Allgemeine Zirkulation in der Atmosphäre der Erde

Allgemeine Zirkulation in der Atmosphäre der Erde
Dr. Pascal Frèrebeau
4. Dezember 2014
1
Inhaltsverzeichnis
1
Herleitung der Bewegungsgleichung
3
1.1
Denition des Inertialsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Das 2. Newtonsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Liste aller Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
Die Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Die Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.3
Die Reibungskraft
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Ausdruck der Bewegungsgleichung im Inertialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Ausdruck der Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem
11
2
. . . . . . . . . . . . .
Abbildung 1:
Bezugssystem in der Erde verankert (gestrichelt) versus Bezugssystem im Mittelpunkt der Erde zentriert, das die Erdrotation nicht mitmacht (voll). Das zweite wird bei der Beschreibung der allgemeinen
Zirkulation als Inertialsystem betrachtet. θ (t) ist der Rotationswinkel, der die Position vom rotierenden Bezugssystem als Funktion vom Inertialsystem angibt. dθ(t)
ist die Winkelgeschwindigkeit vom
dt
rotierenden Bezugssystem bzw. der Erde.
1
Herleitung der Bewegungsgleichung
1.1 Denition des Inertialsystems
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem Körper, auf die keine Kraft ausgeübt wird, sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Ein Inertialsystem dreht sich nicht und beschleunigt
nicht. Die in der Praxis als Inertialsysteme betrachteten Bezugssysteme sind keine strengen Inertialsysteme, aber sie können für die Lösung eines bestimmten Problems approximativ als solche angenommen
werden.
Zum Beispiel kann die Erdoberäche für Bewegungen, die in einer Zeitskala von mehreren Sekunden
stattnden, als Inertialsystem betrachtet werden, jedoch nicht wenn ein ganzer Tag betrachtet wird.
Im ersten Fall ist die Erdrotation vernachlässigbar, während im zweiten Fall die Erde während der Beobachtungszeit eine komplette Drehung um sich selbst vollzogen hat. Die meteorologischen Vorgänge,
die für die allgemeine Zirkulation der Luft relevant sind, dauern mehrere Stunden bis mehrere Tage.
Ein Bezugssystem, das in der Erde verankert ist, kann für diese Anwendung nicht als Inertialsystem
betrachtet werden. Dagegen kann ein System, das im Mittelpunkt der Erde zentriert ist und die Erdrotation nicht mitmacht, als Inertialsystem angenommen werden (siehe Abbildung 1). Eigentlich dreht
sich dieses Bezugssystem um die Sonne, aber langsam genug (Periode von einem Jahr) für unsere Anwendung. Wenn Bewegungen, die sich über mehrere Monate oder mehr erstrecken, beschrieben werden
müssten, müsste ein Bezugssystem in der Sonne zentriert, das die Sonnenrotation nicht mitmacht, als
Inertialsystem genommen werden. Dieses System dreht sich eigentlich auch, da die Sonne sich um das
Zentrum unserer Galaxie dreht, allerdings noch mal viel langsamer. Etc...
1.2 Das 2. Newtonsche Gesetz
Die Zirkulation der Luft in der Atmosphäre basiert auf dem 2. Newtonschen Gesetz. Dieses Gesetz
besagt, dass in einem Inertialsystem die Beschleunigung eines Körpers in eine Richtung gleich der
3
Komponente der Resultante aller auf ihn ausgeübten Kräfte in dieser Richtung dividiert durch seine
Masse ist:
N
X
→
−
−
Fi = m→
a
(1)
i=1
wobei
→
−
a
→
−
Fi die i-te Kraft ist (von insgesamt N ), die auf den Körper ausgeübt wird. m ist seine Masse und
seine Beschleunigung. Achtung: da Gleichung (1) nur in einem Inertialsystem angewendet werden
kann, muss ein Bezugssystem gewählt werden, das die Erdrotation nicht mitmacht. Am einfachsten im
Mittelpunkt der Erde zentriert (siehe Abbildung 1).
Die Körper, die in der Erdatmosphäre betrachtet werden, sind hinreichend klein genommene Luftteilchen. Für die Theorie werden sie sogar als unendlich klein genommen (man spricht von Luftteil-
d3 m und die i-te darauf ausgeübte Kraft
−
3→
3
d Fi geschrieben werden (wobei das d darauf hinweist, dass die drei Dimensionen des Luftteilchens
unendlich klein sind), gilt im Inertialsystem:
chenelementen). Wenn die Masse eines solchen Luftteilchens
N
X
→
−
−
d3 Fi = d3 m→
a
(2)
i=1
1.3 Liste aller Kräfte
Auf ein Luftteilchen werden folgende Kräfte ausgeübt.
