6. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I 27. Einfache

Prof. Dr. J. Krug
Dr. G. Wergen
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - SS 2013
6. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I
Abgabe: Dienstag 28. Mai bis 12 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik
Diskussion: Freitag 31. Mai in den Übungen
Termine: Klausur am 1. August (Donnerstag) um 14:15 Uhr in HS I
Internetseite: http://www.thp.uni-koeln.de/∼gw/
27. Einfache Beispiele
(2+2+2+2+4 = 12 Punkte)
a) Betrachten Sie ein Teilchen, dass sich im freien Fall im (homogenen) Gravitationsfeld der
Erde befinden. Vernachlässigen Sie Reibungseffekte. Stellen Sie die Lagrangefunktion für
dieses Teilchen auf und lösen Sie die zugehörige Lagrange-Gleichung 2. Art.
b) Betrachten Sie nun den eindimensionalen harmonischen Oszillator. Stellen Sie LagrangeFunktion und die Lagrange-Gleichung 2. Art auf. Geben Sie für Letztere die Lösung an.
c) Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m an einem einfachen starren Pendel mit Fadenlänge l. Überlegen Sie sich kinetische und potentielle Energie abhängig von der Auslenkung
des Pendels ϕ und geben Sie die Lagrange-Funktion, sowie die daraus resultierende Bewegungsgleichung an.
d) Gegeben Sei ein radialsymmetrisches Potential V (r) in einer Ebene. Geben Sie die LagrangeFunktion abhängig von der generalisierten Koordinaten r und φ an. Wie lauten die Bewegungsgleichungen?
e) Zwei Massen bewegen sich reibungsfrei auf einer Fläche, dabei ist die Masse m1 mit einer
Feder (Federkonstante k1 ) mit einer Wand verbunden, die Masse m2 ist mit einer Feder
(Federkonstante k2 ) an der ersten befestigt (siehe Abbildung). Verwenden Sie die Auslenkungen aus den jeweiligen Ruhelagen als verallgemeinerte Koordinaten und geben Sie die
Lagrangefunktion sowie die Bewegungsgleichungen des Systems an.
k1
k2
m1
m2
28. Atwood’sche Fallmaschine (Teil 2)
(4+4 = 8 Punkte)
Betrachten Sie noch einmal die Atwood’sche Fallmaschine (Aufgabe 26).
a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion für dieses System auf.
b) Leiten Sie aus der Lagrange-Funktion die Lagrange-Gleichung 2. Art her. Vergleichen Sie
die beiden Methoden.
1
29. Zwei gekoppelte Oszillatoren
( 4+3+3 = 10 Punkte )
Zwei Massenpunkte der Masse m seien miteinander durch eine Feder verbunden, sowie mit zwei
festen Wänden durch je eine weitere Feder (siehe Abbildung). Die drei Federn sollen alle die
gleiche Federkonstante k haben. Das System sei eindimensional, die Koordinaten x1 und x2
geben die Abweichungen der beiden Massenpunkte von ihrer Ruhelage an.
m
m
a) Stellen Sie mit Hilfe des Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichungen für x1 (t) und
x2 (t) auf.
b) Führen Sie nun q1 = (x1 − x2 ) und q2 = (x1 + x2 ) als verallgemeinerte Koordinaten ein.
Stellen Sie wieder die Lagrange-Gleichungen 2. Art auf. Wie unterscheiden sich die Gleichungen von denen aus Teil a)?
c) Lösen Sie die Gleichungen aus Teil b) und interpretieren Sie das Ergebnis.
30. Snelliussches Brechnungsgesetz
(10 Punkte)
Leiten Sie das Snelliussche Brechungsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip her.
a
n2
s1
x
d
α1
α2
n1
d−x
s2
b
Das Fermatsche Prinzip der geometrischen Optik besagt, dass sich Lichtstrahlen immer auf einem
Weg extremaler Laufzeit ausbreiten. Das Snelliussche Brechungsgesetz beschreibt die Lichtbrechung am Übergang zwischen verschiedenen transparenten Materialien und lautet
n1 sin α1 = n2 sin α2 .
αi bezeichnet dabei Einfalls- und Ausfallswinkel gemessen gegen das Lot auf die Oberfläche, ni
sind die Brechungsindizes der beiden Materialien. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in
einem Medium ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit geteilt durch den Brechungsindex.
Hinweis: Berechnen Sie die Laufzeit des Lichtes als Funktion von x und bestimmen Sie das
Minimum dieser Funktion.
2
31. Wiederholung
(Keine Punkte)
Gehen Sie noch einmal die bisher in der Vorlesung behandelten Themen durch und lesen Sie das
Skript. Wenn Ihnen bestimmte Punkte noch unklar sind, dann fragen Sie nach. Gehen Sie nach
Möglichkeit auch noch einmal die bisher besprochenen Übungsaufgaben durch. Arbeiten Sie die
folgenden Kontrollfragen durch um sich auf die Klausur vorzubereiten:
• Nennen Sie die Newton’schen Axiome, sowie die Kepler’schen Gesetze.
• Nennen Sie mindestens drei Erhaltungssätze. Können Sie sie für ein abgeschlossenes N Teilchen-System beweisen?
• Wie lautet das Noether-Theorem? Wieviele Erhaltungsgrössen sind in einem abgeschlossenen N -Teilchensystem mindestens vorhanden? Welche sind das?
• Was ist ein Inertialsystem? Was versteht man unter einer Galilei-Transformation, was unter
einer speziellen Galilei-Transformation?
• Wie sind Bogenlänge, Tangential- und Normalenvektor definiert?
• Geben Sie Ausdrücke für Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten an.
• Welche Kräfte wirken in einem beschleunigten Bezugssystem?
• Nennen Sie alle Ihnen bekannten Kriterien für konservative Kraftfelder.
• Wie lautet das Gravitationsgesetz? Geben Sie das Keplerpotential, sowie das Potential des
harmonischen Oszillators an. Kennen Sie das Coulomb-Potential?
• Nennen Sie mindestens drei geschwindigkeitsabhängige Kräfte.
• Nennen Sie mindestens drei Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen und geben
Sie jeweils ein Beispiel bei dem diese Methode sinnvoll ist.
• Geben Sie eine Differentialgleichungen an, die den eindimensionalen, linear gedämpften
harmonischen Oszillator beschreibt. Wie lautet die Hamiltonfunktion des harmonischen
Oszillators ohne Dämpfung?
• Geben Sie drei mögliche Parametrisierungen einer Ellipse an. Was versteht man unter dem
Perihel und dem Aphel?
• Was versteht man unter geschlossenen Bahnen? Für welche Zentralpotentiale findet man
geschlossene Bahnen?
• Verallgemeinern Sie das dritte Kepler’sche Gesetz für Potentiale der Form V (r) ∝ r −ν .
• Wie lautet die Azimuthalgleichung? Können Sie sie herleiten? Was besagt der Flächensatz?
Können Sie ihn beweisen?
• Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Lagrange- und dem Hamiltonformalismus?
• Was versteht man unter Isotropie des Raumes? Was versteht man unter Homogenität?
• Was versteht man unter dem Einstein’schen Äquivalenzprinzip?
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