LINEARE ALGEBRA I 3. ¨UBUNGSBLATT

Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
3. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die angegebene Verknüpfung auf der Menge M eine innere Verknüpfung
◦ : M × M → M ist und dass M zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe bildet.
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Menge
Die Menge
Die Menge
Die Menge
M = {3m 5n : m, n ∈ Z } zusammen mit der Multiplikation ( x, y) 7→ x · y.
M = Q \{−1√} zusammen mit ( x, y) 7→ xy + x + y.
M = { a + b√2 : a, b ∈ Q } zusammen mit der Addition ( x, y) 7→ x + y.
M = { a + b 2 : a, b ∈ Q }\{0} zusammen mit der Multiplikation ( x, y) 7→ x · y.
Aufgabe 2. Sei n ∈ N eine natürliche Zahl und sei M = {1, 2, 3, . . . , n} die Menge der ersten n natürlichen
Zahlen. Ferner sei P ( M ) die Potenzmenge von M. Wir definieren eine innere Verknüpfung ∗ : P ( M ) ×
P ( M ) → P ( M ) durch A ∗ B = ( A ∪ B)\( A ∩ B) für alle A, B ∈ P ( M ).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Berechnen Sie {1, 3, 5} ∗ {1, 3, 4, 6} im Fall n = 6.
Zeigen Sie, dass die leere Menge ∅ ein neutrales Element der Verknüpfung ist.
Zeigen Sie, dass für jede Menge A ⊆ M die Gleichung A ∗ A = ∅ gilt.
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung ∗ assoziativ ist.
Folgern Sie, dass P ( M ) zusammen mit der Verknüpfung ∗ eine Gruppe bildet.
Sei n = 6. Finden Sie eine Menge A ⊆ M, für die {1, 3, 5} ∗ A = {1, 3, 4, 6} gilt.
Aufgabe 3. Sei ( G, ·) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente x ∈ G, für die x 2 6= e
gilt, gerade ist. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente x ∈ G, für die x3 = e gilt, ungerade ist.
Aufgabe 4. Die Menge G = { A, B, C, D } bilde zusammen mit der Verknüpfung ∗ eine Gruppe. Die folgende Tabelle ist ein Teil der Verknüpfungstabelle. Füllen Sie die fehlenden Felder aus (mit kurzen Begründungen).
∗
A
B
C
D
A
B
C
C
D
A
D
A
Abgabe am Freitag, 11. November 2016, von 11:00 bis 12:00 Uhr in Raum V4-200.
1