1.3.1
Die Gravitation
Die Gravitation ist eine Anziehungskraft, die zwischen allen Körpern stattndet. Wenn zwei Körper
vorhanden sind (K) und (K') mit den Massen
m
und
m0 ,
lautet die von (K') auf (K) ausgeübte Kraft:
mm0 −
−→
e
FG = G 2 →
r
3
m
G die Gravitationskonstante (6.67384×10−11 kg.s
2 ), r der Abstand zwischen den beiden Körpern
→
−
e der Einheitsvektor von (K) bis (K') sind. Die von (K) auf (K') ausgeübte Kraft lautet:
wobei
und
(3)
−→
mm0 −
FG0 = −G 2 →
e
r
(4)
In der Erdatmosphäre wird folgendermaÿen von der Erde auf ein Luftteilchen mit einer Masse
d3 m die
Gravitationskraft:
M d3 m →
−
−
→
d3 Fg = −G
2 k
(R + z)
ausgeübt, wobei
M = 5.9736 × 1024 kg
die Erdmasse,
des Luftteilchens über der Erdoberäche und
→
−
k
R = 6.371 × 103 km
(5)
der Erdradius, z die Höhe
der Einheitsvektor senkrecht zur Erdoberäche nach
oben gerichtet sind. Aus Gleichung (2) folgt, dass die entsprechende Beschleunigung (Gravitationsbeschleunigung)
→
−
ag = −G
M
2
(R + z)
4
→
−
k
(6)
Abbildung 2:
Schematische Darstellung der zwischen zwei Körpern (K) und (K') auftretenden Gravitationskräften.
Abbildung 3:
Schematische Darstellung der von der Erde auf ein Luftteilchen mit der Masse d3 m ausgeübte Gravitationskraft.
5
Abbildung 4:
Graphische Darstellung der Dichte als kontinuirliche Funktion in einem Medium.
lautet. Da
z R,
wird
z
meistens weggelassen. Auch werden die von anderen Körpern als der Er-
de verursachten Gravitationskräfte (wie die Gravitationskräfte zwischen den einzelnen Luftteilchen)
vernachlässigt. So wird angenommen, dass der Betrag der Gravitationsbescheunigung gleich
g=G
M
≈ 9.82 m.s−2
R2
(7)
ist. Von nun an schreiben wir:
→
−
−
→
d3 Fg = −gd3 m k
(8)
→
−
→
−
ag = −g k
(9)
und
1.3.2
Die Druckkraft
Dichte
Die Dichte eines Körpers (ρ) ist seine Masse (M ) geteilt durch sein Volumen (V ):
M
V
ρ=
(10)
In einem Medium (zum Beispiel die Atmosphäre der Erde) wird die Dichte üblicherweise als kontinuierliche Funktion in jedem Punkt deniert. Um einen beliebigen Punkt kann man sich ein elementares
Volumen
d3 V
vorstellen (z.B. ein Luftteilchen). Dieses Volumen enthält die Masse
d3 m.
In diesem
Punkt beträgt die Dichte:
ρ=
d3 m
d3 V
−3
Die Einheit der Dichte im SI-Einheitensystem ist kg.m
6
(11)
.
Abbildung 5:
Graphische Darstellung zur Erläuterung der Druckvariation mit der Höhe.
Druck
Der Druck (P ) ist der Widerstand, den ein Medium auf jeden Körper ausübt, mit dem es
in Berührung steht. Er ist eine Kraft pro Flächeneinheit. In der Erdatmosphäre entsteht der Druck
durch die Gewichtskraft der Luftsäule über dem betrachteten Punkt. Er hängt deshalb hauptsächlich
von der Höhe ab. Die Variation des Druckes zwischen zwei naheliegenden Niveaus
z
und
z + dz
lautet:
dP = −ρgdz
(12)
Das Minuszeichen ist vorhanden, weil Druck und Höhe in umgekehrter Richtung variieren.
Die Einheit des Drucks im SI-Einheitensystem ist Pa. Meistens wird stattdessen hPa verwendet. Abbil-
d2 F ist dabei die obere und untere Fläche an der
Niveau z und P + dP ist der Druck im Niveau z + dz .
dung 5 verdeutlicht die Druckzunahme mit der Tiefe.
