English - Universität Koblenz · Landau

4 Aussagen
Frage 4.3.
Kennen Sie Verknüpfungen zwischen Aussagen? Erklären Sie sie gegebenenfalls.
ˆ ∧ (sprich: “und“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ∧ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ∧ b ist wahr,
a und b beide wahr sind
falls
ˆ ∨ (sprich: “oder“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ∨ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ∨ b ist wahr,
falls
(mindestens) eine der beiden Aussagen a und b wahr ist
ˆ / (sprich: “entweder oder“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen
a und b ist a / b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a / b ist wahr,
falls
genau eine der beiden Aussagen a und b wahr ist
ˆ ⇒ (sprich: “folgt“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ⇒ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ⇒ b ist wahr,
falls
a falsch ist oder b wahr ist (oder beides)
ˆ ⇔ (sprich: “äquivalent“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a
und b ist a ⇔ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ⇔ b ist wahr,
falls
a und b beide falsch oder beide wahr sind
Hinweis: Wir werden später sehen, warum die letzten beiden Punkte sinnvoll sind.
ˆ ¬ (sprich: “nicht“) ist ebenfalls von Bedeutung: Zu einer Aussage a ist ¬a wiederum eine
Aussage. Dabei gilt:
¬a ist wahr,
falls
a falsch ist
Aufgabe 4.4.
Angenommen A und B sind (irgendwelche) Aussagen: Untersuchen Sie in welchen
Fällen, die Aussagen
(¬A) ∧ (¬B)
bzw.
¬(A ∨ B)
wahr sind. (Gehen Sie dazu alle Kombinationsmöglichkeiten für die Wahrheitswerte
von A und B durch.)
Was stellen sie fest? (Formulieren Sie eine entsprechende allgemeingültige Regel.)
10
Frage 4.5.
Was ist eine Variable?
Eine Variable bezeichnet in der Mathematik einen Platzhalter für eine Rechengröße, beispielsweise
eine Zahl. (Wikipedia)
Dabei benutzt man ein bestimmtes Symbol (z.B. einen Buchstaben) und stellt (genau) klar, wofür
dieses Symbol stehen kann (steht z.B. x für eine Zahl, so muss dabei auch festgelegt werden, in
welcher Zahlmenge x liegen darf ). Variablen können auch für andere Objekte stehen (z.B. Mengen, Vektoren, Funktionen, Relationen, Verknüpfungen, Aussagen, . . .). Hinweis: Die Benutzung
von Variablen hat eine enorme Bedeutung in der Mathematik, denn sie erlaubt es übergeordnete
Sachverhalte zu formulieren.
Frage 4.6.
Kann man Variablen mit Verknüpfungen, Zahlen und Relationen kombinieren, um
damit Aussagen zu erstellen?
Nein, beispielsweise sind (x, y sind hierbei Variablen, die für reelle Zahl stehen)
x<4
,
x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1)
,
x2 + y 2 = −7
,
(x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2
keine Aussagen, denn der Wahrheitswert kann davon abhängen, für welche Zahlen x und y stehen.
Frage 4.7.
Was erhält man stattdessen?
Eine Aussageform: Dies bezeichnet einen Ausdruck mit (mindestens) einer Variablen, der in eine
Aussage übergehen kann. (Wikipedia)
Frage 4.8.
Wie kann eine Aussageform in eine Aussage übergehen?
ˆ Durch Einsetzen (Ersetzen der Variablen durch eine bestimmte Zahl):
-) Die Aussageform x < 4 wird beispielsweise zu einer wahren Aussage, wenn man x durch
die Zahl −3 ersetzt und zu einer falschen Aussage, wenn man x durch die Zahl
199
12
ersetzt.
-) Die Aussageform x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1) wird beispielsweise zu einer falschen Aussage, wenn
man x durch die Zahl −5 und y durch die Zahl 1 ersetzt.
-) Die Aussageform x2 + y 2 = −7 wird immer zu einer falschen Aussage, wenn man x und
y durch irgendwelche reellen Zahlen ersetzt.
-) Die Aussageform (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2 wird immer zu einer wahren Aussage, wenn
man x und y durch irgendwelche reellen Zahlen ersetzt.
Hinweis: Bei einer Aussageform, bei der man durch Ersetzen der Variablen immer eine
wahre (bzw. immer eine falsche) Aussage erhalten würde, handelt es sich dennoch nicht um
eine Aussage.
