Mengen und Logik

Grundbegriffe Mengenlehre und Logik
Analysis
für
Informatiker und Lehramt Mathematik MS/GS/FS
WS 2014/2015
Agnes Radl
Mengen
Georg Cantor1 (1895)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
”
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt
werden) zu einem Ganzen.“
Notation
I
m ∈ M oder M 3 m, falls m ein Element der Menge M ist.
I
m 6∈ M oder M 63 m, falls m kein Element der Menge M ist.
Beispiel
I
M = {1, 2, 3, 5}; dann 5 ∈ M, 4 6∈ M;
beachte: {1, 2, 2} = {1, 2}
I
N (Menge der natürlichen Zahlen);
I
{m ∈ N : m gerade}
1
Georg Cantor (1845–1918), deutscher Mathematiker
Mengen
Seien A und B Mengen.
∅ oder {}
A⊆B
2
A∩B
=
A∪B
=
A\B
=
P(A)
=
A×B
=
Menge, die kein Element enthält.
leere Menge
Für alle x ∈ A gilt x ∈ B.
A ist Teilmenge von B; B ist Obermenge von A.
{x : x ∈ A und x ∈ B}
Durchschnitt von A und B
{x : x ∈ A oder x ∈ B}
Vereinigung von A und B
{x : x ∈ A und x 6∈ B}
Differenz von A und B
{M : M ⊆ A}
Potenzmenge von A;
die Menge aller Teilmengen von A
{(x, y ) : x ∈ A, y ∈ B}
kartesisches2 Produkt
René Descartes (1596–1650) französischer Mathematiker
Veranschaulichung durch Venn3 -Diagramme
A∩B
A
A∪B
B
A
A\B
A
3
B
John Venn (1834–1923), englischer Mathematiker
B
Bemerkung
I
I
I
I
I
Für jede Menge M gilt: ∅ ⊆ M, M ⊆ M.
P(∅) = {∅}.
A = B bedeutet A ⊆ B und B ⊆ A.
˙
A und B heißen disjunkt (Notation: A∪B),
falls A ∩ B = ∅.
∩ und ∪ kann man auch für endlich viele Mengen A1 , . . . , An
definieren:
n
\
Ak := A1 ∩ · · · ∩ An := {x : x ∈ A1 und . . . und x ∈ An },
k=1
n
[
Ak := A1 ∪ · · · ∪ An := {x : x ∈ A1 oder . . . oder x ∈ An },
k=1
I
ebenso das kartesische Produkt:
A1 × · · · × An := {(x1 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An }.
Beispiel
A = {2, 5},
B = {1, 2, 3}.
I
A ∩ B = {2},
I
A ∪ B = {1, 2, 3, 5},
I
A \ B = {5},
I
B \ A = {1, 3},
I
A × B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.
I
P(A) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}.
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Eine mathematische Aussage A beschreibt einen mathematischen
Sachverhalt, dem ein Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f)
zugeordnet werden kann.
Aus mathematischen Aussagen A und B kann man folgendermaßen
neue mathematische Aussagen bilden.
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Negation: ¬A
A gilt nicht.“
”
A ¬A
w f
f
w
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Konjunktion (und): A ∧ B
Sowohl A gilt als auch B.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Disjunktion (oder): A ∨ B
A gilt oder B gilt.“
”
Beachte: Dies ist kein ausschließendes oder“.
”
Auch beide dürfen gelten.
A B
w w
w f
f w
f f
A∨B
w
w
w
f
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Desweiteren
Implikation: A ⇒ B
Wenn A, dann B.“
”
Aus A folgt B.“
”
A ist hinreichend für B.“
”
B ist notwendig für A.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A⇒B
w
f
w
w
A B
w w
w f
f w
f f
¬A ¬A ∨ B
f
w
f
f
w
w
w
w
Aussagen und ihre Verknüpfungen
Äquivalenz: A ⇔ B
A ⇔ B bedeutet (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
A genau dann, wenn B.“
”
A ist notwendig und hinreichend für B.“
”
A und B sind äquivalent.“
”
A B
w w
w f
f w
f f
A⇒B B⇒A A⇔B
w
w
w
f
w
f
w
f
f
w
w
w
Quantoren
Ist M eine Menge und A(m) eine Aussage über m, so schreibt man
I
I
∀m ∈ M : A(m)
Für alle Elemente m der Menge M gilt A(m).“
”
∃m ∈ M : A(m)
Es gibt (mindestens) ein Element m in der Menge M, für das
”
A(m) gilt.“
(Der Doppelpunkt wird manchmal weggelassen.)
∀ Allquantor“
”
∃ Existenzquantor“
”
Quantoren
Beispiel
A(m): m ist durch 2 teilbar.“
”
M = {2, 8, 10, 11}.
I
I
∀m ∈ M : A(m)
Jedes m ∈ M ist durch 2 teilbar.“,
”
∃m ∈ M : A(m)
Es gibt ein m ∈ M, das durch 2 teilbar ist.“
”
(falsch)
(wahr)
M̃ = {2, 8, 10}
I
I
∀m ∈ M̃ : A(m)
Jedes m ∈ M̃ ist durch 2 teilbar.“,
”
∃m ∈ M̃ : A(m)
Es gibt ein m ∈ M̃, das durch 2 teilbar ist.“
”
(wahr)
(wahr)
Quantoren
Beispiel
M = {2, 8, 10, 11}.
A(m): m ist durch 2 teilbar.“
”
I Negation von ∀m ∈ M : A(m)
(wahr)
∃m ∈ M : ¬A(m)
Es gibt ein m ∈ M, welches nicht durch 2 teilbar ist.“
”
I Negation von ∃m ∈ M : A(m)
∀m ∈ M : ¬A(m)
(falsch)
Für jedes m ∈ M gilt, dass es nicht durch 2 teilbar ist.“
”
Kein m ∈ M ist durch 2 teilbar.“
”
Allgemein
Negation von
∀m ∈ M : A(m)
∃m ∈ M : ¬A(m)
Negation von
∃m ∈ M : A(m)
∀m ∈ M : ¬A(m)
Quelle
C. Tretter, Analysis I, Birkhäuser, 2013.