1.¨Ubungsblatt zur Algebra Anne Henke, Sam Thelin, SS 2017 1

1.Übungsblatt zur Algebra
Anne Henke, Sam Thelin, SS 2017
1. (Zum Selbststudium.) Im folgenden haben alle Matrizen Einträge in den reellen Zahlen.
Welche der folgenden Mengen sind Gruppen, welche davon sind abelsch:
(a) die Menge N0 mit der Verknüpfung m ∗ n = max{m, n}?
(b) die Menge Z mit der Verknüpfung m ∗ n = m + n + 1?
(
)
a b
(c) die Menge M aller 2 × 2-Matrizen der Form
mit ac ̸= b2 mit Matrixmultipb c
likation?
(
)
a b
(d) die Menge B2 (R) aller 2 × 2-Matrizen der Form
mit ac ̸= 0 mit Matrixmulti0 c
plikation?
(e) die Menge {1, 3, 5} mit Multiplikation modulo 14?
(f) die Menge {1, 7, 13} mit Multiplikation modulo 14?
2. (Zum Selbststudium.)
Sei n eine natürliche Zahl. Eine Matrix A ∈ Mn (R) heisst orthogonal falls AAT = In = AT A.
Sei A orthogonal. Zeigen Sie, dass det A = ±1. Ist jede Matrix A ∈ Mn (R) mit det A = ±1
orthogonal? Sei On (R) die Menge aller orthogonalen Matrizen in Mn (R). Zeigen Sie On (R)
ist eine Gruppe.
3. (Zum Selbststudium.) Seien G1 und G2 Gruppen. Auf dem kartesischen Produkt G :=
G1 × G2 definieren wir eine Verknüpfung ∗ durch
(g1 , g2 ) ∗ (h1 , h2 ) := (g1 h1 , g2 h2 )
mit gi , hi ∈ Gi für i = 1, 2. (Hierbei wird natürlich jeweils das Produkt gi hi mit der
Verknüpfung in Gi gebildet.) Zeigen Sie, dass G mit dieser Verknüpfung eine Gruppe ist.
Zeigen Sie, dass G genau dann abelsch ist, wenn alle Gi abelsch sind. Wieviele Elemente hat
die Gruppe G?
4. (Schriftlich, 9 Punkte.) Sei G eine multiplikative Gruppe.
(a) Seien a, x, y ∈ G. Beweisen Sie mit Hilfe der Gruppenaxiome:
i. (xy)−1 = y −1 x−1 ;
ii. Falls ax = ay ist, dann gilt x = y;
Gilt xa = ay impliziert x = y? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b)
i. Es gelte g 2 = 1 für alle g ∈ G. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
ii. Sei |G| gerade. Zeigen Sie, dass es ein Element 1 ̸= g ∈ G gibt mit g 2 = 1.
5. (Zum Selbststudium.) Sei x ∈ G und n, m ∈ Z. Wir definieren:

xxx
n > 0;

| {z· · · x}



 n mal
e
n = 0;
xn =

−1 −1
−1

x x {z· · · x } n < 0.


 |
−n mal
Beweisen Sie mit Hilfe der Gruppenaxiome:
(a) (xn )−1 = x−n ;
(b) xm xn = xm+n ;
(c) (xm )n = xmn .
6. (Zum Selbststudium.) Sei Q8 eine Menge mit acht Elementen, die mit ±e, ±i, ±j und
±k bezeichnet werden. Man kann auf Q8 eine Verknüpfung definieren (dies müssen Sie nicht
zeigen), so dass Q8 eine Gruppe ist (genannt Quaternionengruppe) und folgende Regeln gelten:
• e ist das Einselement;
• es gelte i2 = j 2 = k 2 = i · j · k = −e;
• es gelten die üblichen Vorzeichenregeln, also z.B. −(−i) = i oder j · (−i) = −j · i.
Bestimmen Sie zu jedem Element das zugehörige Inverse. Was ist i · j, was ist (i · j)−1 ?
Bestimmen Sie, unter Benutzung obiger Regeln, die Multiplikationstabelle von Q8 .
7. (Zum Selbststudium.)
(a) Bestimmen Sie die Multiplikationstafel der symmetrischen Gruppe S3 .
(b) Seien a, b, n, r natürliche Zahlen mit 1 ≤ a ̸= b, r ≤ n. Berechnen Sie die folgenden
Produkte in Sn :
i. (1 a)(1 b)(1 a);
ii. (a1 ar ) · · · (a1 a3 )(a1 a2 );
iii. (1 2 . . . n)k−1 (1 2)(1 2 . . . n)1−k für 2 ≤ k < n.
(c) Seien n, r natürliche Zahlen mit 1 ≤ r ≤ n. Seien {a1 , . . . , ar } ⊆ {1, . . . , n} eine Teilmenge von r paarweise verschiedenen Zahlen. Sei π ∈ Sn . Zeigen Sie, dass gilt:
π(a1 . . . ar )π −1 = (π(a1 ) . . . π(ar )).
Die Abgabe der schriftlichen Aufgaben des ersten Übungsblattes erfolgt am Dienstag
18.4 um 11:25 in V 57.06, also vor Beginn der Vorlesung. Zu diesem Übungsblatt findet
aufgrund des Ostermontags keine Übungsgruppe statt. Lösungshinweise erhalten Sie
auf der Webseite der Vorlesung Algebra. Die erste Übungsgruppe findet in der dritten
Woche statt. Dort wird hauptsächlich Aufgabenblatt 2 behandelt.