Grenze des Volumens
d3 m
3
d V. P
ist der Druck im
ist die Masse des Volumens
→
3−
angenommen). d Fg , die auf
3
d V
d3 V , ρ
ist seine Dichte (als konstant innerhalb des Volumenelements
ausgeübte Gravitationskraft, ist auch die Gewichtskraft, die
d3 V
auf
einen Körper unter sich ausübt.
Die Druckkraft, die ein Körper (K) auf ein zu seinem Rand (geschlossener Fläche (∂ K)) gehörendes
Flächenelement
d2 F
um den Punkt
(x, y, z)
ausübt, ist gleich:
−
→
−
d2 Fp0 (x, y, z) = Pin (x, y, z) →
n (x, y, z) d2 F
(13)
−
→
d2 Fp0 (x, y, z)die von (K) auf d2 F ausgeübte Druckkraft, Pin (x, y, z) der Druck am Punkt (x, y, z)
−
auf der inneren Seite des Rands (∂ K) und →
n (x, y, z) der Einheitsvektor senkrecht zur Fläche um (∂ K)
am Punkt (x, y, z) sind.
wobei
Die Druckkraft, die die Umgebung auf ein zum Rand von (K) gehörendes Flächenelement
Punkt
(x, y, z)
ausübt, ist gleich:
d2 F
um den
Abbildung 6:
Graphische Darstellung zur Denition der Druckkraft.
−
→
−
d2 Fp (x, y, z) = −Pout (x, y, z) →
n (x, y, z) d2 F
−
→
d2 Fp (x, y, z)die
Punkt (x, y, z) auf
d2 F
wobei
von der Umgebung auf
am
der auÿeren Seite des Rands (∂ K) sind.
ausgeübte Druckkraft und
(14)
Pout (x, y, z)
der Druck
Die gesamte Druckkraft, die die Umgebung auf (K) ausübt, ist die Summe aller elementaren Kräfte
−
→
d2 Fp (x, y, z)
über die ganze geschlossene Fläche (∂ K):
−
→
Fp = −
‹
−
Pout (x, y, z) →
n (x, y, z) d2 F
(15)
(∂K)
Wenn der Druck eine kontinuirliche Funktion ist, wie das in der Erdatmosphäre der Fall ist, gilt:
Pin (x, y, z) = Pout (x, y, z) = P (x, y, z).
−
→
Fp = −
In diesem Fall kann man schreiben:
‹
−
P (x, y, z) →
n (x, y, z) d2 F
(16)
(∂K)
Eine Folgerung des gauÿschen Integralsatzes lautet:
˚ ‹
→
−
3
∇f (x, y, z) d V =
V
wobei
−
f (x, y, z) →
n (x, y, z) d2 F
(17)
(∂V )
f (x, y, z) irgendeine skalare dreidimensionale Funktion, V
ein Volumen und
∂V
der Rand dieses
Volumens sind.
Demzufolge kann man die gesamte Druckkraft, die die Umgebung auf (K) ausübt, auch folgendermaÿen
schreiben:
8
Abbildung 7:
Schematische Darstellung zu den auftretenden Reibungskräften zwischen Luftteilchen.
−
→
Fp = −
˚
→
−
∇P (x, y, z) d3 V
(18)
(K)
3
Wenn (K) jetzt ein Luftpartikel ist, kann es als Elementarvolumen (d
V)
betrachtet werden, so dass
das Integral entfällt. Die auf ein Luftteilchen ausgeübte Druckkraft lautet:
−
→
→
−
d3 Fp = − ∇P (x, y, z) d3 V
1.3.3
(19)
Die Reibungskraft
Wenn nachbare Luftteilchen eine unterschiedliche Geschwindigkeit haben, ndet Reibung zwischen
ihnen statt. Auch ndet Reibung zwischen den untersten Luftteilchen und dem festen Boden statt,
sobald diese Teilchen eine Geschwindigkeit haben, die nicht gleich null ist.
Wenn in einem Fluid zwei dünne Schichten (Dicke
einander gleiten (Berührungsäche
δF ),
∆x)
wegen unterschiedlicher Geschwindigkeit an-
übt die erste folgende Reibungskraft auf die zweite:
→
−
∆V
−−−−−→
δ FR,1.→2. = ηδF
(20)
∆x
→
−
−
→ −
→
−
→
wobei η die dynamische Viskosität des Fluids ist und ∆ V gleich V1. − V2. ist mit V1. der Geschwindigkeit
−
→
der 1. Schicht und V2. der Geschwindigkeit der 2. Schicht. Abbildung 7 zeigt den Spezialfall von drei
2
horizontal aneinander gleitenden elementaren Schichten (Dicke dz , Berührungsäche d F = dxdy ).
