Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. Jens Struckmeier
Dr. Hanna Peywand Kiani
WiSe 2005/06
Analysis I
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 1
Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln die Gültigkeit folgender Äquivalenzen:
(i)
((A ∨ B) ∧ ¬(B ∨ C)) ⇐⇒ (A ∧ ¬B ∧ ¬C)
(ii)
((A ∧ (B ∨ C)) ⇐⇒ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
b) Das folgende Schaltbild mehrpoliger Schalter p, q, r und s kann durch die logischen
Verknüpfungen
(p̄ ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p̄ ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (q ∧ r ∧ s̄) ∨ s
−−
p
q
−−
p
p
r
s
r
q
q
r
s
r
−−
s
s
−−
s = nicht s
dargestellt werden. Hierbei entspricht eine Parallelschaltung von Schaltern (z. B. von
q und r) einer Oder–Verknüpfung von Aussagen (z. B. q ∨ r ). Eine Serienschaltung
entspricht einer Und–Verknüpfung und p̄ entspricht der Negation von p .
Analysis I, J. Struckmeier/P. Kiani, WiSe 2005/2006, Blatt 1
2
Vereinfachen Sie den oben angegebenen logischen Ausdruck und zeichnen Sie das dazugehörige einfachere Schaltbild.
Aufgabe 2:
a) Seien x0 ∈ R und die Funktion f : R −→ R gegeben. Verneinen Sie die Aussage
∀ ε > 0 ∃ δ > 0, so dass für alle x ∈ R mit |x − x0 | < δ stets
|f (x) − f (x0 )| < ε gilt .
b) Beweisen Sie folgende Aussagen indirekt oder widerlegen Sie die Aussagen mit Hilfe
eines Gegenbeispiels.
(i) log10 2 ∈
/ Q.
(Hinweis: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung)
(ii) (a ∈ Q) ∧ (b ∈ R \ Q) =⇒ a − b ∈ R \ Q.
(iii) (b ∈ R \ Q) ∧ (c ∈ R \ Q) =⇒ b + c ∈ R \ Q.
Aufgabe 3:
Für alle reellen Zahlen x, y und z gilt bekanntlich
(x < y) ⇐⇒ x + z < y + z
und
|x| + |y| ≥ |x + y| .
Seien nun a, b, c, d beliebige Zahlen aus R \ {0} . Prüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre
Richtigkeit.
a) a > b, c > d
⇐⇒
ac > bd,
b) a > b, c > d
=⇒ a − d > b − c ,
1
1
c) a < b ⇐⇒
>
a
b
d) |a| − |b| ≤ |a − b| ·
Aufgabe 4:
Skizzieren Sie die folgenden Mengen.
M1 = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 1)2 < 4},
M2 = {(x, y) ∈ R2 | (|x| + |y| < 2) ∧ (y > −1)},
M3 = {(x, y) ∈ R2 | max{|x|, |y|} < 2},
M4 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + (y − 1)2 < 9 ∧ (y > |x|)},
M5 = [0, 1] × [0, 2] × [−1, 0] ⊂ R3 .
Abgabetermine: 14.11-17.11.2005 (zu Beginn der jeweiligen Übung)