Frage 2.5. Welche Eigenschaften haben diese Verknüpfungen

Frage 2.5.
Welche Eigenschaften haben diese Verknüpfungen (exemplarisch)?
ˆ + und ⋅ sind (auf jeder Grundmenge) kommutativ, d.h.:
x + y = y + x und x ⋅ y = y ⋅ x
Es gilt immer:
Hinweis:
Genauer formuliert:
Für alle x, y ∈ R gilt:
x+y =y+x
Für alle x, y ∈ R gilt:
x⋅y =y⋅x
ˆ − und ∶ sind nicht kommutativ.
ˆ Für die Verknüpfung + gibt es ein sogenanntes “Neutrales Element“ N ∈ R. Dieses erfüllt
N + x = x und auch x + N = x für alle x ∈ R. (Natürlich ist N = 0 gemeint.)
Hinweis: Genauer formuliert:
Es gibt ein N ∈ R , so dass für alle x ∈ R gilt:
x + N = x und N + x = x
ˆ Für − und ∶ gibt es kein Neutrales Element.
ˆ ⋅ und + erfüllen zusammen das Distributivgesetz, d.h.:
Es gilt immer:
Hinweis: Genauer formuliert:
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
Für alle a, b, c ∈ R gilt:
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
ˆ ⋅ und − erfüllen zusammen das Distributivgesetz.
Hinweis: Wir werden die Quantoren ∀: für alle und ∃: es gibt noch behandeln.
Aufgabe 2.6.
Betrachten Sie die folgenden Verknüpfungen:
(a) +, −, ⋅ zwischen reellen Zahlen.
(b) die Verknüpfungen △ und ▽ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
n △ m ∶= kgV(n, m)
und
n ▽ m ∶= ggT(n, m)
(c) ∩ und ∪ zwischen Teilmengen von R
(d) ∖ zwischen Mengen (es ist A ∖ B ∶= {x; x ∈ A und x ∉ B})
(e) die Verknüpfung ○ zwischen Abbildungen R → R
(für zwei Abbildungen f, g ∶ R → R ist: f ○ g ∶ R → R, x ↦ f (g(x)) definiert)
Beantworten Sie jeweils die folgenden Fragen.
(i) Für welche der Verknüpfungen gilt das Kommutativgesetz (d.h. es gilt x ∗ y =
y ∗ x für alle zugelassenen Objekte)?
(ii) Für welche der folgenden Verknüpfungen gilt das Assoziativgesetz (d.h. es gilt
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) für alle zugelassenen Objekte)?
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2 Verknüpfungen von Zahlen
(iii) Welche der Verknüpfungen besitzen ein Neutrales Element/Objekt N ? (d.h.
es gilt N ∗ x = x und x ∗ N = x für alle zugelassenen Objekte x und das eine
Objekt N )?
Hinweis: Sie können die Aufgabenteile (c),(d),(e) auch auf später verschieben, wenn Mengen bzw. Abbildungen besprochen werden.
Aufgabe 2.7.
Erfinden Sie eine neue Verknüpfung. Hat diese Verknüpfung bestimmte (interessante) Eigenschaften?
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3 Relationen zwischen Zahlen
Frage 3.1.
Was ist eine Relation zwischen Zahlen?
Eine Relation kann wie folgt erklärt werden:
ˆ Der Relation wird ein Symbol ∼ zugeordnet. Hinweis: (∼ ist hier nur als Platzhalter zu
verstehen, in den meisten Fällen wird hier ein allgemein bekanntes Symbol stehen.)
ˆ Zwei Zahlen x, y sollen mittels der Relation untersucht/verglichen werden werden, dabei gibt
es stets nur zwei Möglichkeiten:
x ∼ y kann gültig (d.h. wahr) sein
oder
x ∼ y kann ungültig (d.h. falsch) sein
Anders gesagt: x ∼ y ist eine Aussage (entweder eine wahre oder eine falsche Aussage, je
nachdem, welche Werte man für x und y einsetzt).
ˆ Es muss festgelegt sein, aus welchen Grundmengen, die Zahlen x, y kommen dürfen.
ˆ Falls notwendig wird genau erklärt (festgelegt, definiert), wie man ausgehend von x, y entscheiden kann, ob x ∼ y gültig ist.
Frage 3.2.
Welche Relationen zwischen Zahlen kennen Sie?
ˆ Auf den Grundmengen N, Z, Q, R sind die Relationen =, >, <, ≤, ≥, =/ bekannt.
√
Beispielsweise: −8 = −8, 3 < 10, −7 ≥ −8, 0 =/ −2 sind wahre Aussagen
√
√
4 = −4, 8 > 8,
99 ≤ 98, 3 =/ 3
sind falsche Aussagen
ˆ Auf N (auch auf Z) gibt es die Teilbarkeitsrelation, die durch das Symbol ∣ dargestellt wird.
Dabei ist a ∣ b (genau) dann gültig, wenn a ein Teiler von b ist. Hinweis: Dies kann man
noch präziser formulieren, dies folgt später.