Nach Gleichung (20) übt in dieser Konguration die obere Schicht folgende Reibungskraft auf die
mittlere:
−−−−→
d2 FR,oben
dz
x, y, z +
2
→
− ∂V
dz
= η (x, y, z) dxdy
x, y, z +
∂z
2
→
−
∂V
∂z als konstant zwischen
eine elementare Länge ist.
Dabei wurde
ist, weil
dz
z
und
z + dz
9
und gleich
→
− −−−→ →
−
V +dVoben − V
dz
(21)
genommen, was sinnvoll
Nach Gleichung (20) übt in dieser Konguration die untere Schicht folgende Kraft auf die mittlere:
→
− dz
∂V
dz
−−−−−→
d2 FR,unten x, y, z −
= −η (x, y, z) dxdy
x, y, z −
2
∂z
2
Die Taylorsche Formel sagt uns, dass eine N mal ableitbare Funktion
x0 ∈ I
auf
I⊂R
in der Nähe von
folgendermaÿen genähert werden kann:
f (x) = f (x0 ) +
Sei
f (x)
(22)
→
−
V
f = ∂∂z
und
1 dN f
1 df
1 d2 f
2
N
(x0 ) (x − x0 ) + . . . +
(x0 ) (x − x0 )
(x0 ) (x − x0 ) +
2
1! dx
2! dx
N ! dxN
N = 1.
(23)
Es gilt:
→
− →
−
→
−
dz
∂V
dz
∂V
∂2 V
(x, y, z)
x, y, z +
=
(x, y, z) +
∂z
2
∂z
∂z 2
2
(24)
und
→
−
→
− →
−
∂2 V
dz
∂V
dz
∂V
(x, y, z) −
(x, y, z)
x, y, z −
=
2
∂z
2
∂z
∂z
2
(25)
Die resultierende auf die mittlere Schicht ausgeübte Reibungskraft ist die Summe aus der von der
oberen und der von der unteren Schicht ausgeübten Kräften:
dz
dz
−→
−−−−→
−−−−−→
+ d2 FR,unten x, y, z −
d3 FR (x, y, z) = d2 FR,oben x, y, z +
2
2
−→
d3 FR (x, y, z)
→
−
→
−
∂V
∂2 V
dz
(x,
y,
z)
+
(x,
y,
z)
∂z
∂z 2
2
→
−
→
−
V (x, y, z) − ∂ 2 V (x, y, z) dz
−η (x, y, z) dxdy ∂∂z
∂z 2
2
(26)
= η (x, y, z) dxdy
→
−
∂2 V
−→
d3 FR (x, y, z) = η (x, y, z) dxdydz
(x, y, z)
∂z 2
(27)
(28)
Dieses Ergebnis gilt nur für den Spezialfall von einer horizontalen Strömung. Es lässt sich aber für eine
beliebige Strömung verallgemeinen:
−→
d3 FR (x, y, z)
→
−
= η (x, y, z) dxdydz∆
(x, y, z)
V→
−
∂2 V
= η (x, y, z) dxdydz
(x, y, z) +
∂x2
Mit
ν=
→
−
∂2 V
∂y 2
→
−
(x, y, z) +
∂2 V
∂z 2
(x, y, z)
(29)
η
ρ der kinematischen Viskosität:
−→
→
−
d3 FR (x, y, z) = ν (x, y, z) d3 m∆ V (x, y, z)
10
(30)
1.4 Ausdruck der Bewegungsgleichung im Inertialsystem
Von nun an berücksichtigen wir auch die zeitliche Abhängigkeit der bisher eingeführten dreidimensionalen Felder. Jedoch beziehen sich die Operatore
→
−
∇ und ∆ weiterhin nur auf die drei Raumkoordinate,
nicht auf die Zeit.
