technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004)
— Aufgabenblatt 3 (7. November 2003) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 14. Gruppenaxiome.
Sei (G, ◦) eine (kommutative) Gruppe mit dem neutralen Element e ∈ G. Das zu g ∈ G inverse Element werde mit
g −1 bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen gelten für alle Gruppen/alle kommutativen Gruppen?
∀g ∈ G ∃g 0 ∈ G : g ◦ g 0 = e
∀g, f, h, k ∈ G : (g ◦ f ) ◦ (h ◦ k) = g ◦ ((h ◦ f ) ◦ k)
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = e
∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = h
∀g ∈ G ∀f ∈ G : g ◦ f ◦ g −1 = f
Aufgabe 15. Untergruppen.
Bestimmen sie alle Untergruppen von (Z6 , ⊕6 ) und (S3 , ◦).
Aufgabe 16. Permutationen.
Die symmetrische Gruppe (Sn , ◦) ist gegeben als die Menge der Permutationen
Sn = {π : En → En | π ist bijektiv},
En = {1, . . . , n}, zusammen mit der Komposition ◦ als Verknüpfung. Für π ∈ Sn ist die Zahl der Fehlstände, F (π),
definiert als die Anzahl der Paare (i, j), i, j ∈ {1, . . . , n} mit i < j und π(i) > π(j). Für das Signum von π gilt
Sign(π) = (−1)F (π).
123456
123456
Gegeben sind π1 =
∈ S6 , und π2 =
∈ S6
416253
325146
1.) Wie viele Elemente besitzt S6 ?
2.) Bestimmen Sie Sign(π1 ), Sign(π2 ). Schreiben Sie π1 , π2 , die als Wertetabelle gegeben sind, in die Stellenschreibweise um.
3.) Berechnen Sie
π1 −1 ,
π2 −1 ,
π2 ◦ π1 ,
π2 27 = π2 ◦ · · · ◦ π2 ,
|
{z
}
27×
4.) Finden Sie die Lösungen x ∈ S6 der Gleichung π1 ◦ x ◦ π2 = π2 ◦ π1 .
π1 8 .
— Hausaufgaben —
Aufgabe 17. Der kleine Fermat.
Es sei (G, ◦) eine Gruppe mit nur endlich vielen Elementen und neutralem Element e ∈ G. Für alle x ∈ G definieren
wir die Menge
hxi := {e, x, x ◦ x = x2 , x ◦ x ◦ x = x3 , . . .}.
Die Anzahl der Elemente von hxi wird als die Ordnung von x bezeichnet.
1.) Bestimmen Sie die Ordnungen sämtlicher Elemente von (Z7 \{0}, 7 ).
2.) Zeigen Sie, daß für alle x ∈ G das Paar (hxi, ◦) eine Untergruppe von (G, ◦) ist.
3.) Die Anzahl der Untergruppenelemente teilt stets die Anzahl der Elemente der zugehörigen (Über-)Gruppe.
Verwenden Sie dies, um zu beweisen: Die Ordnung eines Gruppenelementes teilt immer die Anzahl der Gruppenelemente von G.
4.) Verwenden Sie c.), um den kleinen Satz von F ERMAT erneut (und anders als in der Vorlesung) zu beweisen:
Für alle x ∈ G gilt x|G| = e.
5.) Benutzen Sie den kleinen Satz von F ERMAT, um nachzuweisen, daß die Zahlen 91 und 341 keine Primzahlen
sind.
Aufgabe 18. Die Gruppe der Drehungen der euklidischen Ebene.
Drehungen der Ebene R2 := R × R um den Ursprung sind definiert durch Abbildungen
Dc,s : R2 −→ R2 ,
(x, y) 7−→ (cx − sy, sx + cy)
mit c, s ∈ R, c2 + s2 = 1.
Es sei G = {Dc,s | c, s ∈ R, c2 + s2 = 1} die Menge aller solcher Drehungen. Auf G ist die Verknüpfung ◦ als
Komposition zweier Abbildungen D, D0 ∈ G definiert: (D ◦ D0 )(x, y) = D(D0 (x, y)).
1.) In der Ebene R2 sei ein Dreieck durch die Eckpunkte (0, 0), (2, 0), (2, 1) gegeben. Dieses werde zunächst um
den Winkel π/2 gedreht und dann um den Winkel −3π/4, jeweils um den Ursprung (0, 0). Zeichnen Sie die
sich ergebenden Dreiecke. Bestimmen sie jeweils c, s, so dass Dc,s die Dreiecke ineinander überführt.
2.) Zeigen Sie, daß (G, ◦) eine kommutative Gruppe ist.
Aufgabe 19. Was wollen die von uns?
Lucky Luke ist offensichtlich in einer Geisterstadt gelandet. . .
Was Lucky Luke von dem alten Mann möchte, verschweigen wir an dieser Stelle. Wie hätte die (Gruppen-)Tafel
ausgesehen, wenn das Klassenzimmer nicht fluchtartig verlassen worden wäre?
Abgabe der Hausaufgaben:
am Freitag, 14. November 2003, nach der Vorlesung (im HS1)