Mechanik - Uni Regensburg/Physik

Universität Regensburg, Institut für Theoretische Physik
SS 2015
Gunnar Bali, Petra Högl, Susanne Irmer, Michael Kammermeier, Michael Niklas, Claudia Uebler
Übungen zur Theoretischen Physik Ia (Mechanik)
Blatt 5 (vorzurechnen am 19., 20. oder 21.5.)
Aufgabe 16
Wir definieren eine beschleunigungsabhängige Lagrangefunktion L = L(q, q̇, q̈, t), wobei q = (q1 , . . . , qf ). q(t) und q̇(t) seien an den Randpunkten t1 und t2 festgelegt.
Benutzen Sie das Hamiltonprinzip um die Eulergleichungen
d ∂L ∂L
d2 ∂L
−
+
=0
dt2 ∂ q̈ i dt ∂ q̇ i ∂q i
herzuleiten. Wenden Sie dieses Resultat auf die Lagrangefunktion
L=−
m
k
q · q̈ − q2
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an. Kommen Ihnen die Bewegungsgleichungen bekannt vor?
Aufgabe 17
Ein Massenpunkt der Masse m bewege sich reibungsfrei in einem homogenen konstanten Gravitationsfeld F = −mgey vom Punkt (0, 0) hin zu dem Punkt (xe , ye ),
ye < 0. Die Geschwindigkeit ergibt sich als v = ds/dt, wobei ds2 = dx2 + dy 2 . Die Anfangsgeschwindigkeit sei v0 = v(0) = 0. Wir wollen eine Parametrisierung der Kurve
(x(ψ), y(ψ)) finden, welche die beiden Punkte so verbindet, dass die Ankunftszeit am
Endpunkt minimal ist (Brachistochrone). Die Lagrangefunktion lautet L(y, y 0 , x) und
wir kürzen ab: y 0 = dy/dx.
a) Wie lange benötigt das Teilchens um entlang eines vorgegebenen Weges y(x) zum
Endpunkt zu gelangen? Stellen Sie die für das Minimierungsproblem relevante
Lagrangefunktion auf.
b) Finden Sie die Lösung, entweder indem Sie die Euler-Lagrangegleichung lösen
oder unter Ausnutzung der Beziehung dH/dx = −∂L/∂x, wobei die sog. Hamiltonfunktion gegeben ist als:
H=
∂L 0
y − L.
∂y 0
Da L für dieses Beispiel nicht explizit von x abhängt, gilt H = const. Dieser
Lösungsweg ist der einfachere.
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Aufgabe 18
Wir parametrisieren die Oberfläche einer Einheitskugel in sphärischen Koordinaten:
r = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ), wobei ϕ ∈ [0, 2π), ϑ ∈ [0, π]. Wir möchten die
kürzeste Verbindung (Geodäte) auf der Kugeloberfläche zwischen zwei Punkten r(ϑ1 , ϕ1 )
und r(ϑ2 , ϕ2 ) finden.
a) Zeigen Sie, dass ṙ2 = ϕ̇2 sin2 ϑ + ϑ̇2 gilt, wobei α̇ = dα/dt die Ableitung nach
einem Bahnparameter t bezeichnet.
b) Wir nehmen an, dass Anfangs- und Endpunkte so gewählt sind, dass sich ϑ als
Funktion von ϕ schreiben läßt und√definieren ϑ0 = dϑ/dϕ Zeigen Sie, dass dann
die Lagrangefunktion L(ϑ, ϑ0 ) = sin2 ϑ + ϑ02 dem zu lösenden Minimierungsproblem entspricht.
c) Stellen Sie die Euler-Lagrangegleichung für ϑ auf. Welche Vereinfachung ergibt
sich für den Spezialfall ϑ0 = 0? Welchen Wert muss ϑ dann annehmen?
d) Berechnen Sie die Hamiltonfunktion H (siehe Aufgabe 17). Da L nicht explizit
von ϕ abhängt, ist die Hamiltonfunktion konstant. Welche Differentialgleichung
ergibt sich für ϑ(ϕ)? Machen Sie einen Separationsansatz. Verzichten Sie dabei
darauf, das sich ergebende Integral zu lösen.
Aufgabe 19
Wir betrachten ein Punktteilchen der Masse m, welches sich reibungsfrei auf der Oberfläche einer Kugel des Radius R bewegt. Es wirke ein homogenes konstanten Gravitationsfeld F = −mge3 (sphärisches Pendel).
a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L = T − U auf. Benutzen Sie dabei sphärische
Polarkoordinaten: r(r, ϑ, ϕ) = r(sin ϑ cos ϕ e1 + sin ϑ sin ϕ e2 + cos ϑ e3 ).
b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen her.
c) Für die Anfangsbedingung ϕ(t0 ) = ϕ̇(t0 ) = 0 reduzieren sich die Bewegungsgleichungen auf die eines ebenen Pendels. Lösen Sie diese Gleichung für den Grenzfall
kleiner Auslenkungen aus der Ruhelage ϑ ≈ π.
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