Beispielsweise ∶
4 ∣ 20,
26 ∣ 78,
7∣7
aber
3 ∤ 10,
44 ∤ 22
Hinweis: Dabei steht a ∤ b (natürlich) dafür, dass a ∣ b nicht gültig ist.
Frage 3.3.
Gibt es auch Relationen zwischen anderen Objekten (nicht Zahlen)? Können Sie
Beispiele nennen?
Ja, beispielsweise:
ˆ ⊂, ⊊ und ⊃, ⊋ (und auch = bzw. =/ ) zwischen Mengen Hinweis: mehr dazu später
ˆ ∥ und ⊥ zwischen Geraden oder Vektoren
Frage 3.4.
Kann man Relationen miteinander kombinieren?
keine offensichtliche Möglichkeit (man kann aber darüber diskutieren)
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3 Relationen zwischen Zahlen
Frage 3.5.
Welche Eigenschaften haben die Relationen aus Frage 3.2 (exemplarisch)?
Beispielsweise:
ˆ ≤ ist reflexiv, d.h.:
x ≤ x ist immer wahr Hinweis: Präziser: ∀x ∈ R ∶ x ≤ x
ˆ ≤ ist transitiv, d.h.:
Wenn x ≤ y und y ≤ z beide wahr sind, dann ist auch x ≤ z wahr.
Hinweis: Präziser: ∀x, y, z ∈ R ∶ [(x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z]
ˆ < ist transitiv, aber nicht reflexiv
ˆ =/ ist weder transitiv, noch reflexiv, aber symmetrisch, d.h.:
Wenn x =/ y wahr ist, dann ist auch y =/ x wahr.
Hinweis: Präziser: ∀x, y ∈ R ∶ [x =/ y ⇒ y =/ x]
ˆ ...
Aufgabe 3.6.
Betrachten Sie die folgenden Relationen:
(a) <, ≤, = und =/ zwischen reellen Zahlen.
(b) die Verknüpfungen ∣ zwischen natürlichen Zahlen
(c) die Verknüpfung ≡ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
Für x, y ∈ N ∶
x ≡ y ∶⇔ x + y ist gerade
(d) die Verknüpfung ≜ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
Für x, y ∈ N ∶
x ≜ y ∶⇔ x + y ist durch 3 teilbar
(e) ⊂ zwischen Mengen
(f ) ∼ und ≁ zwischen Teilmengen von R, wobei:
⎧
⎪
⎪ A ∼ B gilt ∶⇔
⎨
⎪
⎪
⎩ A ≁ B gilt ∶⇔
⎫
A ∩ B =/ ∅ ⎪
⎪
⎬
A∩B =∅ ⎪
⎪
⎭
(g) ∥ und ⊥ zwischen Geraden
(h) Die Ähnlichkeitsrelation zwischen Dreiecken.
Beantworten Sie jeweils die folgenden Fragen.
(i) Welche dieser Verknüpfungen sind reflexiv?
(ii) Welche dieser Verknüpfungen sind transitiv?
(iii) Welche dieser Verknüpfungen sind symmetrisch?
Aufgabe 3.7.
Erfinden Sie eine neue Relation. Hat diese Relation (interessante) Eigenschaften?
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4 Aussagen
Frage 4.1.
Was ist eine Aussage?
Aussagen sind Sätze, die Sachverhalte beschreiben und denen man einen Wahrheitswert (d.h. entweder “wahr“ oder “falsch“) zuordnen kann. (vgl: Wikipedia)
Aufgabe 4.2.
Nennen Sie Beispiele von wahren und von falschen Aussagen.
ˆ Wahre Aussagen:
-) 97 ist eine Primzahl.
-) 3 + 4 = 6 + 1
-) 20 ∣ 140
-) 744.2 > 743.9
-) Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
-) Es gibt eine negative reelle Zahl, deren Quadrat 7 ist.
-) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
-) Landau hat mehr als 25000 Einwohner.
ˆ Falsche Aussagen:
-) 91 − 12 = 103
-) 744.2 ≤ 743.9
-) 12 ∤ 36
-) Jedes Rechteck ist ein Quadrat.
-) Es gibt eine rationale Zahl, deren Quadrat 7 ist.
-) Landau hat höchstens 30000 Einwohner.
ˆ Aussagen, von denen niemand weiß, ob sie wahr oder falsch sind:
-) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
-) Jede gerade Zahl, die größer oder gleich 4 ist, kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.
-) Am 24.12.2015 wird es in Landau schneien.
Hierbei handelt es sich trotzdem um Aussagen, denn sie können ja nur entweder wahr oder
falsch sein.
ˆ Keine Aussagen mit einem eindeutigen Wahrheitswert:
-) Der Mond ist genau 400000 km von der Erde entfernt.
-) x > 34
-) Ich habe heute Nacht gut geschlafen.
Hinweis: Bei nicht-mathematischen Aussagen gerät man leicht in eine “Grauzone“. Es ist dann
nicht mehr unbedingt klar, ob es sich überhaupt um Aussagen handelt. Die Mathematik zeichnet sich
dadurch aus, dass alle Aussagen präzise formuliert werden können.
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