Blatt 0 - Präsenzübung

Dr. E. Meir
Prof. C. Schweigert
Bereich Algebra und Zahlentheorie
FB Mathematik
Universität Hamburg
Algebra (Bachelor)
Wintersemester 2016/17
Blatt 0 - Präsenzübung
Aufgabe 1
Die folgende Definition wird Sie nicht überraschen:
Definition
(i) Eine Verknüpfung > auf einer Menge A ist eine Abbildung
>: A×A →
A
(a, b) 7→ a>b ,
die jedem geordneten Paar (a, b) von Elementen a, b der Menge A ein weiteres
Element (a>b) ∈ A zuordnet.
(ii) Eine Verknüpfung > heißt assoziativ, wenn a>(b>c) = (a>b)>c für alle
a, b, c ∈ A gilt.
(iii) Die Verknüpfung heißt kommutativ oder abelsch genau dann, wenn gilt a>b =
b>a für alle a, b ∈ A gilt.
Bearbeiten Sie nun die folgenden Aufgaben:
(a) Ein Element e einer Menge A mit Verknüpfung ◦ heißt linksneutral, falls für
alle a ∈ A gilt: e ◦ a = a. Analog heißt ein Element ẽ rechtsneutral, falls für
alle a ∈ A gilt: a ◦ ẽ = a.
Untersuchen Sie die folgenden Verknüpfungen auf der Menge Z>0 auf Assoziativität, Kommutativität und die Existenz linksneutraler und rechtsneutraler
Elemente.
(a) (n, m) 7→ nm
(b) (n, m) 7→ kgV(n, m)
(c) (n, m) 7→ ggT(n, m)
(d) (n, m) 7→ m + n + nm
Für Eigenschaften des kgV beachten Sie auch Aufgabe 3. F ür das ggT dürfen
Sie auch den Satz von Bézout verwenden: für m, n es gibt ganze Zahlen r, s,
so dass ggT(m, n) = rm + sn gilt.
(b) Geben Sie für eine zweielementige Menge {a, b} die Verknüpfungstafeln
◦/˜◦ a b
a
b
für eine kommutative aber nicht assoziative Verkn üpfung ◦ sowie für eine assoziative, aber nicht kommutative Verknüpfung ◦˜ an.
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Aufgabe 2
√
Betrachten Sie die Teilmenge E = {a + b 2 | a, b ∈ Q} der reellen Zahlen. Zeigen
Sie:
(a) E ist eine Gruppe bezüglich der Addition.
(b) E bildet mit dieser Addition und der Multiplikation mit einer rationalen Zahl
einen Q-Vektorraum. Können Sie auch eine Q-Basis angeben?
(c) E ∗ := E \ {0} ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation.
Aufgabe 3
Seien n, m ganze Zahlen. Wir bezeichnen mit kgV(n, m) das kleinste gemeinsame
Vielfache von n und m, also die kleinste positive ganze Zahl c ∈ Z, für die gilt n|c
und m|c. Ferner sei mZ = {m∙l | l ∈ Z} die Menge aller Vielfachen von l ∈ Z. Zeigen
Sie: nZ ∩ mZ = kgV(n, m)Z.
Hinweis:
Für Ihre Überlegungen werden Sie die Aussage brauchen, dass jede Untergruppe
der ganzen Zahlen Z von der Form lZ für ein l ∈ Z ist. Wenn Sie noch Zeit haben,
überlegen Sie sich, warum das gilt.
Die Aufgaben werden in den Übungsgruppen am Freitag, dem 21.10.2016, bzw.
am Montag, dem 24.10.2016, gemeinsam erarbeitet und besprochen.
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