Lagrange-Funktion für elektromagnetische Felder

13
Elektrodynamik
Von nun an werden wir uns mit zeitabhängigen Feldern beschäftigen, d.h. mit dem vollständigen
Satz der Maxwell-Gleichungen. Die homogenen Gleichungen
∇×B
∂B
∇×E +
∂t
= 0
(1)
= 0
(2)
garantieren die Existenz eines zeitabhängigen Vektor- und Skalarpotentials. Aus der ersten Gleichung
erhalten wir weiterhin
B(r, t) = ∇ × A(r, t).
Die Zeitabhängigkeit des magnetischen Feldes erzeugt allerdings Wirbel im elektrischen Feld, d.h.
das elektrische Feld kann nicht als Gradient eines Skalarfeldes
aufgefaßt werden. Man sieht jedoch aus Gleichung (2), daß
∂
∇ × E + A = 0,
∂t
d.h. es gibt ein Skalarpotential für welches
~ + ∂ A = −∇φ.
E
∂t
Die Bewegungsgleichungen für die Potentiale folgen dann aus den “Quellen-Gleichungen”:
∇·E
∇ × B − µ 0 0
Aus Gleichung (3) folgt:
∂
E
∂t
1
ρ
0
(3)
= µ0 j.
(4)
=
∆φ +
∂
1
∇·A=− ρ
∂t
0
und unter Ausnutzung von ∇ × (∇ × A) = −∆A + ∇(∇ · A) liefert Gleichung (4)
∆A − ∇(∇ · A) − µ0 0
∂
∂
(∇φ − A) = −µ0 j.
∂t
∂t
Bevor wir uns der allgemeinen Lösung der zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen zuwenden, werden
wir im folgenden Abschnitt eine geschlossene Behandlung der Bewegungsgleichungen für die Felder
und die Ladungen kennenlernen.
13.1
Prinzip der stationären Wirkung
Die Maxwell’schen
Ladungsverteilung.
Das
Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Felder bei vorgegebener
Newton’sche Gesetz
d2
r = q(E = v × B)
dt2
beschreibt die Bewegung einer Ladung in einem gegebenen Feld.
m
Wir werden im Folgenden versuchen, eine vereinheitlichte Beschreibung zu finden, bei der beide Typen
der Bewegungsgleichungen aus einem gemeinsamen Prinizip folgen.
das Hamilton-Lagrange Variationsprinzip
eines physikalischen Systems ist durch seine Wirkung
Guter Kandidat:
Die Dynamik
W12 =
Z
t1
dt L
.
t2
charakterisiert
Die Lagrange
System.
Funkton
L enthält alle wesentlichen Informationen über das physikalische
Die Wirkung hängt im Allgemeinen davon ab, welchen “Weg” das System zwischen t1 und t2
eingeschlagen hat.
Die tatsächliche Zeitentwicklung (“Weg”) des physikalischen Systems erfolgt so, daß die
für kleine Variationen um den korrekten Weg stationär ist,
δ
Z
Wirkung
t
L dt = 0
t0
Dies Prinizip gilt sehr allgemein, wenn wir den “Weg” als ein Ensemble aller relevanten dynamischen
Variablen des Systems auffassen. In unserem Fall umfaßt “der Weg” die Teilchen-Koordinaten r a (t)
sowie die Potentiale φ(r, t) und A(r, t).
Die Bewegungsgleichungen folgen aus dem Variationsprinzip aus der Bedingung, daß
Z 2
δW = 0 =
[L(ra + δr a , A, φ, t) − L(r a , A, φ, t)] dt
1
=0=
=0=
Z
Z
2
[L(ra , A + δA, φ, t) − L(r a , A, φ, t)] dt
1
2
[L(ra , A, φ + δφ, t) − L(r a , A, φ, t)] dt
1
vorrausgesetzt, daß die Variationen an den Endpunkten des Integrals verschwinden. Wir können annehmen, daß die Lagrangefunktion aus drei unterschiedlichen Teilen besteht: ein Teil beschreibt die
Bewegung eines freien Teilchens in der Abwesenheit von elektrodynamischen Felder, Lmech (r a (t)), einen
weiteren, der die freie Evolution der Felder bei Abwesenheit von Ladungen und Strömen beschreibt,
Lf ield (A(r, t), φ(r, t)) und ein dritter Teil, der die Kopplung einer sich bewegenden Ladung an das elektromagnetischee Feld beschreibt, Lcoupl
L = Lmech + Lcoupl + Lf ield
13.2
Lagrange Formalismus für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
Die Variationsableitung der Lagrange-Funktion L nach der Teilchen-Koordinate r a muß das Newton’sche Gesetz für ein geladenes Teilchenreproduzieren, das sich unter dem Einfluß der Lorentzkraft
bewegt.
Berachten wir das Hamilton’sche Prinzip etwas genauer: Die Lagrange-Funktion Lparticle = Lmech +
Lcoupl hängt explizit sowohl von der Teilchen-Koordinate als auch von der Teilchen-Geschwindigkeit,
∂
r ab. Daher,
v = ∂t
L(r(t) + δr(t))
= L(r + δr, v + δv, t)
∂L
∂L
= L(r, v, t) +
· δr +
· δv.
