Tutorium 1 - Lucas Kunz

HM I Tutorium 1
Lucas Kunz
27. Oktober 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie
1.1 Logische Verknüpfungen . . . . . . .
1.2 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mengen und ihre Eigenschaften . . .
1.4 Funktionen und ihre Begrifflichkeiten
1.5 Verkettung und Umkehrfunktion . . .
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2
2
3
4
4
5
2 Theorie über das Tutorium hinaus
2.1 De Morgan’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Potenzmengen und kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
3 Aufgaben
3.1 Aufgabe 2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
1
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1
Theorie
1.1
Logische Verknüpfungen
Die Grundlage aller mathematischen Logik besteht in Aussagen. Eine solche Aussage
kann entweder wahr (w) oder falsch (f) sein. Auf Basis dessen lassen sich logische Verknüpfungen definieren, welche Aussagen in Relation zueinander stellen. Seien hierzu A
und B Aussagen, dann definiert man:
• Das logische UND: Diese Verknüpfung ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen
A und B wahr sind.
A
B
A∧B
w
w
w
w f
f w
f f
f
f
f
Tabelle 1: Logisches UND
• Das logische ODER: Diese Verknüpfung ist genau dann wahr, wenn mindestens eine
der Aussagen A und B wahr ist.
A
B
A∨B
w
w
w
w f f
f w f
w w f
Tabelle 2: Logisches ODER
Als weitere Möglichkeit der ODER-Verknüpfung existiert das sogenannte exklusive
ODER, welches nur dann wahr ist, wenn genau eine der Aussagen A und B zutrifft.
Der Unterschied besteht also darin, dass die Relation falsch ist, wenn beide Aussagen
wahr sind.
• Negation: Die Negation kehrt den Wert einer Aussage in ihr Gegenteil um.
w
f
A
¬A
f
w
Tabelle 3: Negation
• Implikation: Die Logiktafel der Implikation ist relativ kurz in Worte zu fassen.
Grundsätzlich kann eine wahre Aussage keine falsche implizieren, alle anderen Kombinationen hingegen sind möglich.
A
B
A⇔B
w
w
w
w f
f w
f w
f
f
w
Tabelle 4: Implikation
2
• Äquivalenz: Diese Aussage ist wahr, wenn beide Aussagen A und B den selben
Wahrheitsgehalt haben.
A
B
A⇔B
w
w
w
w f
f w
f f
f
f
w
Tabelle 5: Äquivalenz
Für die Kombination der eben eingeführten Relationen existieren natürlich einige Regeln.
Die wichtigste davon ist, dass die Negation immer stärker Bindet (also früher ausgeführt
wird) als alle anderen Operatoren. Insbesondere vertauschen außerdem bei Negation die
Operatoren UND und ODER. Dadurch kommen die folgenden Eigenschaften zustande:
1. ¬(¬A) ⇔ A
2. ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B)
3. ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B)
4. (A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)]
5. (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) ⇔ (¬A ∨ B)
Diese Regeln gelten nicht nur für Aussagen, sondern auch für sogenannte Aussageformen. Dies sind Sätze, die durch konkrete Belegung mit einer Variablen zu einer Aussage
werden. Beispiel: x ist eine Primzahl.“
”
1.2
Quantoren
Da einige Formulierungen in der Mathematik sehr häufig auftreten, hat man dafür Kurzschreibweisen in Form von Symbolen entwickelt. Diese bezeichnet man als Quantoren,
welche es in zwei Varianten gibt:
• Der Allquantor: ∀x : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A für alle x wahr ist.
• Der Existenzquantor: ∃x : A(x) bedeutet, dass es mindestens ein solches x gibt, mit
welchem die Aussageform A wahr ist.
Es ist bei der Anwendung von Quantoren auf die Reihenfolge zu achten, insbesondere in
Relation mit Aussageformen, die von mehreren Variablen abhängen:
• ∀y ∃x : A(x, y) bedeutet, dass man zu jedem y ein x finden kann, sodass A wahr ist.
Dieses x kann aber zu jedem neuen y immer ein anderes sein.
