Blatt 10
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Übungen zur Theoretischen Physik I für Lehramt WiSe 15/16 Prof. Dr. V. Braun Blatt 10 — Ausgabe: 15.12.2015 — Abgabe: 21.12./23.12.2015/8.01.2016 Aufgabe 35: Massepunkt an masseloser Feder An einer masselosen Feder der Ruhelänge l0 hängt eine Punktmasse m. Die Feder sei an dem anderen Ende im Gravitationsfeld aufgehängt, siehe Abbildung. Die Bewegung finde ausschließlich in der (x, z)-Ebene statt. g r a) Schreiben Sie die Lagrangefunktion auf 0 b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf. Benutzen Sie θ und λ = r−r r0 , wobei r0 die Ruhelänge der Feder sei, als verallgemeinerte Koordinaten. Benutzen Sie k und ωp2 = rg0 . ωs2 = m c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für kleines λ und θ mit den Anfangsbedingungen θ = 0, λ̇ = 0, λ = A, θ̇ = ωp B für t = 0. A und B seien Konstanten. Aufgabe 36: Gekoppelte Pendel Zwei identische mathematische Pendel der Längen l1 = l2 = L und Massen m1 = m2 = M sind durch eine Feder der Federkonstante k aneinandergekoppelt. Die Feder übt für θ1 = θ2 keine Kraft auf die Pendel aus, d.h. sie ist dann in ihrer Ruheposition. a) Stellen Sie für dieses System die Bewegungsgleichungen für kleine θi auf. b) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren dieses linearisierten Systems. Diskutieren Sie die Bewegungen, welche den beiden Eigenmoden entsprechen. c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für die Anfangsbedingungen θ̇1 (0) = ν, θ̇2 (0) = θ1 (0) = θ2 (0) = 0. Aufgabe 37: Invers kubische Kraft Ein Teilchen bewege sich in einem Kraftfeld, dass invers mit der dritten Potenz des Abstandes vom Kraftzentrum variiert: k~r F~ = − 4 r (1) a) Wie sieht das zugehörige Potential aus? b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen her und lösen Sie diese für die Umlaufbahnen r = r(φ). Es kann hilfreich sein, die Variable u = 1r zu verwenden. c) Diskutieren Sie, wie die Umlaufbahnen von den Parametern des Systems abhängen. Aufgabe 38: Kraftstoß auf harmonischen Oszillator Betrachten Sie einen harmonischen OsF zillator (ohne Reibung), auf den die 0 zeitabhängige Kraft F (t) wirke. Die Bewegungsgleichung laute demnach: ẍ + ω02 x = F (t) T a) Partikuläre Lösung Verifizieren Sie, daß 1 x(t) = ω0 Z t dsF (s) sin[ω0 (t − s)] 0 eine partikuläre Lösung ist. b) Kraftstoß Zur Zeit t = 0 ruhe der Oszillator in seiner Gleichgewichtslage. Er wird einem zeitabhängigen Kraftstoß ausgesetzt, der zwischen t = 0 und t = T quadratisch auf F0 ansteigt und dann abrupt abfällt. (siehe Abbildung.) Geben Sie die Amplitude des Oszillators für t > 0 an.
