1.5 Kausale Struktur der Raum-Zeit [Griffiths 12.1.4, 12.2.3]

1.5
Kausale Struktur der Raum-Zeit
[Griffiths 12.1.4, 12.2.3]
Kann man eigentlich ein Teilchen mit Masse m auf Lichtgeschwindigkeit oder vielleicht
sogar Überlichtgeschwindigkeit beschleunigen? Die Energie des Teilchens kann man schreiben als
mc2
p
E=
(∗)
1 − ~v 2 /c2
Daran sieht man, dass E beliebig groß wird, wenn sich |~v | dem Wert c annähert und im
Limes |~v | → c unendlich wird. Daher muss man die obige Frage mit nein beantworten.
Man kann das auch wie folgt sehen. Wir hatten
m~v
p~ = p
1 − ~v 2 /c2
Teilt man dies durch (∗), ergibt sich
~v = c2
p~
E
Wegen
E=
p
m2 c4 + p~ 2 c2 > |~p|c
ist
|~v | < c
für alle p~
Masselose Teilchen
Im Limes m → 0 wird
E = |~p|c
(m = 0)
Folglich ist dann
|~v | = c
(m = 0)
D.h. masselose Teilchen wie z.B. Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit.
Aus der obigen Überlegung folgt, dass ein Inertialsystem, aufgebaut aus materiellen
Maßstäben und Uhren, sich nur mit |V~ | < c bewegen kann. Ausserdem können sich
weder massive noch masselose Teilchen schneller als das Licht fortbewegen.
Abstand
Das Quadrat des Abstands kann man ausdrücken durch das Quadrat von xab := xa − xb
s2ab = −x2ab = −t2ab + ~x2ab
Es gilt:
1
1. Es gibt Intertialsysteme, in denen a und b gleichzeitig sind ⇔ s2ab > 0.
2. Es gibt Intertialsysteme, in denen a und b am selben Ort stattfinden ⇔ s2ab < 0.
Begründung von 1: ,,⇒“ ist klar.
,,⇐“: Wähle das Bezugssystem so, dass ~xab = dab~e1 . Es gilt ctab < dab . In einem Inertialsystem, das sich mit V~ = V ~e1 bewegt, ist ct0ab = γ(ctab − βdab ). Wähle β = ctab /dab < 1.
Damit ist t0ab = 0 Wenn s2ab > 0 heißt der Abstand raumartig , für s2ab < 0 zeitartig und für s2ab = 0
lichtartig .
Sei das Ereignis ,,hier und jetzt” am Ursprung unseres Koordinatensystems. Dann kann
man alle Ereignisse in drei Kategorien einteilen:
Als Lichtkegel bezeichnet man die Ereignisse mit x2 = 0. Als Weltlinie eines Teilchens
oder Beobachters versteht man die Trajektorie im 4-dimensionalen Raum xµ (λ). Dabei
kann man die Trajektorie durch die Eigenzeit λ = τ oder durch irgendeinen Größe λ
parametrisiert werden. Weil es sich nicht schneller als mit c bewegen kann, kann ein
Teilchen am Ursprung kann nur Punkte innerhalb des Vorwärtslichtkegels erreichen.
Man kann auch sagen: vom Ursprung aus lassen sich nur Ereignisse innerhalb des und auf
dem Vorwärtslichtkegel beeinflussen. Ein Ereignis am Ursprung kann nur von Ereignissen
innerhalb des oder auf dem Rückwärtslichtkegel beeinflusst worden sein.
1.6
Relativistische Bewegungsgleichung
[Griffiths 12.2.4]
Fragestellung: wann ist eine Bewegungsgleichung (zweites Newtonsches Gesetz)
d~p
F~ =
dt
in jedem Inertialsystem gültig?
