Dr. E. Meir Prof. C. Schweigert Bereich Algebra und Zahlentheorie FB Mathematik Universität Hamburg Algebra (Bachelor) Wintersemester 2016/17 Blatt 0 - Präsenzübung Aufgabe 1 Die folgende Definition wird Sie nicht überraschen: Definition (i) Eine Verknüpfung > auf einer Menge A ist eine Abbildung >: A×A → A (a, b) 7→ a>b , die jedem geordneten Paar (a, b) von Elementen a, b der Menge A ein weiteres Element (a>b) ∈ A zuordnet. (ii) Eine Verknüpfung > heißt assoziativ, wenn a>(b>c) = (a>b)>c für alle a, b, c ∈ A gilt. (iii) Die Verknüpfung heißt kommutativ oder abelsch genau dann, wenn gilt a>b = b>a für alle a, b ∈ A gilt. Bearbeiten Sie nun die folgenden Aufgaben: (a) Ein Element e einer Menge A mit Verknüpfung ◦ heißt linksneutral, falls für alle a ∈ A gilt: e ◦ a = a. Analog heißt ein Element ẽ rechtsneutral, falls für alle a ∈ A gilt: a ◦ ẽ = a. Untersuchen Sie die folgenden Verknüpfungen auf der Menge Z>0 auf Assoziativität, Kommutativität und die Existenz linksneutraler und rechtsneutraler Elemente. (a) (n, m) 7→ nm (b) (n, m) 7→ kgV(n, m) (c) (n, m) 7→ ggT(n, m) (d) (n, m) 7→ m + n + nm Für Eigenschaften des kgV beachten Sie auch Aufgabe 3. F ür das ggT dürfen Sie auch den Satz von Bézout verwenden: für m, n es gibt ganze Zahlen r, s, so dass ggT(m, n) = rm + sn gilt. (b) Geben Sie für eine zweielementige Menge {a, b} die Verknüpfungstafeln ◦/˜◦ a b a b für eine kommutative aber nicht assoziative Verkn üpfung ◦ sowie für eine assoziative, aber nicht kommutative Verknüpfung ◦˜ an. 1 Aufgabe 2 √ Betrachten Sie die Teilmenge E = {a + b 2 | a, b ∈ Q} der reellen Zahlen. Zeigen Sie: (a) E ist eine Gruppe bezüglich der Addition. (b) E bildet mit dieser Addition und der Multiplikation mit einer rationalen Zahl einen Q-Vektorraum. Können Sie auch eine Q-Basis angeben? (c) E ∗ := E \ {0} ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation. Aufgabe 3 Seien n, m ganze Zahlen. Wir bezeichnen mit kgV(n, m) das kleinste gemeinsame Vielfache von n und m, also die kleinste positive ganze Zahl c ∈ Z, für die gilt n|c und m|c. Ferner sei mZ = {m∙l | l ∈ Z} die Menge aller Vielfachen von l ∈ Z. Zeigen Sie: nZ ∩ mZ = kgV(n, m)Z. Hinweis: Für Ihre Überlegungen werden Sie die Aussage brauchen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen Z von der Form lZ für ein l ∈ Z ist. Wenn Sie noch Zeit haben, überlegen Sie sich, warum das gilt. Die Aufgaben werden in den Übungsgruppen am Freitag, dem 21.10.2016, bzw. am Montag, dem 24.10.2016, gemeinsam erarbeitet und besprochen. 2