Isomorphie

Isomorphie
In der Mathematik hat man es oft mit Mengen zu tun, auf denen eine Verknüpfung
definiert ist (z.B. Gruppen, Ringe, Körper). Bei genauerer Betrachtung erkennt man, daß
es dabei gar nicht so sehr auf die Eigenschaften der zugrundeliegenden Mengen ankommt,
sondern auf die Struktur der Verknüpfung. Die Strukturgleichheit” von Verknüpfungen
”
werden durch die Begriffe Homomorphie bzw. Isomorphie präzisiert.
Definition:
Seien M eine Menge mit einer Verknüpfung ◦ und N eine Menge mit der Verknüpfung ?.
• Eine Abbildung ϕ : M → N heißt ein Homomorphismus bzw. eine homomorphe
Abbildung von (M, ◦) auf (N, ?), wenn für alle a, b ∈ M gilt: ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ? ϕ(b).
• Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
Bemerkungen:
1. Ist ϕ : M → N ein Isomorphismus von (M, ◦) auf (N, ?), so ist ϕ−1 : N → M ein
Isomorphismus von (N, ?) auf (M, ◦). Seien nämlich c, d ∈ N beliebig vorgegeben.
Dann gibt es a, b ∈ M mit ϕ(a) = c und ϕ(b) = d. Da ϕ eine Isomorphie ist, gilt
ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ? ϕ(b) = c ∗ d. Also ist ϕ−1 (c ? d) = a ◦ b = ϕ−1 (c)ϕ−1 (d). ϕ−1 heißt
Umkehrisomorphismus zu ϕ.
2. Sei Q eine weitere Menge mit einer Verknüpfung und sei ψ : N → Q ein Isomorphismus von (N, ?) auf (Q, ). Dann ist ψϕ : M → Q bijektiv und wegen
ψϕ(a ? b) = ψ(ϕ(a ◦ b)) = ψ(ϕ(a) ? ϕ(b)) = ψ(ϕ(a)) ψ(ϕ(b)) = ψϕ(a) ψϕ(b).
Somit ist eine Komposition von Isomorphismen wieder ein Isomorphismus.
3. Aus dem vorstehenden folgt, daß eine Isomorphie eine transitive Relation ist. Wegen
der Bijektivität sind Isomorphien auch symmetrisch. Da sie auch in trivialer Weise
reflexiv sind, stellen Isomorphien auf der Menge der Mengen mit Verknüpfungen
eine Äquivalenzrelation dar.
(
Beispiele:
lR → lR+
1. Sei a ∈ lR, a > 0, a 6= 1. Die Exponentialfunktion expa :
bildet die
x 7→ ax
Menge der reellen Zahlen bijektiv auf die Menge der positiven reellen Zahlen ab.
Für beliebige x, y ∈ lR gilt: ax+y = ax ay . Daher ist expa ein Isomorphismus der additiven Gruppe (lR, +) auf die multiplikative Gruppe (lR+ , ·). Davon wurde vor der
Einführung des Taschenrechners ausgiebig Gebrauch gemacht (Logarithmenbücher).
| der geordneten Paare reeller Zahlen (a, b) sind zwei Verknüpfungen
2. Auf der Menge C
(Addition und Multiplikation) erklärt.
Ebenso sind auf der Menge M der 2 × 2a −b
Matrizen mit rellen Elementen b a zwei Verknüpfungen (Matrizenaddition und
-multiplikation) erklärt. Ferner gelten Distributivgesetze. Da die Abbildung
(
ϕ:
|
C
→ M (a, b) 7→ ab −b
a
bijektiv ist und ϕ sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich der Multiplikation verknüpfungstreu” ist und auch das Distributivgesetz erhält, handelt es sich
”
um eine Körperisomorphie, d.h. komplexe Zahlen können auch durch Matrizen der
oben genannten Art dargestellt werden.