Übungen zur Theoretischen Physik II 5. Trägheitskräfte und

WS 2005
Prof. Dr. N. Papadopoulos
Übungen zur Theoretischen Physik II
Blatt 2 – 14.11.2005
5. Trägheitskräfte und kovariante Ableitung (5 P)
Gegeben sei ein gegenüber einem Inertialsystem Σ0 rotierendes Koordinatensystem Σ (Karusell), mit fester Winkelgeschwindigkeit ω längs der z-Achse. Die Bewegung eines festen
Punktes im rotierenden Koordinatensystem wird durch eine 3 × 3-Matrix R(t) beschrieben.
Für jedes ω gibt es eine Matrix Ω, so dass ω × r = Ωr gilt. Hier ist Ω = R −1 Ṙ.
(a) Leiten Sie die Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten im Inertialsystem Σ0 und
dem rotierenden Bezugssystem Σ her:
ṙ Σ0 = R(ṙ Σ + Ωr Σ ) .
Benutzen Sie dazu die Gleichung r Σ0 = Rr Σ als Ausgangspunkt und achten Sie immer
auf das verwendete Koordinatensystem.
(b) Zeigen Sie, dass auch für die Beschleunigung eine entsprechende Beziehung gilt:
r̈ Σ0 = R
wobei
D
Dt
D2
r ,
Dt2 Σ
in einer geeigneten Interpretation gegeben ist durch:
d
D
=
+Ω .
Dt
dt
Der lineare Operator
D
Dt
lässt sich als kovariante Ableitung auffassen.
6. Observablen und die Galilei-Gruppe (5 P)
Bestimmen Sie die 10 unabhängigen, einparametrigen Untergruppen (EPU) der GalileiGruppe.
7*. Homogene Potentiale und Skalentransformationen (6 P)
κ
Für ein homogenes Potential V (x) = A |x| , mit A, κ ∈ , ist die Bewegungsgleichung
forminvariant unter einer Skalentransformation der Koordinaten:
x = λx0 ,
t = λα/2 t0
mit α = 2 − κ und λ > 0 .
Die transformierte Bewegungsgleichung ist dann gegeben durch:
m
d 2 x0
= −∇0 V (x0 ) .
dt02
(1)
Wenn man also die Strecken R skalieren möchte, weiß man, dass auch die entsprechenden
Zeiten T skaliert werden müssen, und zwar im Verhältnis:
R
R0
α
=
T
T0
2
.
(2)
(a) Leiten Sie die Gleichungen (1) und (2) her.
(b) Was folgt daraus für die Beziehung zwischen:
(i) Periode und Amplitude beim harmonischen Oszillator?
(ii) Fallzeit und Fallhöhe auf der Erde?
(iii) Periode und großer Halbachse im Keplerproblem?
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8*. Kommutatoren der inf. Transformationen bei Drehungen (4 P)
Die infinitesimalen Transformationen Ij der Drehgruppe bezüglich x-, y- und z-Achse kann
man mit Hilfe der entsprechenden einparametrigen Untergruppen für ϕ = ε 1 bestimmen:
Rj (ε) =
3
+ εIj + O(ε2 ) ,
mit j ∈ {1, 2, 3} .
Leiten Sie daraus explizite Ausdrücke für die drei Matrizen Ij ab und berechnen Sie alle
Kommutatoren:
[Ij , Ik ] := Ij Ik − Ik Ij , für j, k ∈ {1, 2, 3} .
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