2
Dies lässt sich positiv beantworten, wenn es gelingt, sie als Gleichung zwischen 4-Vektoren
zu formulieren. Wir wissen bereits, dass p~ der räumliche Teil eines 4-Vektors ist. Jetzt
brauchen wir noch eine nullte Komponente. Betrachte
~v ·
d
m~v
d~p
= ~v · p
dt
dt 1 − ~v 2 /c2
1
~v d~v
d~v
2 2 −1/2
2 2 −3/2
(1 − ~v /c )
+ ~v −
(1 − ~v /c )
(−2) 2 ·
= m~v ·
dt
2
c dt
d~v
= m(1 − ~v 2 /c2 )−3/2 ~v ·
dt
mc2
d
p
=
dt 1 − ~v 2 /c2
Also ist
dE
= ~v · F~
dt
Bem: dies gibt die selbe Relation zwischen geleisteter Arbeit und Kraft wie in der nichtrelativistischen Mechanik:
Z~xb
Eb − Ea = d~x · F~
~
xa
p
Mit dτ = dt 1 − ~v 2 /c2 kann man die obigen Bewegungsgleichungen für p~ und E zusammenfassen zu
dpµ
= Kµ
(∗)
dτ
wobei
und
~v · F~
K0 = p
c 1 − ~v 2 /c2
~
~ =p F
K
1 − ~v 2 /c2
Wenn nun die K µ die Komponenten eines 4-Vektors sind (,,4-Kraft”), ist die Bewegungsgleichung (∗) in allen Inertialsystemen gültig. In diesem Fall sagt man auch, die Gleichung
(∗) sei Lorentz-kovariant.
2
Relativität und Elektrodynamik
Wir hatten gesehen: wenn in einem Inertialsystem ein statisches Magnetfeld vorliegt und
~ = 0, dann gibt es in einem relativ dazu bewegten Inertialsystem auch ein E-Feld.
~
E
3
Hier sind zwei weitere Beispiele, die das nicht-triviale Transformationsverhalten von elektromagnetischen Feldern illustrieren:
1. Das Feld einer nicht beschleunigten Punktladung. Im Ruhesystem gibt es nur ein
~
~ = 0. Bewegt sich jedoch die Punktladung, gibt es
statisches E-Feld,
während B
~
einen Strom und daher auch ein B-Feld.
2. Ein nicht beschleunigter unendlich ausgedehnter Plattenkondensator mit parallelen
Platten und homogenen Flächenladungsdichten. Im Ruhesystem gibt es nur ein sta~
tisches E-Feld.
Jetzt betrachte den Kondensator in einem System, das sich parallel
~
zu den Platten bewegt. Es gibt weiterhin ein statisches E-Feld.
Der Wert des Feldes
ist größer, weil die Platten in Bewegungsrichtung längenkontrahiert was die Fächenladungsdichte erhöht. Es gibt jetzt aber auch einen Strom und daraus resultierend
~
ein B-Feld.
Im zweiten Beispiel haben wir folgendes implizit angenommen:
Die elektrische Ladung ist Lorentz-invariant.
Empirisch zeigt sich, dass dies der Fall ist und wir werden es auch von nun an voraussetzten.
Wir erwarten, dass sich die in einem Inertialsystem gemessenen Felder durch die in einem
anderen am selben Raum-Zeitpunkt gemessenen Felder ausdrücken lassen. Aus der obigen
~ und B
~ nicht die Komponenten von zwei unterschiedlichen
Beispielen folgt, dass sich E
4-Vektoren sein können (natürlich auch nicht von einem).
2.1
Lorentz-Kraft
[Jackson 11.9]
Betrachte die Bewegungsgleichung für eine Punktteilchen mit Masse m und Ladung q im
elektromagnetischen Feld
d~p
= F~
(∗)
dt
wobei F~ jetzt die Lorentz-Kraft
~
v
~ + ×B
~
F~ = q E
c
ist.
Bem: es ist wichtig, dass man auf der linken Seite von (∗) d~p/dt mit den räumlichen
Komponenten des 4-Impules schreibt und nicht md~v /dt. Nichtrelativistisch macht das
keinen Unterschied, aber nur mit der ersten Variante bekommt man Lorentz-kovariante
Gleichungen.
4
Die K µ sind für diesen Fall
q
~
√
~v · E
c 1 − ~v 2
q
~
v
~ = √
~ + ×B
~
K
E
c
1 − ~v 2
K0 =
Mit der 4-Geschwindigkeit u lässt sich dies schreiben als
q
~
~u · E
c
~ + ~u × B
~
~ = q u0 E
K
c
K0 =
Wir nehmen an, dass q Lorentz-invariant ist. Die Bewegungsgleichung ist also Lorentz~ + ~u × B
~ einen 4-Vektor bilden. Dass dem so ist sehen wir
~ und u0 E
kovariant, wenn ~u · E
in Kürze.
14. April 2014
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