Ubungen zur Theoretischen Physik Ia

Universität Regensburg, Institut für Theoretische Physik
SS 2017
Gunnar Bali, Giovanni Chirilli, Fabian Hutzler, Simon Maier, Linda Sollfrank,
Sebastian Waeber, Philipp Wein
Übungen zur Theoretischen Physik Ia (Mechanik)
Blatt 5 (vorzurechnen am 30.5, 31.5. oder 1.6.)
Aufgabe 17
Wir definieren eine beschleunigungsabhängige Lagrangefunktion L = L(q, q̇, q̈, t). q(t)
und q̇(t) seien an den Randpunkten t1 und t2 festgelegt. Benutzen Sie das Hamiltonprinzip um die Eulergleichungen
d2 ∂L
d ∂L ∂L
−
+
=0
2
dt ∂ q̈
dt ∂ q̇
∂q
herzuleiten. Wenden Sie dieses Resultat auf die Lagrangefunktion
L=−
m
k
q q̈ − q 2
2
2
an. Kommen Ihnen die Bewegungsgleichungen bekannt vor?
Aufgabe 18
Ein Massenpunkt der Masse m bewege sich reibungsfrei in einem homogenen konstanten Gravitationsfeld F = −mgey vom Anfangspunkt (0, 0) hin zu dem Endpunkt
(xe , ye ), ye < 0. Die Geschwindigkeit ergibt sich als v = ds/dt, wobei ds2 = dx2 + dy 2 .
Die Anfangsgeschwindigkeit sei v0 = v(0) = 0. Wir wollen eine Parametrisierung der
Kurve (x(ψ), y(ψ)) finden, welche die beiden Punkte so verbindet, dass die Ankunftszeit
am Endpunkt minimal ist (Brachistochrone). Die Lagrangefunktion lautet L(y, y 0 , x),
wobei wir abgekürzt haben: y 0 = dy/dx.
a) Wie lange benötigt das Teilchens um entlang eines vorgegebenen Weges y(x) zum
Endpunkt zu gelangen? Stellen Sie die für das Minimierungsproblem relevante
Lagrangefunktion auf.
b) Finden Sie die Lösung, entweder indem Sie die Euler-Lagrangegleichung lösen
oder unter Ausnutzung der Beziehung dH/dx = −∂L/∂x, wobei die sog. Hamiltonfunktion gegeben ist als:
H=
∂L 0
y − L.
∂y 0
Da L für dieses Beispiel nicht explizit von x abhängt, gilt H = const. Dieser
Lösungsweg ist der einfachere.
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Aufgabe 19
Wir parametrisieren die Oberfläche einer Einheitskugel in sphärischen Koordinaten:
r = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ), wobei ϕ ∈ [0, 2π), ϑ ∈ [0, π]. Wir möchten die
kürzeste Verbindung (Geodäte) auf der Kugeloberfläche zwischen zwei Punkten r(ϑ1 , ϕ1 )
und r(ϑ2 , ϕ2 ) finden.
a) Zeigen Sie, dass ṙ2 = ϕ̇2 sin2 ϑ + ϑ̇2 gilt, wobei α̇ = dα/dt die Ableitung nach
einem Bahnparameter t bezeichnet.
b) Wir nehmen an, dass Anfangs- und Endpunkte so gewählt sind, dass sich ϑ als
Funktion von ϕ schreiben läßt und√definieren ϑ0 = dϑ/dϕ Zeigen Sie, dass dann
die Lagrangefunktion L(ϑ, ϑ0 ) = sin2 ϑ + ϑ02 dem zu lösenden Minimierungsproblem entspricht.
c) Stellen Sie die Euler-Lagrangegleichung für ϑ auf. Welche Vereinfachung ergibt
sich für den Spezialfall ϑ0 = 0? Welchen Wert muss ϑ dann annehmen?
d) Berechnen Sie die Hamiltonfunktion H (siehe Aufgabe 18 b). Da L nicht explizit
von ϕ abhängt, ist die Hamiltonfunktion konstant. Welche Differentialgleichung
ergibt sich für ϑ(ϕ)? Machen Sie einen Separationsansatz. Verzichten Sie darauf,
das sich ergebende Integral zu lösen.
Aufgabe 20
Eine Masse m rotiere auf einer horizontalen (hinreichend großen) Tischoberfläche mit
der Winkelgeschwindigkeit ω(t) = ϕ̇. Die Masse m ist durch einen Faden der Länge
` durch ein kleines Loch hindurch mit einer zweiten Masse M verbunden, welche sich
unter dem Tisch befindet. Die Entfernung zwischen der Masse m und dem Loch (=
Mittelpunkt des Koordinatensystems) heiße r(t). Wir nehmen an, dass sich M nur
in vertikaler Richtung, parallel zu einem homogenen konstanten Gravitationsfeld der
Stärke −mg, bewegen kann. Desweiteren vernachlässigen wir Reibungskräfte, die Torsion des Fadens, den Durchmesser des Lochs etc..
a) Fertigen Sie eine Skizze an und stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems auf
(generalisierte Koordinaten: r und ϕ).
b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen her.
c) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen z.B. gelöst werden können für konstantes r(t) = r0 und ϕ̇(t) = ω0 . Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen r0
und ω0 ?
d) Welche Lösungen der Bewegungsgleichungen ergeben sich für die Anfangsbedingung ϕ̇(0) = 0 ?
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