Aus Gleichungen (2), (8), (19) und (30) folgt:
−
→
−
→
−→
−
d3 Fg (x, y, z, t) + d3 Fp (x, y, z, t) + d3 FR (x, y, z, t) = d3 m→
a (x, y, z, t)
→
−
→
−
→
−
−gd3 m k (x, y, z, t) − ∇P (x, y, z, t) d3 V (x, y, z, t) + ν (x, y, z, t) d3 m∆ V (x, y, z, t)
−
= d3 m→
a (x, y, z, t)
Dividiert man Gleichung (32) durch die Masse des Luftteilchens
→
−
→
−
a (x, y, z, t) = −g k (x, y, z, t) −
Dabei ist die Beschleunigung
d3 m),
(32)
erhält man:
1
→
−
→
−
∇P (x, y, z, t) + ν (x, y, z, t) ∆ V (x, y, z, t)
ρ (x, y, z, t)
→
−
a (x, y, z, t)
(31)
die totale Ableitung der Geschwindigkeit
(33)
→
−
V (x, y, z, t):
→
−
→
−
dV
∂V
→
−
→
−→
−
→
−
a (x, y, z, t) =
(x, y, z, t) =
(x, y, z, t) + V (x, y, z, t) · ∇ V (x, y, z, t)
dt
∂t
(34)
so dass Gleichung (33) auch folgendermaÿen geschrieben werden kann:
→
−
∂V
∂t
(x, y, z, t)
=
→
−
→
−
→
−→
−
− V (x, y, z,
t) · ∇ V (x, y, z, t) − g k (x, y, z, t)
→
−
→
−
1
− ρ(x,y,z,t)
∇P (x, y, z, t) + ν (x, y, z, t) ∆ V (x, y, z, t)
(35)
Folgende Terme treten in Gleichung (35) auf:
→
−
∂V
∂t
(x, y, z, t) ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit,
→
−
→
−→
−
− V (x, y, z, t) · ∇ V (x, y, z, t) ist die Advektion der Geschwindigkeit,
→
−
−g k (x, y, z, t) ist die Gravitationsbeschleunigung,
→
−
1
− ρ(x,y,z,t)
∇P (x, y, z, t) ist die Beschleunigung, die vom Druckgradient verursacht wird,
→
−
ν (x, y, z, t) ∆ V (x, y, z, t) ist die Beschleunigung, die von der Reibung verursacht wird.
1.5 Ausdruck der Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem
Um die Bewebung der Luft in der Erdatmosphäre zu beschreiben, ist das aber notwendig, die Bewegungsgleichung im in der Erde verankerten Bezugssystem (siehe Abbildung 1) zu schreiben. Wir
haben gesehen, dass Gleichungen (1) und (2) in diesem Bezugssystem nicht gültig sind. Jedoch ist es
möglich, die Vektorfunktionen von im Inertialsystem herleiteter Gleichung (35) jetzt im rotierenden
Bezugssystem zu schreiben.
→
−0 →
−
ex , e0y
und
→
−
ez
→
−
−
−
ex (t), →
ey (t) und →
ez seien die Einheitsvekθ (t) sei der Rotationswinkel des rotierenden
seien die Einheitsvektore des Inertialsystems,
tore des rotierenden Bezugssystems (siehe Abbildung 8).
Bezugssystems gegenüber dem Inertialsystem. Es gilt:
→
−
→
−
→
−
ex (t) = cos θ (t) e0x + sin θ (t) e0y
11
(36)
Abbildung 8:
Zur Erläuterung der verwendeten Einheitsvektore.
und
→
−
→
−
→
−
ey (t) = − sin θ (t) e0x + cos θ (t) e0y
→
−
ex (t)
und
→
−
ey (t)hängen
von
t
(37)
ab, weil sie gegenüber dem Inertialsystem rotieren. Ihre Ableitung im
Inertialsystem ist deshalb nicht gleich 0, sondern es gilt:
−
→
−
→
−
d→
ex dθ
dθ
dθ
−
(t) = − (t) sin θ (t) e0x +
(t) cos θ (t) e0y =
(t) →
ey (t)
dt
dt
dt
dt
In
(38)
−
→
−
→
−
dθ
dθ
dθ
d→
ey
−
(t) = − (t) cos θ (t) e0x −
(t) sin θ (t) e0y = − (t) →
ex (t)
dt
dt
dt
dt
In
(39)
sowie
Hier sei entschieden, die Abhängigkeit von
t
von
→
−0
ex
und
→
−0
ey
nicht zu notieren, obwohl diese beiden
Einheitsvektore gegenüber dem rotierenden Bezugssystem ebenfalls rotieren. Man kann auch schreiben:
→
−0
−
−
ex = cos θ (t) →
ex (t) − sin θ (t) →
ey (t)
(40)
→
−0
−
−
ey = sin θ (t) →
ex (t) + cos θ (t) →
ey (t)
(41)
Und es gilt:
→
−
de0x dt =−
Rot
→
−
de0y dt =
Rot
→
−
dθ
dθ
dθ
−
−
(t) sin θ (t) →
ex (t) −
(t) cos θ (t) →
ey (t) = − (t) e0y
dt
dt
dt
(42)
→
−
dθ
dθ
dθ
−
−
(t) cos θ (t) →
ex (t) −
(t) sin θ (t) →
ey (t) =
(t) e0x
dt
dt
dt
(43)
12
Die Beziehung zwischen der totalen Ableitung einer vektoriellen Funtion
→
−
X (x, y, z, t) im Inertialsystem
und ihrer totalen Ableitung im rotierenden System lautet:
→
−
dX
(x, y, z, t)
dt
→
−
dX
wobei
dt
(x, y, z, t)
In
In
→
−
dX
=
(x, y, z, t)
dt
+
Rot
dθ
→
−
−
(t) →
ez ∧ X (x, y, z, t)
dt
(44)
→
−
→
−
dX
die totale Ableitung von X (x, y, z, t) im Inertialsystem,
dt (x, y, z, t)
totale Ableitung im rotierenden System und
∧
das Vektorprodukt sind.
