1 Zahlen - Universität Koblenz · Landau

1 Zahlen
Teil A.1: Umgang mit mathematischen Objekten
1 Zahlen
Frage 1.1.
Welche Arten von Zahlen bzw. welche Zahlmengen kennen Sie?
ˆ Natürliche Zahlen:
1, 2, 3, . . .
N
=
{1, 2, 3, . . .}
N0
=
{0, 1, 2, 3, . . .} = N ∪ {0}
ˆ Ganze Zahlen:
(Menge der natürlichen Zahlen)
(Menge der natürlichen Zahlen und der 0)
. . . , −3, −2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .
Z = {. . . , −3, −2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .} = N0 ∪ {−n; n ∈ N}
ˆ Rationale Zahlen:
a
b
(Menge der ganzen Zahlen)
mit a, b ∈ Z und b =/ 0
a
Q = { ; a, b ∈ Z, b =/ 0}
b
(Menge der rationalen Zahlen)
ˆ Reelle Zahlen, Irrationale Zahlen:
R
R∖Q
(Menge der reellen Zahlen)
(Menge der irrationalen Zahlen)
Frage 1.2.
Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Zahlmengen?
Es gilt:
N⊂Z⊂Q⊂R
und
R∖Q⊂R
ˆ Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
ˆ Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
ˆ Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
ˆ Jede irrationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
Hinweis: Zu den Symbolen {. . .}, ∪, ∈, ⊂ folgen später weitere Erläuterungen.
Aufgabe 1.3.
(a) Nennen Sie einige:
● natürliche Zahlen.
● ganze Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind.
● rationale Zahlen, die keine ganzan Zahlen sind.
● reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind.
(b) Nennen Sie eine Eigenschaft
● die jede der Zahlmengen N, Z, Q, R hat.
● die Z hat, aber nicht N.
● die Q hat, aber nicht Z.
● die R hat, aber nicht Q.
● die N hat, aber nicht R.
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2 Verknüpfungen von Zahlen
Frage 2.1.
Was ist eine Verknüpfung (von Zahlen)?
Eine Verknüpfung kann wie folgt erklärt werden:
ˆ Der Verknüpfung wird ein Symbol ∗ zugeordnet. Hinweis: (∗ ist hier nur als Platzhalter zu
verstehen, in den meisten Fällen wird hier ein allgemein bekanntes Symbol stehen.)
ˆ Zwei Zahlen x, y sollen verknüpft werden, das Ergebnis soll wieder eine Zahl sein. Hinweis:
(x, y sind hier ebenfalls Platzhalter für Zahlen, mehr dazu später (Variablen).)
ˆ Es wird festgelegt aus welchen Zahlmengen, die Zahlen x, y kommen dürfen (eventuell sind
Einschränkungen nötig) und in welcher Zahlmenge dann das Ergebnis liegen kann.
ˆ Falls notwendig wird genau erklärt (festgelegt, definiert), wie man ausgehend von x, y auf das
Ergebnis der Verknüpfung kommt. Dabei wird das Ergebnis der Verknüpfung mit x ∗ y notiert.
Frage 2.2.
Welche Verknüpfungen von Zahlen kennen Sie? (Geben Sie auch an, aus welcher
Zahlenmenge die zu verknüpfenden Zahlen kommen dürfen und in welcher Zahlmenge dann das Ergebnis liegen kann.)
Symbol
erlaubte Zahlen
Ergebnis
+
x ∈ N, y ∈ N
x+y ∈N
+
x ∈ Z, y ∈ Z
x+y ∈Z
+
x ∈ Q, y ∈ Q
x+y ∈Q
+
x ∈ R, y ∈ R
x+y ∈R
−
x ∈ Z, y ∈ Z
x−y ∈Z
−
x ∈ Q, y ∈ Q
x−y ∈Q
−
x ∈ R, y ∈ R
x−y ∈R
⋅
x ∈ N, y ∈ N
x⋅y ∈N
⋅
x ∈ Z, y ∈ Z
x⋅y ∈Z
⋅
x ∈ Q, y ∈ Q
x⋅y ∈Q
⋅
x ∈ R, y ∈ R
x⋅y ∈R
∶
x ∈ Z, y ∈ Z ∖ {0}
x∶y∈Q
∶
x ∈ Q, y ∈ Q ∖ {0}
x∶y∈Q
∶
x ∈ R, y ∈ R ∖ {0}
x∶y∈R
(hoch)
x ∈ N, y ∈ N
(x hoch y) = xy ∈ N
(hoch)
x ∈ R ∖ {0}, y ∈ Z
(x hoch y) = xy ∈ R ∖ {0}
Oftmals (aber nicht immer) liegen x, y und auch x ∗ y in derselben Grundmenge.
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2 Verknüpfungen von Zahlen
Frage 2.3.
Gibt es auch Verknüpfungen anderer Objekte (als Zahlen)? Nennen Sie Beispiele.
Ja, beispielsweise:
ˆ ∩ und ∪ zwischen Mengen (Für zwei Mengen A, B sind A ∩ B und A ∪ B ebenfalls Mengen.)
ˆ + zwischen Vektoren (Für zwei Vektoren u, v ∈ Rn ist u + v ∈ Rn ebenfalls ein Vektor.)
ˆ das Skalarprodukt von Vektoren ( Für zwei Vektoren u, v ist u ⋅ v eine Zahl (kein Vektor).)
ˆ ∧ und ∨ zwischen Aussagen (Für zwei Aussagen a, b sind a ∧ b und a ∨ b ebenfalls Aussagen.)
Frage 2.4.
Kann man Verknüpfungen miteinander kombinieren?
Ja. Man muss dabei Klammern setzen (oder geltende Konventionen beachten). Beispiele:
ˆ (3 + 5) ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16
,
3 + 5 ⋅ 2 = 3 + (5 ⋅ 2) = 3 + 10 = 13
ˆ 4 ∶ 2 ⋅ 8 + 5 = ((4 ∶ 2) ⋅ 8) + 5 = (2 ⋅ 8) + 5 = 16 + 5 = 21
ˆ 2 + 7 + 5 = (2 + 7) + 5 = 9 + 5 = 14
bzw.
2 + 7 + 5 = 2 + (7 + 5) = 14
Hinweis: Hierbei ist nur deshalb keine Klammer notwendig, weil bei beiden möglichen Klammerungen dasselbe Ergebnis herauskommt, dies ist wegen des Assoziativgesetzes so.
2
ˆ 43 = 4(3
4
2
)
= 49 = 262144
,
(43 )2 = 642 = 4096