• ∃x ∀y : A(x, y) bedeutet hingegen, dass es ein universelles x gibt, für das die Aussage
mit allen beliebigen y wahr ist.
Dieser feine Unterschied, ob x jeweils verschieden oder immer das selbe ist, macht auch
für einige mathematische Definitionen etwas aus. So basiert darauf z. B. der Unterschied
zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz (der in der Vorlesung vermutlich im
November eingeführt wird).
3
1.3
Mengen und ihre Eigenschaften
Laut Cantor ist eine Menge definiert als eine Zusammenfassung wohl unterschiedener
”
Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“. Über eine einfache
Menge hinaus existieren einige Verknüpfungen zwischen mehreren Mengen, welche im
Folgenden als M und N bezeichnet werden:
• M ist Teilmenge von N : M ⊆ N ⇔ ∀x ∈ M : x ∈ N .
• M und N sind identisch: M = N ⇔ (M ⊆ N ∧ N ⊆ M ).
• M ist ein echter Teil von N : M ⊆ N ∧ M 6= N ⇔ M ( N . Manchmal schreibt man
auch nur M ⊂ N und betont die Ungleichheit nicht speziell.
• Schnitt zweier Mengen: M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N }.
• Vereinigung zweier Mengen: M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N }.
• Differenz zweier Mengen: M \ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈
/ N }. Alternativ kann man
auch schrieben M ∩ (¬N ), wobei ¬N := {x : x ∈
/ N }.
• Die leere Menge ∅ oder auch {} enthält keine Elemente.
Sei n ∈ N, n ≥ 2 und M1 , M2 , ..., Mn seien Mengen, dann heißt
M1 × M2 × . . . × Mn := {(x1 , x2 , ..., xn ) : xj ∈ Mj ∀j ∈ {1, 2, ..., n}}
(1.1)
das kartesische Produkt der Mengen M1 bis Mn . Die entstehenden Elemente sind
sogenannte n-Tupel, mit welchen z. B. ein Koordinatensystem konstruiert werden kann.
1.4
Funktionen und ihre Begrifflichkeiten
Es seien im Folgenden stets X, Y , Z und W nichtleere Mengen. Dann nennt man f eine
Funktion (oder Abbildung), wenn f : X → Y jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zuordnet.
Man schreibt dann auch y = f (x). Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion
f , die Menge Y heißt Wertebereich.
Die Menge {(x, f (x)) : x ∈ X} bezeichnet man als Graph von f . Für eine Teilmenge
A ⊆ X nennt man f (A) := {f (x) : x ∈ A} das Bild von A unter der Funktion f . Das
Bild der Gesamten Definitionsmenge f (X) bezeichnet man als Bildmenge von f .
Ist B ⊆ Y , dann heißt f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} das Urbild von B unter der
Funktion f . Es ist hierbei darauf zu achten, dass zwar die Schreibweise identisch zur im
Folgenden definierten Umkehrfunktion ist, ein Urbild allerdings auch unabhängig von dieser existiert. Nur im Spezialfall, dass f umkehrbar ist, entspricht das Urbild von B unter
f dem Bild von B unter der Umkehrfunktion f −1 .
Zusätzlich zu den eben genannten Begriffen zur Beschreibung der an einer Funktionsdefinition beteiligten Mengen existieren drei wichtige Bezeichnungen, welche sich an den
speziellen Eigenschaften einer Funktion orientieren. Eine Funktion f ist ...
• ... surjektiv, falls f (X) = Y ist, also wenn sie auf den ganzen Wertebereich abbildet.
• ... injektiv, wenn aus f (x1 ) = f (x2 ) mit x1 , x2 ∈ X immer folgt, dass x1 = x2 , also
wenn sie nie den gleichen Wert zweimal annimmt.
• ... bijektiv, falls die surjektiv und injektiv ist.
4
1.5
Verkettung und Umkehrfunktion
Seien f und g Funktionen, f : x → Y , g : Y → Z, dann ist die Komposition der beiden
Funktionen auch eine Funktion: g ◦ f : X → Z mit (g ◦ f )(x) := (g(f (x)). Existiert
weiterhin h : Z → W , dann ist h ◦ (g ◦ f ) : X → W eine Funktion. Man kann also beliebig
viele Funktionen miteinander verketten. Weiterhin ist die Verkettung assoziativ, also gilt
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.