Die räumlichen Ableitungen einer vektoriellen Funtion
→
−
X (x, y, z, t)
ihre
Rot
hängen nicht vom Bezugssystem
ab. Aus diesem Grund gilt:
→
−
4 X (x, y, z, t)
In
→
−
= 4 X (x, y, z, t)
(45)
Rot
Auch hängt der räumliche Gradient einer skalaren Funktion nicht vom verwendeten Bezugssystem.
Von nun an ist
−
→
→
−
→
−
−
X 0 (x0 , y 0 , z, t) = X 0 (x0 , y 0 , z, t) e0x + Y 0 (x0 , y 0 , z, t) e0y + Z 0 (x0 , y 0 , z, t) →
ez
der Positionsvektor im Inertialsystem zur Zeit
0
bendet (x ,
y0
und
z
t
(46)
des Luftteilchens, das sich zu dieser Zeit bei
(x0 , y 0 , z)
t).
sind dabei die Koordinaten des Luftteilchen im Inertialsystem zur Zeit
→
−
−
−
−
X (x, y, z, t) = X (x, y, z, t) →
ex (t) + Y (x, y, z, t) →
ey (t) + Z (x, y, z, t) →
ez
(47)
ist der Positionsvektor des selben Luftteilchens im rotierenden Bezugssystem zur Zeit
(x, y, z), x, y
Zeit t).
sich in diesem Bezugssystem zu dieser Zeit bei
Luftteilchen im rotierenden Bezugssystem zur
und
z
t
(es bendet
sind dabei die Koordinaten des
Die Geschwindigkeit eines Luftteilchens im Inertialsystem wird (im Inertialsystem ausgedrückt) von
−
→
−→
dX 0 0 0
0
0 0
VIn (x , y , z, t) =
(x , y , z, t)
dt
=
In
→
−
→
−
dX 0 0 0
dY 0 0 0
dZ 0 0 0
−
(x , y , z, t) e0x +
(x , y , z, t) e0y +
(x , y , z, t) →
ez
dt
dt
dt
(48)
oder (im rotierenden Bezugssystem ausgedrückt) von
→
−
−→
dX
VIn (x, y, z, t) = dt (x, y, z, t)
In
=
dX
dt
→
−
ex (t)
−
(x, y, z, t) →
ex (t) + X (x, y, z, t) ddt
+ dY
dt
−
(x, y, z, t) →
ey (t) + Y (x, y, z, t)
→
−
+ dZ
dt (x, y, z, t) ez
−
d→
ey
dt
In
(t)
(49)
In
das heiÿt:
−→
VIn (x, y, z, t)
=
dX
dθ
→
−x (t)
dt (x, y, z, t) − dt (t) Y (x, y, z, t) e
dθ
dY
−
+ dt (t) X (x, y, z, t) + dt (x, y, z, t) →
ey (t)
+
dZ
dt
−
(x, y, z, t) →
ez
(50)
gegeben. Die Geschwindigkeit eines Luftteilchens im rotierenden Bezugssystem (im rotierenden Bezugssystem ausgedrückt) lautet:
13
→
−
dX
−−→
(x, y, z, t)
VRot (x, y, z, t) =
dt
=
Rot
dX
dY
dZ
−
−
−
(x, y, z, t) →
ex (t) +
(x, y, z, t) →
ey (t) +
(x, y, z, t) →
ez
dt
dt
dt
(51)
oder (im Inertialsystem ausgedrückt):
−
→0
−−0→ 0 0
dX
0 0
VRot (x , y , z, t) = dt (x , y , z, t)
→
−0 →
−
d
ex 0
0 0
0
0 0
= dX