ˆ Durch die Verwendung von Quantoren: Es gibt zwei Quantoren, die häufig verwendet werden:
∀ ∶ “für alle“
und
∃ ∶ “es existiert (es gibt)“
11
4 Aussagen
Aufgabe 4.9.
Nennen Sie Beispiele von wahren und falschen Aussagen, in denen Quantoren vorkommen.
ˆ Wahre Aussagen:
-) ∀x, y ∈ R ∶ (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2
-) ∀x ∈ R ∖ {0} ∶ x2 > 0
-) ∃x ∈ R ∶ x < 4
-) ∃x, y ∈ R ∶ x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1)
-) ∀a ∈ Q ∃b ∈ Q ∶ a + 1 = 2b
ˆ Falsche Aussagen:
-) ∀x ∈ R ∶ x < 4
-) ∀x ∈ R ∶ x2 > 0
-) ∃x, y ∈ R ∶ (x + y) ⋅ (x − y) =/ x2 − y 2
-) ∃b ∈ Q ∀a ∈ Q ∶ a + 1 = 2b
Aufgabe 4.10.
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bilden Sie zu den Aussagen in den
doppelt umrahmten Blöcken jeweils auch die Gegenaussage.
3 ≤ 4 + 2 ∧ 2 − 1 =/ 5 ∶ 5
2
1 = 4 + 3 ∨ 12 = 164
2
2
2
2
2
2
3 +4 =5
3 +4 =5
4≥
4≥
9
2
9
2
(4 ≤ 4 ∨ 4 ∣ 7) ∧ 7 ∣ 4
3 < 5 ⇒ 2 ∣ 18
2
2
¬ (5 ⋅ 3 = 15) ∧ 22 − 5 > 17
4≥
2
2
2
¬ (5 ⋅ 3 = 15 ∧ 22 − 5 > 17)
4≥
/ 6 + 8 = 10
3 < 5 ⇔ 2 ∣ 18
⇔ 4 =/ 6
⇔ 2 ∣ 18
3 < 5 ⇒ 4 =/ 6
2
∨ 6 + 8 = 10
3 < 5 ⇔ 4 =/ 6
4 ≤ 4 ∨ (4 ∣ 7 ∧ 7 ∣ 4)
⇒ 4 =/ 6
⇒ 2 ∣ 18
∃x, y ∈ Z ∶ x − y = y − x
∀x, y ∈ Q ∃z ∈ Q ∶ x = z ⋅ y
∀x, y ∈ Z ∶ x − y = y − x
∀x ∈ Z ∶ (x > 5 ⇒ x > 3)
∀x, y ∈ Z ∶ x ⋅ y = y ⋅ x
∀x ∈ Z ∶ (x > 3 ⇒ x > 5)
∀x ∈ R ∃y ∈ R ∶ y > x
∀x ∈ R ∶ (x + 8 = 17 ⇔ x = 9)
∃x ∈ R ∀y ∈ R ∶ y > x
∀x ∈ R ∶ (x2 = 9 ⇔ x = 3)
∃x ∈ R ∶ (x = 0 ⇔ x = 1)
(∃x ∈ Z ∶ x2 = 16) ∧ (∃x ∈ Z ∶ 8x − 2 = −42)
∃x ∈ Z ∶ (x2 = 16 ∧ 8x − 2 = 38)
∀x ∈ R ∶ (x < 7 ∨ x ≥ −2)
(∀x ∈ R ∶ x < 7) ∨ (∀x ∈ R ∶ x ≥ −2)
12
9
2
9
2
Aufgabe 4.11.
Formulieren Sie die folgenden (wahren) Aussagen präzise:
(i) In R gilt das Distributivgesetz.
(ii) Auf Q gibt es eine Division (mit der Ausnahme, dass nicht durch 0 dividiert
werden darf ).
(iii) Die Multiplikation in N hat ein Neutrales Element.
(iv) Jede ganze Zahl hat eine Gegenzahl (die ebenfalls eine ganze Zahl ist).
(v) Q ist dicht.
(vi) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
(vii) N ist nach unten beschränkt.
(viii) Es gibt eine kleinste natürliche Zahl.
(ix) Z ist nicht nach unten beschränkt.
(x) Die Teilbarkeitsrelation (auf N) ist reflexiv und transitiv.
(xi) Je zwei natürliche Zahlen haben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
13