(1.2)
Ist f bijektiv, dann existiert eine sogenannte Umkehrfunktion mit der Eigenschaft
(f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x.
(1.3)
Dadurch gilt also mit f (x) = y, dass f −1 (y) = x. Weiterhin ist auch (f −1 )−1 (x) = x.
Die Umkehrfunktion macht also sozusagen die Wirkung von f rückgängig und doppelte
Inversion liefert die ursprüngliche Funktion zurück. Weiterhin haben Umkehrfunktionen
eine spezielle Eigenschaft bezüglich Verkettungen:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
(1.4)
Dies nennt man die Hemd-Jacke-Regel“. Der Begriff kommt daher, dass man beim aus
”
dem Haus gehen (üblicherweise) zuerst ein Hemd und dann eine Jacke anzieht, beim
zurückkommen aber zuerst die Jacke und dann das Hemd ablegt. Eine ähnliche Inversion
der Reihenfolge tritt auch beim Umkehren von Verkettungen auf.
2
2.1
Theorie über das Tutorium hinaus
De Morgan’sche Regeln
Seien Q, M und N Mengen, dann gelten zwei Gleichungen, welche als die De Morgan’schen
Regeln bezeichnet werden:
Q \ (M ∪ N ) = (Q \ M ) ∩ (Q \ N )
Q \ (M ∩ N ) = (Q \ M ) ∪ (Q \ N )
(2.1)
(2.2)
Diese folgen grundsätzlich aus der Tatsache, dass sich logischen UND und ODER bei
Negation vertauschen. In der Sprache der Mengenrelationen steckt die Negation in der
Differenz \, das UND entspricht dem ∩ und das ODER dem ∪. Letztere beiden Zeichen sind auch in der graphischen Darstellung jeweils nur die abgerundete Version ihrer
logischen Verwandten, wodurch das Analogon offensichtlich wird.
2.2
Potenzmengen und kartesisches Produkt
Sei M eine Menge, dann ist Pot(M ) := {N : N ⊆ M } die sogenannte Potenzmenge
von M . Diese entspricht der Menge aller Teilmengen von M . Hierbei sind sowohl die leere
Menge ∅ als auch M selbst immer Teil von Pot(M ). Beispiel: Sei M := {1, 2}, dann ist
Pot(M ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Man muss also in Potenzmengen immer die Mengenklammern beachten, denn die Elemente von Pot(M ) sind selbst Mengen und keine Zahlen.
5
3
Aufgaben
Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 2, 4 und 6 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter http://www.math.
kit.edu/iana1/lehre/hm1phys2016w/. Da aber häufig mehrere Wege zum Ziel führen
soll nun ein alternativer Weg zur Lösung der Aufgabe 2 b) vorgestellt werden.
3.1
Aufgabe 2 b)
Sicherlich lässt sich die Richtigkeit der gegebenen Aussage auch mit Hilfe der am Ende
von Kapitel 1.1 erwähnten Regeln lösen, wie es in der online verfügbaren Musterlösung
getan wird. Deutlich intuitiver und aufgrund einer wesentlich geringeren Zahl an logischen
Symbolen (wie ∧ oder ∨) auch einfacher ist dies aber mit einer Logiktabelle machbar:
A
B
C
A⇒B
B⇒C
A⇒C
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
w
w
w
w
w
w
w
w
w w w
f w f
w f f
f w f
w f w
w f f
f f f
w w w
f
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f f
f w
w f
w w
w f
w w
w f
w w
f
f
f
w
w
w
w
w
Tabelle 6: Logiktabelle zu Aufgabe 2 b)
Das vorgehen in dieser Tabelle ist einfach: Man betrachtet sämtliche Fälle, die A, B und C
annehmen können, dies sind 23 = 8 Stück. Indem man für jeden der Fälle die gewünschte
Verknüpfung ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) bildet sieht man in der letzten Zeile
sehr gut, dass die daraus resultierende Aussage wie gefordert immer wahr ist.
6