dt (x , y , z, t) ex + X (x , y , z, t) dt →
−0 Rot
→
−
d
e
y
0
dY 0
+ dt (x0 , y 0 , z, t) ey + Y 0 (x0 , y 0 , z, t) dt Rot
dZ 0
0 0
→
−
+
(x , y , z, t) ez
0
Rot
(52)
dt
das heiÿt:
−−0→ 0 0
VRot (x , y , z, t)
=
dX 0
dt
(x0 , y 0 , z, t) +
dθ
dt
→
−
(t) Y 0 (x0 , y 0 , z, t) e0x
0
0 0
+ − dθ
dt (t) X (x , y , z, t) +
dY 0
dt
→
−
(x0 , y 0 , z, t) e0y +
dZ 0
dt
−
(x0 , y 0 , z, t) →
ez
(53)
Und nach Gleichung (44) gilt (im Inertialsystem ausgedrückt):
−
→
−→
−−0→ 0 0
dθ
0
−
(t) →
ez ∧ X 0 (x0 , y 0 , z, t)
VIn
(x0 , y 0 , z, t) = VRot
(x , y , z, t) +
dt
(54)
sowie (im rotierenden Bezugssystem ausgedrückt):
Nach Gleichung (44)
dθ
−→
−−→
→
−
−
VIn (x, y, z, t) = VRot (x, y, z, t) +
(t) →
ez ∧ X (x, y, z, t)
dt
→
−
−→
gilt (im rotierenden Bezugssystem ausgedrückt) mit X = VIn :
−→
dVIn
(x, y, z, t)
dt
In
d
−→
a
In (x, y, z, t) =
dt
−
a→
In (x, y, z, t)
−→
dVIn
=
(x, y, z, t)
dt
+
Rot
dθ
−→
−
(t) →
ez ∧ VIn (x, y, z, t)
dt
dθ
dθ
−−→
→
−
−→
−
−
VRot (x, y, z, t) +
(t) →
ez ∧ X (x, y, z, t) +
(t) →
ez ∧ VIn (x, y, z, t)
dt
dt
Rot
→
−
→
−
d2 θ
dθ
dX
−
−
→
→
−
→
−
= aRot (x, y, z, t) + dt2 (t) ez ∧ X (x, y, z, t) + dt (t) ez ∧ dt (x, y, z, t)
Rot
h
i
→
−
−−→
dθ
→
−
→
−
+ dθ
(t)
e
∧
V
(x,
y,
z,
t)
+
(t)
e
∧
X
(x,
y,
z,
t)
z
Rot
z
dt
dt
(55)
(56)
(57)
(58)
d2 θ
dt2 (t) = 0, da die Erdrotation für eine Zeitskala von ein paar Tagen als konstant betrachtet werden
dθ
dθ
kann. Ab jetzt wird auch
dt statt dt (t) geschrieben.
dθ →
−−→
−
−−→
−
a→
ez ∧ VRot (x, y, z, t) +
In (x, y, z, t) = aRot (x, y, z, t) + 2
dt
14
dθ
dt
2
→
−
→
−
−
ez ∧ →
ez ∧ X (x, y, z, t)
(59)
Aus Gleichung (33) (und mit Gleichung 45) wird:
−−
→
a
Rot (x, y, z, t)
2 →
→
−
→
− −−→
−
−
= −2 dθ
− dθ
ez ∧ →
ez ∧ X (x, y, z, t)
dt ez ∧ VRot (x, y, z, t) dt
→
−
→
−
−−→
1
∇P (x, y, z, t) + ν (x, y, z, t) ∆VRot (x, y, z, t)
−g k (x, y, z) − ρ(x,y,z,t)
(60)
Durch die Änderung des Bezugssystems sind zwei neue Terme entstanden:
→
− −−→
−2 dθ
dt ez ∧ VRot (x, y, z, t) (Coriolis-Beschleunigung) und
2 →
→
−
−
−
− dθ
ez ∧ →
ez ∧ X (x, y, z, t) (Zentrifugalbeschleunigung).
dt
→
−
NB: Ab hier wird die zeitliche Abhängigkeit von X (x, y, z, t) trivial. Sie wird deshalb weggelassen.
