¨Ubung zu ” Theoretische Mechanik“

Übung zu Theoretische Mechanik“
”
WS 2012/2013
Übung 5
Ausgabe: 19.11.2012
Besprechung: 26.11.2012
Aufgabe 5.1: Brachistochrone
Lösen Sie das in der Vorlesung vorgestellte Brachistochronenproblem:
Ein Teilchen bewegt sich im homogenen Schwerefeld von einem Punkt P1 (0, 0) nach P2 (x2 , y2 ). Auf
welchem Weg y(x) wird die dafür benötigte Zeit minimal?
a) Stellen Sie das Funktional für die Gesamtzeit auf. (1 Punkt)
b) Zeigen Sie, dass unter der Bedingung, dass das betrachtete Funktional nicht explizit von x abhängt,
die Euler-Lagrange-Gleichung zu
∂F
f − y 0 0 = const.
∂y
umgeformt werden kann. (2 Punkte)
c) Stellen Sie mit Hilfe der in b) hergeleiteten Identität eine DGL 1. Ordnung auf und lösen Sie diese.
(Hinweis: Zum Lösen bietet sich die Parametrisierung y 0 = tan(φ) an.) (2 Punkte)
Aufgabe 5.2: Lagrange-Funktion in beschleunigten Systemen
Die Bewegungsgleichungen in beschleunigten Bezugssystemen sollen im Folgenden nochmals abgeleitet
werden. Anders als beim Vorgehen in der Vorlesung soll die Herleitung diesmal aber über eine Transformation der Lagrangefunktion erfolgen. Dabei setzen wir voraus, dass das Prinzip der extremalen
Wirkung auch in beschleunigten Bezugssytemen gilt. Wir gehen in drei Schritten vor:
a) Gegeben sei die Lagrangefunktion
L0 (r0 (t), v0 (t)) =
m 2
v − U (r0 )
2 0
eines einzelnen Teilchens der Masse m und Geschwindigkeit v0 (t) in einem Inertialsystem Σ0 . Zeigen Sie, dass sich die Lagrange-Funktion L0 des Teilchens in einem Koordinatensystem Σ0 , das sich
gegenüber Σ0 mit der translatorischen Geschwindigkeit V (t) bewegt, schreiben lässt als:
m 2
L0 = v 0 − mW (t) · r 0 − U
2
Dabei bezeichnen die gestrichenen Größen die zu den Größen mit Index 0 korrespondierenden im bewegten Bezugssytem und W (t) = dVdt(t) sei die Beschleunigung des Koordinatensystems Σ0 gegenüber
Σ0 . (1 Punkt)
b) In einem zweiten Schritt wollen wir nun die Lagrange-Funktion L0 auf ein Koordinatensystem Σ
transformieren, das seinen Nullpunkt mit Σ0 zu jedem Zeitpunkt gemein hat, sich aber gegenüber Σ0
mit der Winkelgeschwindigkeit Ω(t) dreht. Zeigen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus a), dass
sich die Lagrangefunktion des Teilchens in Σ schreiben lässt als:
m
m
L = v 2 + mv · (Ω × r) + (Ω × r)2 − mW · r − U
2
2
Dabei bezeichnen die ungestrichenen Größen wiederum die zu den gestrichenen korrespondierenden
im neuen Koordinatensystem Σ. (2 Punkte)
c) Benutzen Sie die in Aufgabenteil b) ermittelte Lagrangefunktion, um die Bewegungsgleichungen
des Teilchens in beliebig bewegten Bezugssystemen herzuleiten und interpretieren Sie die auftretenden
Terme. (2 Punkte)
Hinweis: Nutzen Sie im Aufgabenteil a) die Eichinvarianz der Lagrangefunktion aus.
Aufgabe 5.3: Foucaultsches Pendel
Betrachten Sie ein mathematisches Pendel der Masse m und der Pendellänge l im homogenen Schwerefeld der Erde auf Meereshöhe in einem erdfesten, mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Bezugssystem. Das Pendel befinde sich an einem Ort der geographischen Breite φ.
a) Wie lauten die Lagrange-Funktion und die Bewegungsgleichungen, wenn alle Terme O(ω 2 ) vernachlässigt werden? Gehen Sie von kleinen Schwingungsamplituden aus. Verwenden Sie kartesische
Koordinaten. (1 Punkt)
b) Vernachlässigen Sie die vertikale Bewegung des Pendels und zeigen Sie, dass sich die Bewegungsgleichungen in der horizontalen Ebene schreiben lassen als:
g
ẍ = − x + 2ωz ẏ,
l
g
ÿ = − y + 2ωz ẋ
l
(1)
(1 Punkt)
c) Schreiben Sie die Bewegungsgleichungen für x und y als eine Differentialgleichung für die komplexe
Größe ζ = x + iy. (1 Punkt)
d) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung für folgende Anfangsbedingungen:
(1)
x(0) = x0 , y(0) = 0, ẋ(0) = 0, ẏ(0) = 0
(2)
x(0) = 0, y(0) = 0, ẋ(0) = v0 , ẏ(0) = 0
(1 Punkt)
d) Skizzieren Sie die Bewegung in der xy-Ebene unter Beachtung von
q
g
l
ω. (1 Punkt)