Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) ¨Ubungsblatt 12

Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik)
SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14)
Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala
Übungsblatt 12
Abgabe: 07.07.08
Punkte der Hausaufgaben mit * und ** :
Σ12 = 17 Punkte
Beispielaufgaben
Aufgabe 28 : Hamiltonfunktion des schweren Kreisels
(mittel)
Wir betrachten einen schweren symmetrischen Kreisel (I1 = I2 = I) im homogenen Schwerefeld
mit dem Unterstützungspunkt auf der Figurenachse. Die Lagrangefunktion kann durch die EulerWinkel (φ, ψ, θ) ausgedrückt werden und hat die folgende Form:
1
1
L(θ, φ̇, ψ̇, θ̇) = I(θ̇ 2 + φ̇2 sin2 θ) + I3 (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 − gM s cos θ
2
2
Dabei ist M die Gesamtmasse des Kreisels und s der Abstand zwischen Unterstützungspunkt
und Schwerpunkt. In dieser Aufgabe berechnen wir die Hamiltonfunktion des schweres symmetrisches Kreisels.
(a) Berechnen Sie zuerst die kanonischen Impulse, die zu den generalisierten Koordinaten φ, ψ,
und θ konjugiert sind.
(b) Mit den Ergebnissen von a), berechnen Sie die Energie,
X
h(q, q̇) =
q̇j pj (q, q̇) − L(q, q̇),
j
wobei qj und pj die generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulse sind.
(c) Prüfen Sie ob das Gleichungssystem von a)
pj = pj (q, q̇),
mit q = (φ, ψ, θ),
invertierbar ist. Ein lineares Gleichungssystem ist lösbar, wenn
det M 6= 0,
wobei Mij =
∂pi
.
∂ q̇j
Ist der schwere symmetrische Kreisel ein kanonisches System?
(d) Lösen Sie das Gleichungssystem bezüglich der Geschwindigkeiten q̇j und finden Sie die
Hamiltonfunktion des Kreisels,
H(q, p) = h (q, q̇(q, p))
X
=
q̇j (q, p)pj − L (q, q̇(q, p)) .
j
(1)
Aufgabe 29 : Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
(mittel)
In der Vorlesung hatten wir die nichtrelativistische Lagrangefunktion für ein geladenes Teilchen
(Ladung q) im elektromagnetischen Feld kennengelernt:
L(r, ṙ, t) =
m 2
q
ṙ − qφ + A · ṙ
2
c
Dabei ist φ = φ(r, t) das skalare Potential und A = A(r, t) das Vektorpotential.
(a) Berechnen Sie die Hamiltonfunktion. Wie unterscheiden sich kinetischer Impuls und kanonischer Impuls?
(b) Bestimmen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Zeigen Sie, daß das Ergebnis
äquivalent zu den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ist.
Aufgabe 30 : Legendre-Transformation
Bestimmen Sie die Legendre-Transformierte
(leicht)
(a) g(u) der Funktion f (x) = αx2 ,
(b) g(x, v) der Funktion f (x, y) = αx2 y 3 .
Testfragen
Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben.
Sie sollten sie ohne längeres Nachdenken oder Nachschlagen in ein paar Minuten beantworten
können.
(a) Erläutern Sie, wie man von der Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion gelangt.
(b) Führen Sie den Übergang von Lagrange- zu Hamilton-Funktion für den eindimesionalen
harmonischen Oszillator durch.
(c) Geben Sie auch die Hamilton-Gleichungen für den harmonischen Oszillator an.
Hausaufgaben
Hausaufgabe 34 : Nutation des schweren Kreisels
Wir wollen die Nutationsbewegung des schweren Kreisels mit Hilfe eines effektiven Potentials
beschreiben.
Die Lagrange-Funktion des schweren Kreisels ist durch
1
1
L(θ, φ̇, ψ̇, θ̇) = I(θ̇ 2 + φ̇2 sin2 θ) + I3 (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 − gM s cos θ
2
2
gegeben (siehe Vorlesung und Aufgabe 28).
(a) (**) Finden Sie die Erhaltungsgrößen, die aus der Existenz zyklischer Variablen folgen.
Drücken Sie die zeitliche Änderung der Eulerwinkel φ und ψ durch diese Größen und den
Winkel θ aus.
(b) (**) Nutzen Sie Energieerhaltung, um ein “effektives Potential” für die Variable u ≡ cos θ zu
finden.
(c) (**) Diskutieren Sie damit kurz qualitativ die Nutation des schweren Kreisels. Wann gibt es
eine nutationsfreie Bewegung des Kreisels?
Hausaufgabe 35 : Perle auf rotierendem Stab
z
An einer vertikalen Achse, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, ist unter dem Winkel α ein gerader Stab befestigt. Eine Perle der Masse m kann auf diesem
Stab reibungsfrei gleiten (siehe Skizze).
ω
α
r
y
x
(a) (*) Stellen Sie die Lagrangefunktion der Perle im homogenen Schwerefeld auf.
(b) (**) Finden Sie die Hamilton-Funktion H(r, pr ) und stellen Sie die Hamilton-Geichungen
auf. Gibt die Hamilton-Funktion auch die Energie der Perle an?
(c) (**) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und zeigen Sie explizit, dass die HamiltonFunktion für diese Lösungen erhalten ist.
Hausaufgabe 36 : Relativistisches Keplerproblem
Das relativistische Keplerproblem beschreibt ein relativistisches Teilchen in einem Potenzial der
Form −k/r und wird durch die Hamiltonfunktion
s
p
p2θ
k
2
2
2
2
4
pr + 2 c2 + m2 c4 −
H(~r, p~) = c p~ + m c − k/r =
r
r
beschrieben, wobei im letzten Schritt ebene Polarkoordinaten in der Ebene senkrecht zum erhaltenen Drehimpuls benutzt wurden.
(a) (**) Stellen Sie die Hamilton-Gleichungen für dieses Problem auf.
(b) (**) Nutzen Sie die Hamiltongleichungen und Energieerhaltung, um einen Integralausdruck
für die Bahnkurve θ(r) zu finden. Zeigen Sie dazu zuerst, dass
pr =
pθ dr
.
r 2 dθ
(c) (**) Substituieren Sie 1/r, um die Bahnkurve zu finden. Zeigen Sie, dass Sie eine ellipsenähnliche Bahn erhalten. Diskutieren Sie den nicht-relativistischen Grenzfall und zeigen Sie, dass
die Periheldrehung in diesem Fall verschwindet.
Anmerkung: Arnold Sommerfeld konnte 1916 mit diesem Modell für das relativistische klassische
Wasserstoffatom das Feinstrukturspektrum im Rahmen der “alten Quantenmechanik” oder BohrSommerfeld Theorie beschreiben.