Zweite Klausur, geschrieben am 22. Juli - www2.mpip

PD Dr. Burkhard Dünweg
Dipl.-Phys. Ulf D. Schiller
SS 2006
2. Klausur zur “Theoretischen Physik II”
22. Juli 2006
Name:
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Matrikelnummer:
...................................................
Übungsassistent:
...................................................
Schreiben Sie bitte auf jedes Lösungsblatt Ihren Namen und bearbeiten
Sie auf einem Blatt nur jeweils eine Aufgabe.
Lesen Sie sich am Anfang in Ruhe alle Aufgaben durch und fragen Sie bei
Unklarheiten in der Aufgabenstellung bitte nach.
Es wird nicht erwartet, dass Sie alle Aufgaben lösen.
Bearbeiten Sie zuerst die Aufgaben, die Ihnen ,,am besten liegen”. In dieser Klausur können maximal 80 Punkte erreicht werden. Für den Übungsschein wird erwartet, dass Sie mindestens 25 Punkte erreichen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10
11
12
13
Σ
Aufgabe 1: Poissonklammern
a) Zeigen Sie folgende Identität für Poissonklammern, wobei f , g und h beliebige
Funktionen sind:
{f g, h} = f {g, h} + {f, h}g.
(1)
(3 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass für die Poissonklammern der kartesischen Drehimpulskomponenten gilt
{li , lj } = −ijk lk .
(2)
(3 Punkte)
Hinweis: Die Poissonklammer zweier Funktionen f und g ist definiert durch
X ∂f ∂g
∂f ∂g
{f, g} :=
−
.
∂p
∂q
∂q
∂p
i
i
i
i
i
(3)
Aufgabe 2: Kanonische Transformationen
a) Ist die Transformation
P = q cot p
Q = ln
sin p
q
kanonisch?
(4)
(3 Punkte)
b) Für welche Werte α, β ist die Transformation
P = q α sin(βp)
Q = q α cos(βp)
kanonisch?
(5)
(3 Punkte)
Hinweis: Verwenden Sie Poissonklammern.
Aufgabe 3: Harmonischer Oszillator
Betrachten Sie den harmonischen Oszillator mit Hamiltonfunktion
p2
m
H(p, q) =
+ ω02 q 2 .
(6)
2m
2
a) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für q und p auf. (1 Punkt)
b) Zeigen Sie mit Hilfe von Poissonklammern, dass die Transformation
p2
mω0 2
q
Q = arctan mω0
P =
q +
p
2
2mω0
kanonisch ist.
(7)
(2 Punkte)
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für Q und P auf, und lösen Sie diese.
(2 Punkte)
d) Führen Sie die Rücktransformation auf q und p aus.
2
(3 Punkte)
Aufgabe 4: Atwoodsche Fallmaschine
m1
g
m2
Betrachten Sie zwei Massen m1 und m2 , die verbunden sind durch ein masseloses Seil
konstanter Länge, das über eine ebenfalls masselose Rolle läuft, die sich reibungsfrei um
ihre Achse drehen kann (vgl. Abb.). Das System befinde sich im homogenen Schwerefeld.
a) Führen Sie geeignete generalisierte Koordinaten ein und stellen Sie die Lagrangefunktion auf.
(2 Punkte)
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
(2 Punkte)
c) Lösen sie die Bewegungsgleichungen für den Fall, dass sich das System zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe befindet.
(2 Punkte)
Aufgabe 5: Perle auf kreisförmigem Draht
ω
θ
R
g
m
Eine Perle der Masse m gleite im homogenen Schwerefeld reibungsfrei auf einem kreisförmigen, masselosen Draht. Der Drahtring rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω um seinen Durchmesser, wobei die Drehachse parallel zum Vektor der Schwerkraft sei.
a) Finden Sie geeignete generalisierte Koordinaten und stellen Sie die Lagrangefunktion auf.
(4 Punkte)
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
(2 Punkte)
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung unter Verwendung der harmonischen Näherung
(θ 1: sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1). Wir setzen hierbei voraus, dass ω hinreichend
klein ist. Ab welcher Winkelgeschwindigkeit gibt es keine Schwingungen mehr?
(2 Punkte)
3
Aufgabe 6: Seil auf Tischkante
L−s
g
s
Ein Seil mit linearer Massendichte ρ und Länge L liege ausgestreckt so auf einem Tisch,
daß ein Stück der Länge s über die Tischkante hängt. Das System befinde sich im
homogenen Schwerefeld. Zur Zeit t = 0 hänge bereits ein Stück s0 > 0 herab. Zum
Zeitpunkt t = 0 werde das Seil losgelassen.
a) Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems auf unter der Voraussetzung, daß
das Seil reibungsfrei gleite. Hinweis: Verwenden Sie s als Koordinate. (4 Punkte)
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
(2 Punkte)
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für die gegebenen Anfangsbedingungen.
