¨Ubungsblatt P4 zur fortgeschrittenen Mechanik für Bachelor Energy

Übungsblatt P4
zur fortgeschrittenen Mechanik für Bachelor Energy Science
Prof. K. Hornberger, Dr. M. Gruner
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Freitag 10.5.2012 10:00 Uhr im Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Bitte geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab!
Aufgabe P11 — Eichtransformation
(4 Punkte)
Beweisen Sie, dass sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen nicht ändern, wenn die Lagrangefunktion L0 (q, q̇, t) nach folgender Vorschrift transformiert wird:
L0 (q, q̇, t) 7→ L(q, q̇, t) = c L0 (q, q̇, t) +
d
f (q, t) + g(t) ,
dt
wobei c eine Konstante ist.
Hinweis: Diese Eichtransformation hilft Ihnen in der folgenden Aufgabe, die Lagrangefunktion zu
vereinfachen.
Aufgabe P12 — Bewegung in beschleunigten Bezugssystemen
(8 Punkte)
In vielen Fällen kann die potentielle Energie besonders einfach aufgeschrieben werden, wenn als
Bezugssystem für die Koordinaten q das Laborsystem gewählt wird. Das Laborsystem ist jedoch in
vielen Fällen kein Inertialsystem (z. B. bei mechanischen Experimenten auf der Erde, bei denen die
Erddrehung eine Rolle spielt). Die Lagrangefunktion kann für diesen Fall verallgemeinert werden.
Dazu muss die kinetische Energie aus dem Inertialsystem (Koordinaten r) ins Laborsystem (Koordinaten q) transformiert werden. Formulieren Sie die Lagrangefunktion L(q, q̇, t) für ein Teilchen mit
Masse m für folgende beschleunigte Bewegungen des Laborsystems (vgl. Kapitel 2.3 der Vorlesung):
(a) Ungleichförmig beschleunigte Translation s(t) des Ursprungs: r(t) = q(t) + s(t).
(b) Gleichförmige Rotation des Bezugssystems um den Ursprung (ohne Translation) mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Hier gilt bekanntlich für die Geschwindigkeiten:
ṙ = q̇(t) + ω × q(t).
Zeigen Sie, dass Sie daraus die bekannten Bewegungsgleichungen für einen Massenpunkt mit Scheinkräften erhalten:
m q̈ = −∇ U (q) − m s̈(t)
für (a) und
m q̈ = −∇ U (q) + 2 m (q̇ × ω) + m ω × (ω × q)
für (b).
Aufgabe P13 — Ablenkung durch Erdrotation
(8 Punkte)
Leiten Sie aus obigem Ergebnis eine DGL her, die die Ablenkung eines in Erdnähe fallenden Körpers
durch die Erdrotation beschreibt. Sie können die Zentrifugalkraft hierbei vernachlässigen und erhalten:
q̈ = 2 q̇ × Ω − g ez .
Die Erdrotation an einem Ort mit der geografischen Breite Θ kann durch den Vektor
Ω = ω (cos(Θ) ey + sin(Θ) ez )
beschrieben werden (mit Winkelgeschwindigkeit ω).
(a) Leiten Sie die gekoppelten Differentialgleichungen für die Komponenten q̈x , q̈y , q̈z her.
(b) Berechnen Sie die Ablenkung qx als Funktion der Fallzeit t.
Hinweis: Leiten Sie die DGL für q̈x nach der Zeit ab und eliminieren Sie dann die übrigen Variablen. Machen Sie einen geeigneten Lösungsansatz und integrieren Sie das Ergebnis auf. Wählen
Sie als Anfangsbedingung q̈x (t = 0) = q̇x (t = 0) = qx (t = 0) = 0.
(c) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Körpers in vertikaler Richtung, q̈z . Erklären Sie, warum
Sie die Differenz zur Fallbeschleunigung g auf unserem Planeten in der Regel vernachlässigen
können.
(d) Ein Gegenstand fällt vom Duisburger Stadtwerketurm (Höhe ca. 200 m). Wie groß ist die Ablenkung vom senkrechten Fall beim Aufschlag? In welche Himmelsrichtung wird der Körper
abgelenkt?
Aufgabe P14 — Geschwindigkeitsabhängige Potentiale
(4 Punkte)
Generell kann ein Potential U nicht nur von den generalisierten Koordinaten qi und der Zeit t, sondern
auch von der verallgemeinerten Geschwindigkeit q̇i abhängen.
(a) Leiten Sie aus der Lagrangegleichung anhand der Definition der verallgemeinerten Kraft Q die
Bedingung ab, unter denen geschwindigkeitsabhängige Potentiale möglich sind.
(b) Eine bekannte Kraft, die ein entsprechendes Potential U (r, ṙ, t) besitzt, ist die Lorentzkraft
F (r, ṙ) = e (E(r) + ṙ × B(r))
.
Diese Kraft stellt kein Feld dar (warum?) und ist daher im strengen Sinne nicht konservativ (vgl.
Kapitel 4.1 der Vorlesung). Zeigen Sie, dass man dennoch eine analoge Aussage über die Arbeit
treffen kann, die die Lorentzkraft bei der Bewegung entlang einer Trajektorie r(t) verrichtet.