→
−
−
−
−
Der Einheitsvektor k (x, y, z) kann als Linearkombination von →
ex (t), →
ey (t) und →
ez geschrieben werden,
→
−
→
−
X
(x,y,z)
:
da k (x, y, z) = →
−
X (x,y,z)
→
−
k
(x, y, z) =
√
X(x,y,z)
X(x,y,z)2 +Y (x,y,z)2 +Z(x,y,z)2
Z(x,y,z)
+√
→
−
ex (t) + √
X(x,y,z)2 +Y (x,y,z)2 +Z(x,y,z)2
Y (x,y,z)
X(x,y,z)2 +Y (x,y,z)2 +Z(x,y,z)2
→
−
ey (t)
(61)
→
−
ez
Die Zentrifugalbeschleunigung ist gleich:
2 →
→
−
−
→
−
e
∧
e
∧
X
(x,
y,
z)
− dθ
z
z
dt
2
dθ
dt
2
dθ
dt
=−
=


X (x, y, z)
0
0
0 ∧  0 ∧ Y (x, y, z) 
Z (x, y, z)
1
1
X (x, y, z)
Y (x, y, z)
0
Sie ist senkrecht zur Erdrotationsachse und zeigt nach auÿen. Ihr Betrag ist gleich
7.3 × 10
−5 −1 2
s
× 6.4 × 10
6
m
−3
≈ 4.7 × 10
−2
m.s
mit
σ
R cos σ
(62)
dθ 2
dt
≈
der geographischen Breite. Das ist viel
kleiner als die anderen vorhanden Beschleunigungen, zum Beispiel die Gravitationsbeschleunigung
−2
(9.82 m.s
). Üblicherweise wird die Zentrifugalbeschleunigung lediglich als Korrekturfaktor zur Gra-
vitationsbeschleunigung betrachtet. Dabei zeigt die Gravitationsbeschleunigung zum Mittelpunkt der
Erde (mit einer hohen Genauigkeit), während die Zentrifugalbeschleunigung senkrecht zur Erdrotationsachse ist. Die Summe aus beiden (korrigierte Gravitationsbeschleunigung) zeigt nur annähernd
−
zum Mittelpunkt der Erde. Die ab jetzt verwendete Gravitationsbeschleunigung (→
g geschrieben) sei
gleich der Summe der früheren Gravitationsbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung:
→
−
→
−
g (x, y, z) = −g k (x, y, z) −
dθ
dt
2
→
−
→
−
−
ez ∧ →
ez ∧ X (x, y, z)
(63)
Aus Gleichung (60) wird nun:
−
→
a−
Rot (x, y, z, t)
=
→
− −−→
→
−
−2 dθ
dt ez ∧ VRot (x, y, z, t) + g (x, y, z) −
−−→
+ν (x, y, z, t) ∆VRot (x, y, z, t)
1
ρ(x,y,z,t)
→
−
∇P (x, y, z, t)
(64)
Ab jetzt verwenden wir ein anderes Bezugssystem (Name: Oberächensystem): es ist an einem biliebigen Ort auf Erdoberäche zentriert, die
die
z -Achse
x-Achse
zeigt nach Osten, die
nach oben. Die Einheitsvektore dieses Bezugssystems in der
15
y -Achse nach Norden
x, y bzw. z -Richtung
und
sind
jeweils
→
− →
−
i, j
und
→
−
k.
Dieses Bezugssystem bewegt sich nicht gegenüber dem im Mittelpunkt der Erde
zentrierten rotierenden Bezugssystem, so dass alle in diesem System geschriebenen Gleichungen (wie
Gleichung 64) im Oberächensystem immer noch gültig sind (nur werden andere Koordinaten verwendet). Ab jetzt sind
x, y
und
z
die Koordinaten im Oberächensystem. Wir lassen auch den Hinweis
Rot, aber sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung werden bezüglich des Oberächensystems
angegeben. Der Ausdruck der Bewegungsgleichung in diesem Bezugssystem lautet:
→
−
∂V
∂t
(x, y, z, t)
to be continued...
=
→
−
→
−→
−
−
dθ →
− →
→
−
− V (x, y, z,
t) · ∇ V (x, y, z, t) − 2 dt ez ∧ V (x, y, z, t) + g (x, y, z)
→
−
→
−
1
− ρ(x,y,z,t) ∇P (x, y, z, t) + ν (x, y, z, t) ∆ V (x, y, z, t)
(65)
Literatur
[1] Triplet, J.P., und G. Roche, Météorologie Générale (3ème édition), Météo-France, 1986.
to be continued...
17