(2 Punkte)
Aufgabe 7: Fallende Feder
m1
k
g
m2
x
Zwei Massen m1 und m2 seien durch eine Feder der Ruhelänge l0 und der Federkonstante k verbunden. Das System befinde sich im homogenen Schwerefeld. Für Zeiten
t < 0 werden beide Massen festgehalten, und zwar dergestalt, dass die Verbindungslinie
zwischen m1 und m2 genau parallel zum Schwerefeldvektor ist, und zudem länger als
l0 ist. Die Masse m1 befinde sich dabei oberhalb von m2 . Zum Zeitpunkt t = 0 werden
beide Massen losgelassen.
a) Stellen Sie die Lagrangefunktion des Systems in den Koordinaten x1 und x2 auf.
(4 Punkte)
b) Drücken Sie die Lagrangefunktion durch Relativ- und Schwerpunktskoordinaten
aus und stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
(4 Punkte)
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für die gegebenen Anfangsbedingungen. Eine
Rücktransformation auf x1 und x2 ist nicht erforderlich.
(2 Punkte)
4
Aufgabe 8: Bewegung im eindimensionalen Potential
Betrachten Sie die eindimensionale Bewegung eines Teilchens der Masse m im Potential
U (x) = −ax2 + bx4
a > 0, b > 0
p
Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen am Ort x(0) = x0 = ab in Ruhe.
(8)
a) Führen Sie die Variable ξ = xx0 ein und berechnen Sie t als Funktion von ξ. Wieviel
Zeit benötigt das Teilchen, um den Punkt x = 0 zu erreichen?
Hinweis: Ein auftretendes Integral lässt sich lösen mit Hilfe von
Z
dx
x
√
√
= ln
(9)
x 1 − x2
1 + 1 − x2
(4 Punkte)
b) Berechnen Sie die Bahn x(t).
(3 Punkte)
Aufgabe 9: Wirkung und Hamiltonsches Prinzip
Untersuchen Sie das Wirkungsintegral für drei hypothetische Fallbewegungen eines Teilchens der Masse m im homogenen Schwerefeld der Erde:
z(t) = at
z(t) = bt2
z(t) = ct3
(10)
(11)
(12)
a) Bestimmen Sie die Konstanten a, b und c so, dass für alle Bahnen gilt z(0) = 0
und z(T ) = − g2 T 2 , wobei T die Falldauer sei.
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie die Wirkungsintegrale für die drei Bahnen.
(3 Punkte)
c) Welche Bahnen können aufgrund des Hamiltonschen Prinzips ausgeschlossen werden?
(1 Punkte)
Aufgabe 10: Geladenes Teilchen in äußeren Feldern
Betrachten Sie die Lagrangefunktion eines nichtrelativistischen, geladenen Teilchens
1
~
L = m~v 2 − qφ + q~v A,
2
(13)
wobei m die Masse, q die Ladung und ~v die Geschwindigkeit des Teilchens, und φ und
~ die elektromagnetischen Potentiale sind. Berechnen Sie die Hamiltonfunktion des SyA
stems.
(3 Punkte)
5
Aufgabe 11: Freier Fall und kanonische Transformation
Betrachten Sie den freien Fall einer Masse m im homogenen Schwerefeld. Die Hamiltonfunktion des freien Falls ist
p2
H(p, q) =
+ mgq.
(14)
2m
Betrachten Sie weiter die kanonische Transformation, die durch
F (q, Q) = −mgτ Qq −
m 2 3 3
g τ Q
6
(15)
erzeugt wird. Hierbei ist τ eine beliebige Zeit.
a) Zeigen Sie, dass die Transformation auf ein freies Teilchen führt.
(3 Punkte)
b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für P und Q.
(2 Punkte)
c) Führen Sie die Rücktransformation auf p und q durch.
(2 Punkte)
Hinweis: Für die Erzeugende F (q, Q) einer kanonischen Transformation gilt
∂F
= −P.
∂Q
∂F
=p
∂q
(16)
Aufgabe 12: Erhaltungsgrößen
Betrachten Sie die dreidimensionale Bewegung eines Teilchens in einem Potential V =
V (x, y), das nur von den Koordinaten x und y abhängt. Welche Erhaltungsgrößen gibt
es und warum?
(2 Punkte)
Aufgabe 13: Wirkungsquerschnitt
Der differentielle Wirkungsquerschnitt der Rutherford-Streuung ist gegeben durch
2
α
1
dσ
=
.
(17)
2
dΩ
2µv
sin4 χ2
Berechnen Sie die den totalen Wirkungsquerschnitt σtot . Was ist der Grund für das Ergebnis? Hinweis: Für den totalen Wirkungsquerschnitt ist die Unterscheidung zwischen
Laborsystem und Schwerpunktsystem irrelevant.
(2 Punkte)
Viel Erfolg!
6