zu bestimmen. Verwenden Sie dann die Parameterdarstellung
einer Zykloide mit Parameter τ
x(τ ) = A (τ − sin τ ),
y(τ ) = b − A (1 − cos τ ) .
(2)
Welche Beziehung zwischen A und k muss gelten, damit die Parameterdarstellung die Identität aus
c.) erfüllt?
e) Die Parameterdarstellung wurde so konstruiert, dass der Anfangspunkt (x0 , y0 ) = (0, b) auf der
Lösungskurve f (x) liegt. Entsprechend muss die Konstante A so gewählt werden, dass auch der
Endpunkt (x2 , y2 ) = (a, 0) auf der Lösungskurve liegt. Diese Bedingung führt auf eine transzendente
Gleichung für den Parameter τ in Abhängigkeit des Verhältnis von a/b (Fallhöhe/Fallweite), welche
im Allgemeinen nur numerisch gelöst werden kann. Welcher Wert von τ gehört zu dem speziellen
Wert a/b = π/2? Unterscheiden Sie die Fälle a/b < π/2, a/b = π/2 und a/b > π/2. Skizzieren und
diskutieren Sie die Lösungskurven f (x) für dieses Fälle.
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