∂r
∂v
Nun ist allerdings die Variation von v durch die Variation von r festgelegt,
δv =
d
δr.
dt
Daher,
L(r(t) + δr(t))
∂L
d ∂L
d ∂L
= L(r, v, t) +
· δr +
δr −
· δr
∂r
dt ∂v
dt ∂v
d ∂L
d ∂L
∂L
· δr +
= L(r, v, t) +
−
· δr .
∂r
dt ∂v
dt ∂v
Die Änderung in der Wirkung W unter Veränderung von r ist daher durch
Z 1
d ∂L
∂L
d ∂L
δW =
dt
· δr +
−
· δr
dt ∂v
∂r
dt ∂v
2
t1 Z
∂L
∂L
d ∂L
=
· δr = 0
· δr + dt
−
∂v
∂r
dt
∂v
t2
gegeben.
Die Randterme verschwinden aufgrund der Bedingung δr(t1/2 ) = 0. Da die Variation der δr ansonsten
willkürlich ist, erfordert das Prinzip der stationären Wirkung, daß
∂L
d ∂L
−
=0
∂r
dt ∂v
Damit haben wir das Newton’sche Gesetz in verallgemeinerter Form wiedergefunden, wobei
verallgemeinerten Impuls
meinerten Kraft
∂L
∂r
∂L
∂v
einen
spezifiziert, welcher sich im Laufe der Zeit gemäß der verallge-
entwickelt.
Wenden wir uns nun wieder dem Teilchen im elektromagnetischen Feld zu: Wir suchen die LagrangeFunktion, die die Kopplung zwischen der Ladung und den Feldern beschreibt. Dazu müssen wir
Lcoupl in der Art und Weise bestimmen, daß die Lorentz’s Kraft als Gradient eines verallgemeinerten
Potentials geschrieben werden kann. Betrachte hierzu:
E+v×B
∂
A + v × (∇ × A)
∂t
∂
= −∇φ + ∇(v · A) − A − (v · ∇)A,
∂t
= −∇φ −
wobei wir benutzt haben, daß
v × (∇ × A) = ∇(v · A) − (v · ∇)A,
weil v = v(t).
Betrachte nun die totale Zeitableitung des Vektorpotentials entlang der Bahn des Teilchens,
!
X
X ∂ d
∂
d
∂
∂
vi
A(r(t), t) =
A+
xi = A +
A
dt
∂t
∂xi dt
∂t
∂xi
i
i
=
∂
A + (v · ∇)A.
∂t
Daher nimmt das Newton’sche Gesetz die Form
m
d
d
v = −q∇ (φ − (v · A)) − q A
dt
dt
an, oder
d
(mv + qA) = −∇(qφ − qv · A).
dt
Hieran identifizieren wir den verallgemeinerten Impuls
p = mv + qA =
∂L
,
∂v
die verallgemeinerte Kraft
−∇(qv · A − qφ) = −
∂L
,
∂r
und die Lagrange-Funktion des Teilchens,
Lparticle =
1
mv 2 + qv · A − qφ.
2
Offensichtlich setzt sich die Lagrange-Funktion aus zwei Anteilen zusammen,
Lparticle = Lmech + Lcoupl .
Aus der Lagrange-Funktion läßt sich sofort die
Betrachte:
d
L(r, v, t) =
dt
=
Hamilton-Funktion
des Teilchens ablesen.
∂L ∂L dr ∂L d dr
+
+
∂t
∂r dt
∂v dt dt
d ∂L
∂L dr ∂L
d ∂L
+
+
−
·v
∂t
dt ∂r
dt ∂v
dt ∂v
Die eckige Klammer [. . .] verschwindet wegen des Prinzips der stationären Wirkung. Damit lässt sich
die Hamilton-Funktion identifizieren:
H particle =
∂L
1
m
(p − qA)2 + qφ = v 2 + qφ
· v − L = p · v − Lparticle =
∂v
2m
2
und es gilt:
dH
∂L
=−
.
dt
∂t
Beachte: die Energie des Teilchens hängt nicht vom Vektorpotential A noch vom magnetischen Feld
B ab. D.h. dass das Teilchen im magnetischen Feld keine Energie aufnimmt.
Die explizite Zeitableitung der Lagrange-Funktion,
∂Lparticle
∂t
= qv
∂φ
∂A
−q
∂t
∂t
= −qv · E − qv · ∇φ − q
= −qv · E − q
∂φ
∂t
dφ
6= 0
dt
gibt die zeitliche Änderung der Energie wieder. Dies zeigt uns, dafss sich die Energie des Teilchen
im elektromagnetischen Feld verändert, die Lagrange-Funktion beschreibt also kein geschlossenes
System. Vielmehr nimmt das Teilchen Energie aus dem elektrischen Feld auf. Dieser Energiebeitrag
geht auf Kosten der Feldenergie, deren Beitrag im folgenden Abschnitt untersucht wird.