4.¨Ubungsblatt Theoretische Physik I: Klassische
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4. Übungsblatt Theoretische Physik I: Klassische Mechanik 2.11.-06.11.2015, Universität Wien 12. Ein Doppelpendel besteht aus einer Masse m1 , die an einem masselosen Faden der Länge l1 hängt und daran anschließend einer Masse m2 , die an einem masselosen Faden der Länge l2 hängt (siehe Abbildung). a) Schreibe die Lagrangefunktion in zweckmäßigen verallgemeinerten Koordinaten und leite die Bewegungsgleichungen her. b) Diskutiere eventuelle Erhaltungsgrößen und leite eine Näherung für kleine Winkel ab. Wie lauten nun die Bewegungsgleichungen? c) Leite für den Fall l1 = l2 die Eigenmoden des Gleichungssystems ab, indem du den Ansatz A ϕ1 (t) exp(iωt) (1) = B ϕ2 (t) einsetzt. Wie verhalten sich diese Eigenmoden in den Fällen m1 m2 , m1 = m2 und m1 m2 ? 13. Eine Punktmasse m1 bewegt sich auf einer horizontalen Ebene. Eine zweite Punktmasse m2 kann sich ausschließliche entlang einer vertikalen Linie bewegen. Die beiden Teilchen sind durch ein Loch in der Ebene über eine masselose Schnur verbunden (siehe Skizze), wobei sämtliche Bewegungen als reibungsfrei angenommen werden können. a) Bestimme die Lagrangefunktion für das System und ermittle die zugehörigen Bewegungsgleichungen. Zeige, dass der Gesamtdrehimpuls erhalten ist. b) Es sei der initiale Drehimpuls L0 . Schreibe die Lagrangefunktion als Funktion von L0 . Bestimme die Gleichgewichtsposition der hängenden Masse m2 . Schreibe die Taylorentwicklung der Lagrangefunktion in der niedrigsten nichtverschwindenden Ordnung um die Gleichgewichtslage an und diskutiere die physikalischen Eigenschaften kleiner Auslenkungen um die Ruhelage. 1 14. Ein geladenes Teilchen befinde sich in einem elektromagnetischen Feld, welches ~ x, t) gegeben ist. durch ein skalares Potential φ(~x, t) und ein Vektorpotential A(~ Gemäß der sogenannten Eichfreiheit in der Elektrodynamik ist die auf das Teilchen wirkende Kraft invariant unter der Eichtransformation ~ x, t) → A(~ ~ x, t) + ∇χ(~ ~ x, t), φ(~x, t) → φ(~x, t) − ∂ χ(~x, t), A(~ ∂t wobei χ(~x, t) eine beliebige skalare Funktion ist1 . Zeige mithilfe des LagrangeFormalismus, dass die Bewegungsgleichung invariant unter dieser Eichtransformation ist. 1 Eine oft verwendete Wahl ist die Coulombeichung, bei der die Funktion χ so gewählt wird, dass für ~ ·A ~ = 0 gilt. das Vektorpotential ∇ 2
